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一种关于等宽复合矩形微悬臂梁和尺寸优化简单的预测方法
摘要
共振频率是在设计具有高灵敏度的谐振传感器时的关键参数。复合微悬臂梁的固有频率的计算对微悬臂谐振传感器的设计十分有用。但是，简单的预测方法对复合矩形微悬臂梁的谐振频率的并不适用，所以要做进一步的研究。本文提出了一种既简单又精确的分析方法来预测等宽复合矩形微悬臂梁（CRMEW）基本频率，这就是所谓的等价模型法。这种新方法在实践中应用更为方便，实验结果和模拟结果也证实了这种方法，在微悬臂梁传感器的设计和优化中发挥着巨大的作用。
关键词：等宽复合微悬臂梁 ， 共振频率 ，等效模型法
- 引言
微悬臂梁是在微机械加工的传感器中一种常见的结构。吸收目标检测物时，可以改变自身的共振频率。随着MEMS技术发展，微悬臂梁谐振传感器被深入的研究并且被广泛的用于生物和化学检测中。谐振频率在是计算微悬臂梁传感器的质量和灵敏度的重要物理量。微悬臂梁的质量变化可以通过共振频率的改变来检测，并且谐振微悬臂梁传感器的灵敏度是与共振频率成正比的。【1】
事实上，大多数微悬臂梁传感器是由压电层、电极、反射器组成的多
层结构。至今为止，复合矩形微悬臂梁的共振频率已经在许多研究中被探讨。 Varelis和
Saravanos [2]研究了压电板和金属板非线性机械学，包括由于大位移和旋转引起的非线性效应。 Plagianakos和Saravanos [3]提出了一种新逐层层压板的理论来预测厚的复合材料和夹层梁的模态阻尼和固有频率。 Kapuria和Ahmed [4]提出了一种新的有效的针对压电复合夹层梁动态的耦合弯曲理论。这些理论可能对于具有相等长度和宽度复合微悬臂梁是正确的。但实际上，每一层的长度应该有明显差异，因为这种差异会带来更高的灵敏度和更大的设计自由度。然而，一直没有一种对具有不同长度的等宽复合矩形微悬臂梁的共振频率的简单的精确的分析理论。另一方面，有限元法（FEM）的软件可以用来模拟等宽复合矩形微悬臂梁的机械性能;但是，这种有限元计算方法不够简单，还需要适当的改善。为快速，准确地预测等宽复合微悬臂梁的谐振频率，本文提出了一种简单和精确的分析方法，这种方法称为等效模型法。它的合理性可以通过先前的实验结果和模拟结果得到验证。这种方法可以成功地应用于优化微机械加工的传感器，以提高其敏感度。
2.理论分析
为了精确建立等宽复合矩形微悬臂梁的模型，认识它的每一层的不同之处是很重要的。通常，复合微悬臂梁的每一层是由不同材料制成的，并具有不同的尺寸。归结为四个重要的参数，长度、厚度、密度、和杨氏模量。在本文中，我们假设这种多层结构的性能遵循混合物的合成法则。在等效模型法中，CRMEW被视为等效单层矩形微悬臂梁。
2.1。单层矩形微悬臂梁的谐振频率的计算
图1表示单层矩形微悬臂梁结构长度L，宽度W，厚度H，密度和杨氏模量E.
基本共振频率可以表示为 （1）
2.2。复合矩形微悬臂梁的谐振频率的计算
图1.单层长方形微悬臂梁的示意图。
图2.一个 3层CRMEW及其等效的单层矩形微悬臂梁
在等效模型法中，CRMEW被视为等效单层矩形微悬臂梁。例如，在图2中3层CRMEW被当做等效单层矩形微悬臂梁处理。
把 一个N层的等宽复合微悬臂梁的每一层长度记为，厚度记为，密度记为杨氏模量记为（i=1,2,3hellip;hellip;n）我们用提出的等效模型的方法将其中的四个当量物理量被定义为
等效密度 （2）
等效杨氏模量 （3）
等效长度 （4）
等效厚度 （5）
其中n为等宽复合微悬臂梁的总层数
根据许多实验结果和模拟结果的统计分析,对于等宽复合微悬臂梁在公式（1）中的系数的0.162可以简化到0.17，这样可以减少误差并且得到更为精确的结果，因此公式改为 （6）将2-5的等式带入到（6）式中 得到（7）
有必要指出公式（7）是对于预测横向振动的等宽复合微悬臂梁的基本共振频率是很重要的，它是基于下面的假设
1. CRMEW的等效厚度相比它的其他尺寸要小，它的等效尺寸参数要满足常规比例（等效长度（或等效宽度）/等效厚度10）。
2. CRMEW在一端夹紧在另一端自由，每一层原来是直的。
3.层与层是完全粘结的。
4.微悬臂梁遵循欧拉-Bernoulli梁理论，剪切变形和转动惯量是微不足道的。
5.横向挠度比微悬臂梁的厚度小
2.3。等效模型法的自洽性
值得强调的是，作为一个预测公式，公式（7）有很强的自洽性。例如，如果在n层的CRMEW中某层的长度或厚度设定为0，那么由预测的结果会和用 计算的结果一样。举例当n等于3时，将H3=0，L3=0，带入f3中导出
这仅仅是2层CRMEW由来计算基本共振的频率的预测结果。此外，考虑由两个微悬臂梁组成的2层CRMEW梁，它们有相同的材料和相同的长度，但不同的厚度。，,=，带入，
此结果正好与一个厚度 的单层长方形微悬臂梁通过来计算的谐振频率一致。上面两个例子能够 明显的表现等效模型方法的的自洽性。
3.实验结果与模拟结果对这种方法的验证
为了评估预测方法的准确度，引入相对误差来比较用该预测方法得到的相关的实验结果或模拟结果。（10），其中代表由公式（7）得到的结果，代表由实验和模拟得到的CRMEW共振频率的结果。
3.1 实验结果对此法的验证
Detzel[6]报道了压电感应玻璃微悬臂梁，是由压电材料（PZT）结合硅酸盐玻璃层建造的2层CRMEW。每一层的几何和材料数据在表1中给出。这些参数代入公式 （7），我们得到=29967Hz。根据来自参考实验结果 [6]，该装置的频率谐振为=31080Hz.因此通过（10）可以得到相对误差为，很明显这个误差已经很小。
表格1 2层等CRMEW几何和材料数据。
表格2.3层CRMEW的几何和材料数据。
3.1.2 3层CRMEW
通过Campbell[8]的报告的由PZT层构成的三层的等宽复合的矩形微悬臂梁，这种PZT层是硼硅玻璃构成的不锈钢的。这种梁的几何和材料参数已经由表格2给出。将这些参数带入到公式（7）中，我们可以得到=12763Hz,由引用的【8】中的结果可以知道它的共振频率是=12800Hz,并且通过公式10 我们可以得到相对误差，很显然这个误差很小。
3.2 验证仿真结果
在实践中，特别是对于复杂的结构，该有限元分析软件（ANSYS）可用于找出结构的谐振频率。下面的实例是预测结果与模拟结果之间的比较。在3维模拟中，每一层的模型建立都使用八节点线性结构单元SOLID45。通过网格的划分，每层材料厚度方向将有两个实体元件。
3.2.1.2层CRMEW
图3.两层等宽复合微悬臂梁
表3.两层CRMEW的几何和材料参数
如图3所示这个两层CRMEW由两种不同材料组成。它的几何和材料参数由已经由表3给出。将这些参数带入公式（7）中，我们可以得到=230423Hz，根据ANSYS的模拟结果我们可以共振频率得到=236280Hz。图4给出了模拟两层的矩形复合微悬臂梁的共振谐波。通过公式（10）我们可以得到共振频率的相对误差为，也很明显这个误差也已经很小了。
图4. 两层矩形复合微悬臂梁的谐波
3.2.2 三层CRMEW
如示于图5，通过修改排列顺序，三层CRMEW微悬臂梁，M1，M2和M3，可形成3种3层CRMEW，即是图5中A，B和C。然而，正如后来在表5显示出，A，B和C示出的机械性能几乎没有差别，它们的共振频率几乎相同。这三个层的几何和材料的数据示于表4中，并且将预测结果和模拟结果在表5中进行了比较。
表4.三层CRMEW的几何和材料参数
图5.复合模式的三层CRMEW
表5. 三层混合CRMEW的预测和模拟的共振频率
从表5中，很容易注意到，层压的堆叠序列并不影响本文中的预测方法对共振频率的预测。然而，观察表5中的仿真结果时，我们也可以发现这个事实当修改排列顺序时，3层CRMEW的基本共振频率示出了非常少的波动，并且可以与等式(7)近预测的预测结果相似。
3.2.3. 四层等宽复合微悬臂梁
图6给出了由四种不同材料组成的四层CRMEW，表6给出了几何和材料参数。
将参数带入到公式（7）中我们便可以得到546766Hz，根据ANSYS的模拟结果，我们可以得到共振频率为=566801Hz，最后通过公式（10）的计算我们可以得到共振频率的误差，很显然，这个误差很小了。图7给出了模拟四层等宽复合微悬臂梁的一阶振动的变形。
图6.四层CRMEW.
表6.四层CRMEW的几何和材料参数.
图7.四层CRMEW的一阶振动的模拟变形
3.2.4 楔形微悬臂梁
楔形微悬臂梁是广泛应用于工程的一个重要的结构，如图8所示，虽然贝尔赫姆[9]已经研究了楔形微悬臂梁的应力分布，但是从未用等效模型模型方法来研究楔形微悬臂梁的动态特性。由于楔形微悬臂梁是一种每层无限小的厚度特殊的等宽复合微悬臂梁因此它的算公式很容易推导出来。
图8.楔形悬臂梁的结构
图8一种特殊的已知密度，杨氏模量为E，沿y方向宽度为W，长度为L.厚度为H的楔形悬臂梁，显然，在z方向无限薄的长度可以表示为
因此，楔形微悬臂梁的共振频率可以表为
图7. 由氮化硼构成的楔形微悬臂梁的几何和材料参数
例如由氮化硅制成楔形微悬臂梁的。这楔形微悬臂梁的几何和材料的数据在表7中给出。将这些参数带入公式（12），我们可以得到，根据ANSYS的模拟结果。共振频率为,再由公式（10）得到共振频率的相对误差，很明显这结果也很小了。
总之，通过等效模型方法获得的值与通过实验和模拟的结果相一致。因此，这种方法可广泛用利用来预测带有等宽复合微悬臂梁传感器的谐振频率。
4.应用
在本文提出的等效模型的方法有许多应用。一显著应用是谐振微悬臂梁传感器的尺寸优化。共振微悬臂梁传感器的灵敏度是直接正比于共振频率，所以共振频率是设计一个传感器具有高灵敏度的关键参数[1]。等效模型的方法可以方便的找到能够使CRMEW传感器达到最大灵敏度的最合适的尺寸。
例如一个两层的CRMEW，已知它的几何和材料参数，带入 ,,,,到公式（7）中，基本共振频率可以通过得到
在图.9中，将基本共振频率用这两层材料的长度的函数来表示出来。可以很清楚的看出当我们固定其中一层的长度不变的时候，比如说第二层，当第一层的长度达到合适的值时，这个CRMEW的共振频率可以达到最大值。
让
得到
将式（15）带入到式（13）中可以得到
假如，，最大的共振频率为
最大的共振频率将在
时得到。
因此，等效模型方法可以方便地使用来优化带有CRMEW的传感器中用于实现最大的灵敏度。
图9.基本共振频率与两层材料长度的函数关系
五 结论
为了预测等宽复合矩形微悬臂梁（CRMEW）的基本共振频率，本文开发了一个等效模型法,即简单又准确。通过使用这种方法，预测结果好与实验结果和模拟结果符合得非常，得到的相对误差很小（小于5％）。最后，应用这种方法对带有等宽复合微悬臂梁的传感器进行二维优化，并用这种方法来提到高灵敏度。该方法广泛应用于微加工设计和优化。
压电驱动微悬臂梁：非线性振动的实验分析
摘要
因为微悬臂梁在微机电领域的应用越来越多并且多数情况下被用来作为主要的传感装置，对它们的动态性能的全面分析就变得十分重要。在本文中，将会通过实验对压电驱动微悬臂梁的非线性振动进行研究。这种微悬臂梁的顶层被一层氧化锌的压电材料所覆盖，通过这层材料梁微悬臂梁可以被激励。微悬臂梁的非线性频率响应会被研究并且由非线性引起的固有频率的改变也可以看到。通过观察第二阶和第三阶基本频率的次谐波，在实验中将会得到微悬臂梁的二次和三次的非线性。还提出并验证基
于这些实验结果的数学模型。非线性的测量为试验中观察横向扭转模型提供了可能性。另外，这种模型不仅被研究还被讨论，而且在这种模型中的微悬臂梁就像是一块平板。
关键词：非线性振动 ，微悬臂梁，微传感器，压电驱动微悬臂梁
引言
微悬臂梁被大量的应用于纳米机械传感器和驱动器中。更确切地说，由于压电驱动微悬臂梁有更好的执行能力还具有自感功能，进来引起更多的关注。感应和驱动的功能都是基于微悬臂的静态和动态的偏转。然而，微悬臂梁的动态振动测量是感应理论的基础。由于一个小规模甚至非常小的激励能够带来很大的振幅甚至是产生非线性的振动，因此，十分需要一次对微悬臂梁的频率响应的非线性的全面的实验研究。本研究可以被利用到很多纳米级机械设备中，比如说扫描力显微镜、化学/生物质量和表面应力传感器，精确的光学传感器和其他等。
压电复合微悬臂梁在首次被用于感应目的后便被用作驱动器。这里提到的微悬臂梁是由两层组成，其中主金属层通常是硅系层，比如说硅或者是二氧化硅，而压电层通常只覆盖微悬臂梁的一侧的一部分（单层压电微悬臂梁），通常是氧化锌。图一中给出了压电驱动微悬臂梁的图片和它的组成。 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
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