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力学与固体物理学报
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近场动力学中键级别的变形梯度和能量平均
Timothy Breitzmana, Kaushik Dayal b,c,d,lowast;
a 复合材料科，美国空军研究实验室
b 非线性分析中心，美国卡内基梅隆大学
c 美国卡内基梅隆大学土木与环境工程系
d 国卡内基梅隆大学材料科学与工程系
文章信息 摘要
文章历史：
2017年7月19日收到
2017年9月26日修订
2017年9月26日接受
2017年9月29日在线
关键词：
近场动力学
非局部
相互穿透
稳定性
近场动力学模型在使用给定的经典局部连续介质力学中应力-变形响应关系时，通常先计算出一个非局部平均化的应变梯度，并将其作为应力-应变响应函数的自变量。这种方法会产生非物理的变形，如相互穿透并失去线性稳定性。本文介绍了一种处理这个缺点的方法。该策略基于(1)定义键级别的应变梯度张量——与通常的近场动力学中的矢量变形度量相反不同的是，它能同时捕捉近邻中所有键的平均应变和其中单个键的独立特征，并且(2)能在经典局部应变能理论中使用键级别的应变梯度来获得每个键的应变能。对比通常方法考虑平均化应变梯度的能量,该方法考虑键级别应变梯度能量的平均。
copy; 2017 Elsevier Ltd. 保留所有权利
1、介绍
近场动力学是一种非局部连续介质力学模型，它非常适合于模拟非连续变形，如破坏中出现的不连续变形。这一理论在Silling (2000)的基础文章中做了介绍。它首先是用连续体内连接材料粒子的长程键来表达的,每个键中的力只取决于它连接的材料粒子在参考坐标系和当前坐标系下的位置。但是，假设每个键都独立于其他键将导致可用来模拟其力学行为的材料种类会非常有限，满足
通讯作者
邮箱地址: timothy.breitzman.1@us.af.mil (T. Breitzman),
kaushik.dayal@cmu.edu (K. Dayal).
https://doi.org/10.1016/j.jmps.2017.09.015
0022-5096/copy; 2017 Elsevier Ltd. 保留所有权利
在原子的配对相互作用模型中也出现了非常类似的限制。粗略地与原子模型类比，需要多原子相互作用才能描述更复杂和真实的材料行为；实质上，键中的力不仅取决于它所连接的原子的相对位移，还取决于局部近邻环境中其他原子的位置(Seleson et al.,2014;Tadmor and Miller,2011)。尽管近场动力学的扩展提供了一个框架（Silling等人，2007）原则上可以解释这些多体相互作用,但一个重要的挑战是构建一个非局部的动力学模型，该模型可以在均匀变形下显示所产生的应力-变形响应。粗略地说，这是一个逆问题：给定经典局部连续体应力-变形响应，如何构造一个在均匀变形状态下具有相同行为（即应力和能量）的近场动力学模型。
如下对近场动力学的扩展-我们约定称之为对应模型-旨在开发一种系统方法将经典局部连续体应力-变形反应纳入非局部环境（Warren等人，2009）。对应模型粗略地处理以下过程：(1)定义类似于变形梯度的非局部平均量；(2)在局部连续应力-变形关系中使用这种非局部平均变形梯度来获得应力张量；(3)平均应力张量以获得力密度。已经注意到这种方法允许非物理变形，例如相互穿透（tupek和Radovitzky，2014年）和线性稳定性的损失（Bazant等，2016; Silling，2017）。首先，处理相互穿透和线性不稳定性的关键的先决努力是Tupek and Radovitzky (2014) ，他们通过使用应变测量的非局部类似物来防止相互穿透，当应变测量变为0时变得非常单一；其次，Silling (2017) 应用二次惩罚来惩罚与局部偏离非局部平均变形状态相关的零能量变形。
在这篇文章中，我们提出一种方法，基于(1)定义与变形梯度相关的键级模拟，该变形梯度同时捕捉近邻中所有键的平均应变和其中单个键的独立特征；并且(2)在经典的局部应变能响应理论中使用这种键级变形梯度来获得每个键的能量，然后对全域中的所有键进行求和，这些元素共同为任何局部偏离平均变形的变形产生了一定能量成本，从而消除了传统对应模型中观察到的线性不稳定性。另外，当相互穿透发生时，键级变形梯度将被视为行列式的值为0。当参数具有零行列式时，标准局部应变能函数通常只有一个解。与上述先前工作的关键区别在于，我们的公式能够使用单一框架，完全基于经典局部应变能密度来避免相互穿透以及线性不稳定性：我们不引入任何额外的二次惩罚项，使得相互穿透通过使用适当的标准局部应变能量响应函数被禁止：也就是说，我们给出了一个局部应变能密度函数，我们希望在近场动力学方面进行模拟，并且除了与非局部性有关的参数之外，我们不会引入任何其他参数。
1.1、符号
- 帽子表示被归一化为具有单位量值的向量:例如
- T表示本构响应函数：例如 T (x) = Ttilde; (F (x))
- 点表示时间导数:例如 y˙ 和 yuml;
- 样本被标注为Omega;
- x 和y(x)表示参考坐标和变形，我们使用x˘, x◦作为参考配置中积分的虚拟变量。为简明起见，我们记作y˘ equiv; y(x˘), y◦ equiv;y(x◦)，对于 w是一个测试函数
- alpha;(x˘ minus; x) = alpha;(|x˘ minus; x|) ge; 0 是满足归一化的权重函数，即
我们进一步假设它对具有特征长度 的区域具有紧密的作用。本文不考虑边界
以避免繁琐的代数操作，同时可以模糊关键点。
- 根据 alpha; 的各向同性出发，如下所示：
远离边界
2、基于态的对应模型摘要
近场动力学的原始公式是基于键的，即假定材料颗粒之间的相互作用与所有其他材料颗粒的变形无关（Silling，2000），这与原子模型中的配对电位非常相似，并且基于键的近场动力学和配对势原子分析在描述弹性响应方面也存在类似的缺陷：例如Silling (2000) 本身，泊松比在这两种模型中被限制为1/4。在非弹性响应的情况下，例如在特定临界拉伸时产生的键，静水载荷的应用可能导致屈服，为了弥补这些缺陷，引入了基于态的动态模型 Silling et al. (2007)；简言之，这些模型将局部变形环境的影响结合到材料颗粒对之间的相互作用中。在原子论的背景下，这些理论粗略的对应于多体原子势。
为了清楚起见，我们将本文提出的方法称为键级变形梯度模型
虽然基于态的模型提供了一个非常通用的框架，但系统地构建并显示所需宏观行为的模型是非常具有挑战性的，即使专注于均匀变形也是如此。这再次与原子模型中的情况类似，在原子模型中，几乎没有系统的方法 - 除了暴力破解之外 - 发展原子相互作用势。但是，在某些方面，连续体更具挑战性，因为非弹性行为也必须在连续模型中捕捉，并且预期它们自然而然的会出现在原子环境中。也就是说，给定一个非弹性响应模型，从塑性角度来说，如何构造一个至少在均匀变形极限下显示相同行为的近场动力学模型？对应的近场动力学模型，首先被Warren et al. (2009)发展，他们尝试解决这个问题。正如我们下面所描述的那样，本质上它们定义了一种非局部模拟变形梯度，然后使用非局部模拟作为经典局部能量或应力响应函数的参数。这使得对应模型能够直接且容易地建立在可用的经典局部连续应变能量密度函数和应力响应函数的大量文献上。我们在下面描述对应方法的本质 。
线性动量平衡的运动方程为：
其中
对应应力由 T (x) = Ttilde; (F ave(x)) 给出，其中Ttilde;是经典的局部连续体Piola应力反应方程。非局部平均变形梯度Fave(x)由以下式子给出：
有趣的是，类似的表达方式由英国的 Deseri and Owen (2015) 和 Falk and James (2006) 在结构变形和目标结构的背景下分别被提出。
注意到，我们可以重写非局部术语(2.1)为：
我们在这里使用过 并且忽略边界
2.1、观察零能量模式
我们将讨论在近场动力学的对应模型中出现零能模式的原因，紧随Macedo et al.(2018) 的研究其后。为简单起见，考虑一维线弹性。定义作用于位移的积分算子Dint u如下所示:
lt;
资料编号：[3782]
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