Chapter 7
A moment acting about the longitudinal axis of a member is called a twisting moment, a torque, or a torsional moment, T. In structures, torsion results from eccentric loading of beams, as shown in Fig.7-20 (which will be discussed later), or from deformations resulting from the continuity of beams or similar members that join at an angle to each other, as shown in Fig.7-21 (also discussed later).
Shearing Stresses Due to Torsion in Nutcracker Members
Solid Members
In a member subjected to torsion, a torsional moment causes shearing stresses on Cross-sectional planes and on radial planes extending from the axis of the member to the surface.The element shown in Fig.7-1 is stressed in shear, tau;, by the applied torque, T. In a circular, the shearing stresses are zero at the axis of the bar and increase linearly to a maximum stress at the outside of the bar, as shown in Fig.7-2a. In a rectangular bar, the shearing stress vary from zero at the center to a maximum at the centers of the long sides. Around the perimeter of a square bar, the shearing stresses vary from zero at the corners to a maximum at the center of each side, as shown in Fig. 7-2b.
The distribution of shearing stresses on a cross section can be visualized by using the soap-film analogy.The equations for the slope of an inflated membrane are analogous 10 the equations for shearing stress due to torsion. Thus, the distribution of shearing stresses can be visualized by cutting an opening in a plate to the shape of the cross section that is loaded in torsion, stretching a membrane or soap film over this opening, and inflating the membrane. Figure 7-3 shows an inflated membrane over a circular opening,representing a circular shaft. The maximum slope at each point in the membrane is proportional to the shearing stress at that point. The shearing stress acts perpendicular to the direction of the line of maximum slope. Such a line is tangent to the slope at point A in Fig. 7-3. A section through the membrane along a diameter is parabolic. Its slope varies linearly from zero at the center to a maximum at the edge in the same way as the stress distribution plotted in Fig. 7-2a. Figure 7-4 shows a membrane over a square opening. Here, the slopes of the radial lines correspond to the stress distribution shown in Fig. 7-2b. A similar membrane fora U-shaped Cross section made up from a series of rectangles is shown in Fig. 7-5a. The corresponding stress distribution is shown in Fig. 7-5b. For a hollow member with continuous walls, the membrane is similar to Fig. 7-3 or 7-4, except that the region inside the hollow part is represented by a rigid plate having the shape of the hole.
The torsional moment is proportional to the volume under the membrane. A comparison of Fig.7-4 and Fig. 7-5a shows that, for a given maximum slope corresponding to a given maximum shearing stress, the volume under a solid figure is much greater than that under an open figure. Thus, for a given maximum shearing stress,a solid rectangular cross section can transmit a much higher torsional moment than can an open section without slits in the walls.
Fig.7-1
Shear stresses due to torsion.
Fig.7-2
Distribution of torsional shear stresses in a circular bar and in a square bar.
(a) Stress distribution in a circular bar.
(b) Stress distribution in a square bar.
Fig.7-3
Soap-film analogy:circular bar.
Fig.7-4
Soap-film analogy:square bar.
(a)soap-film analogy.
Fig.7-5
Soap-film analogy:channel-shaped member.
(b)Distribution of shearing stresses.
The maximum shearing stress in an elastic circular shaft is
(7-1)
Where
= maximum shearing stress
T =torsional moment
r = radius of the bar
J = polar moment of inertia,
In a similar manner, the maximum shearing stress in a rectangular elastic shaft occurs at the center of the long side and can be written as
(7-2)
where x is the shorter overall dimension of the rectangle, y is the longer overall dimension,and a varies from 0.208 for y/x = 1.0 (square bar) to 0.333 for y/x=infin;(an infinitely wide plate [7-1]). An approximation to ɑ is
(7-3)
For a cross section made up of a series of thin rectangles, such as that in Fig 7-5,
(7-4)
where the term is evaluated for each of the rectangles.
The soap-film analogy and (7-1) to (7-4) apply to elastic bodies. For fully plastic bodies, the shearing stress will be the same at all points. Thus, the soap-film analogy must be replaced by a figure having a slope that is constant at the value corresponding to the fully plastic case, producing a cone for a circular shaft or a pyramid for a square member.Such a figure would be formed by pouring sand onto a plate having the same shape as the cross section. This is referred to as the sand-heap analogy. For a solid rectangular cross section, the fully plastic shearing stress is
(7-5)
where varies from 0.33 for y/x = 1.0to0.5 for y/x=infin;.
The behavior of uncracked concrete members in torsion is neither perfectly elastic nor perfectly plastic, as assumed by the soap-film and sand-heap analogies. However, solutions based on each of these models have been used successfully to predict torsional behavior.
Hollow Members
Figure 7-6a shows a thin-walled tube with continuous walls subjected to a torque about its longitudinal axis. An element ABCD cut from the wall is shown in Fig. 7-6b. The thicknesses of the walls along sides AB and CD are and , respectively. The applied torque causes shearing forces , , and on the sides of the element as shown, each equal to the shearing stresses on that side of the element times the area of the side. From , we find that ; but and , which together give , where and are the shearing stresses a
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第7章
作用在构件纵轴上的力矩称为扭转力矩、扭矩或扭转力矩T。在结构中，扭转是由梁的偏心荷载（如图7-20所示）（稍后将讨论），或由梁或以与每个构件成一定角度连接的类似构件的连续性引起的变形引起的。如图7-21所示（稍后也会讨论）。
胡桃钳零件扭转产生的剪应力
实体构件
在承受扭转的构件中，扭转力矩会在横截面和从构件轴线延伸至表面的径向平面上产生剪应力。图7-1中所示的构件在剪切时，tau;受到施加扭矩t的应力。在圆形构件中，钢筋轴线处的剪应力为零，并呈线性增加。如图7-2a所示，在矩形钢筋中，剪应力从中心的零变化到长边中心的最大。在一个方形钢筋的周围，剪切应力从拐角处的零变化到每边中心处的最大值，如图7-2b所示。
通过肥皂膜模拟，可以直观地看到横截面上的剪应力分布。膨胀膜的斜率方程类似于10扭转引起的剪应力方程。因此，剪切应力的分布可以通过将板上的开口切割成受扭转载荷的横截面形状、将膜或肥皂膜拉伸到该开口上以及向膜充气来观察。图7-3显示了一个圆形开口上的充气膜，表示一个圆形轴。膜内各点的最大坡度与该点的剪应力成正比。剪应力垂直于最大坡度线的方向作用。这样一条线与图7-3中A点处的斜面相切。沿直径穿过膜的截面是抛物线形的。其坡度从中心到边缘的最大值呈线性变化，与图7-2a中绘制的应力分布相同。图7-4显示了一个方形开口上的薄膜。此处，径向线的坡度对应于图7-2b所示的应力分布。图7-5a所示为由一系列矩形组成的类似U形截面的膜。相应的应力分布如图7-5b所示。对于具有连续墙的空心构件，膜类似于图7-3或7-4。但空心部分内的区域由具有孔形状的刚性板表示。
扭转力矩与膜下的体积成正比。图7-4和图7-5a的比较表明，对于对应于给定最大剪应力的给定最大坡度，实心图形下的体积比空心图形下的体积大得多。因此，在给定的最大剪应力下，实心矩形截面可比无缝隙的开口截面传递更高的扭矩。
图7-1
剪切应力由于到扭转。
图7-2
扭转剪切应力在A圆形钢筋和A方形钢筋中的分布。
（a）应力在A圆形钢筋中的分布。
（b）应力在A方形钢筋中的分布。
图7-3
肥皂膜类比：圆棒。
图7-4
肥皂膜类比：方形。
（a）肥皂膜类比。
图7-5
肥皂膜类比：槽形构件。
（b）剪应力分布。
最大剪切应力在弹性圆形轴中为
(7-1)
在这里
=最大剪应力
T =扭转力矩
r =钢筋半径
J =惯性极矩,
以A矩形弹性轴中最大剪应力在长侧和的中心处，可书写如下
(7-2)
其中x是矩形的较短外形尺寸，y是较长的外形尺寸，a在y/x=1.0（平方巴）时为0.208，在y/x=infin;（无限宽的板[7-1]）时为0.333。_的近似值是
(7-3)
对于由一系列薄矩形组成的横截面，如图7-5所示，
(7-4)
其中 是为每个矩形计算的。
肥皂膜类比和（7-1）到（7-4）适用于弹性体。对于全塑性体，各点的剪应力相同。因此，必须将肥皂膜类比替换为具有与全塑性外壳相对应的坡度不变的图形，从而为圆轴生成圆锥体，为方形构件生成棱锥体。这样的图形将通过将沙倒入与横截面形状相同的板上形成。这被称为沙堆类比。对于实心矩形截面，全塑性剪应力为
(7-5)
其中y/x=1.0时为0.33，y/x=infin;时为0.5。
未开裂混凝土构件在扭转中的行为既不是完全弹性的，也不是完全塑性的，正如肥皂膜和沙堆的类比所假设的那样。然而，基于这些模型的解已成功地用于预测扭转行为。
空心构件
图7-6a显示了一个具有连续壁的薄壁管，在其纵轴上受到扭矩。图7-6b所示为从壁上切下的一个单元，沿AB侧和CD侧壁的厚度分别为 和，如图所示，施加的扭矩会在构件侧面产生, , 和 的剪切力，每个力等于构件侧面的剪切应力乘以构件侧面的面积。从 ，我们发现 ；但是和 ，它们一起给出 ，其中和 分别是作用在AB和CD边上的剪应力。乘积 被称为剪切流q。
对于较小元素的平衡,在角B的元素在图7-6b中，;同样的，在 , ,如图7-6c和d所示。因此，在点B和C上管的周长， .这表明，对于a给定施加的扭矩，T，剪切流q在管周围是恒定的。剪切流的单位为（应力times;长度）磅力/英寸（N/mm）。剪切流这个名字来源于对圆形水槽周围水流的类比。在任何给定的时间段内，流过水槽中任何给定点的水量都是恒定的。
图7-6e显示了管子的端视图。作用在墙体长度 上的扭转剪切力为q 。从这个力到管的质心轴的垂直距离是r，这个力关于轴的力矩是 ，其中r是从壁的中间平面测量的，因为这是力 q 的作用线。围绕周长进行积分可获得管道中的扭矩：
(7-6)
图7-6
薄壁管中的剪应力。（摘自[7-2]Popov，E.P.，《材料力学》，SI版，1978年2/E（C），第80页，经新泽西州上萨德尔河普伦蒂斯·霍尔许可转载。）
其中 表示管道周围的整合。但是，q是围绕管子周长的常数，因此q可以移动到积分之外，得出：
(7-7)
图7-6e中的阴影三角形的面积为。因此，在（7-7）中，是在周长的基本长度 ,和管轴之间延伸的阴影三角形面积的两倍。此外，等于壁厚中心线所包围的面积的两倍。该区域被称为剪切流动路径所包围的区域，对于图7-7，A。所示的横截面，a.是该区域，包括管中心的孔面积。方程式（7-7）变为
(7-8)
在这里，重新排列给出
(7-9)
式中，t是计算扭转产生的剪切应力 处的壁厚。最大扭转剪应力出现在壁厚最小的地方。例如，对于图7-7所示的空心梯形桥梁横截面，其位于下翼缘。
图7-7桥梁横断面图——例7-1。
该分析仅适用于管壁是连续的（没有平行于管轴的缝隙），或者如果在实心构件的情况下，构件可以近似为具有连续壁的管。方程（7-9）可用于弹性或非弹性截面。在图7-3中考虑膜的形状。如果膜的倾斜变化沿壁厚变化很小，可以称为薄壁管，并且可以忽略不计，而不会造成严重的精度损失。
例7-1：使用薄壁管理论计算桥梁横截面上的扭转剪应力
图7-7a显示了桥梁的横截面。计算由于施加1650 ft kips的扭矩导致的墙顶部和底部以及下部翼缘的剪切应力。
1.计算A。。
A。是管壁中间板包围的区域。图7-7a中的虚线是A。的周长。突出的甲板翼缘不是管道的一部分，在计算A。时被忽略。将A。分为三角形和矩形，如图7-7b所示。
2.根据（7-8）计算剪切流q，
3.计算剪切应力。
在墙的顶部，厚度为24英寸。墙顶部的扭转剪应力为
在墙的底部，厚度为14英寸。墙底部的扭转剪应力为
底部轮缘的厚度为6英寸。底部翼缘的扭转剪应力为
这个例子说明了扭剪应力的计算。在设计中，（7-8）的书写形式略有不同，如第7-4节所述。
扭转引起的主应力
当图7-8所示的梁受到扭转力矩T时，如图7-8a所示，剪切应力在顶面和正面产生。这些构件上的主应力如图7-8b所示。主拉应力等于主压应力，如果T为仅加载。如图7-8c中的A-B-C-D-E线所示，主拉应力最终导致围绕车身螺旋形的开裂。
在钢筋混凝土构件中，这种裂缝除非与钢筋交叉，否则会导致破坏，通常在拐角处和箍筋处采用纵向钢筋的形式。由于裂纹在车身周围呈螺旋形，因此需要四边（封闭）的箍筋。
扭转和剪切引起的主应力
如果一根梁受到如图7-9所示的剪切和扭转组合，两个剪切应力分量加在一个侧面上，相互抵消，如图7-9a和b所示。因此，倾斜裂缝从应力增加（裂缝a b）的面开始，并延伸到梁的弯曲拉伸面上（在这里因为这是一个悬臂梁，所以在顶部装上箱子。如果弯曲力矩足够大，裂纹将几乎垂直延伸到背面，如图7-9c中的裂纹cd所示。靠近梁底部的弯曲压缩区防止裂纹延伸到正面和背面的整个高度。
循环扭转和扭曲扭转
受扭转的构件可分为两个族，以抵抗扭转的方式区分。如果横截面是实心的（正方形、矩形、圆形或多边形），或是封闭的管，扭转会受到扭转应力 tau;的抵抗，扭转应力 tau;在截面周围以连续方式作用，如图所示。7-2、7-5和7-6。在封闭管中，这些应力可以用圆周上恒定的剪切流来表示。这被称为循环扭转或。法国数学家文南特扭转，1853年推导了非圆截面扭转应力方程，并发展了肥皂膜类比。
在圆杆中，扭应力在杆的圆周上是恒定的，如图所示。7-2a和7-3。因此，剪切应变在圆周上是恒定的，因此垂直于杆轴的平面截面在荷载作用下保持平面。然而，在横截面为矩形的钢筋中，扭转应力从矩形长边中间的最大值变化到角部的零，如图所示7-2b和7－4。因此，剪切应变在截面周围变化，导致截面变形，使得穿过钢筋的平面截面不保持平面。这种变形称为翘曲。如果翘曲变形受到限制，部分（或全部）扭转将受到翘曲扭转的抵抗。翘曲扭转通常发生在由三个或多个壁连接在一起形成通道截面或工字梁截面的横截面中。
循环扭转构件和翘曲扭转构件之间没有绝对界限。通常情况下，两种类型的扭转都会出现在同一构件中，相对量会随着截面的变化而变化。以下段落将考虑两种情况，每种情况给出不同的翘曲扭转和循环扭转分布。
图7-8纯扭转引起的主应力和开裂。
图7-9组合剪切、扭转和力矩。
图7-10所示为受扭矩作用的钢悬臂工字梁， 位于自由端，靠近自由端，A-B端， 主要受循环扭矩作用。靠近支撑端C-D，扭矩主要由翼缘内的剪切力抵抗：
这些力作用在翼缘的中厚处，h是两个翼缘中合力之间的距离。力 可以理想化为作用在距离端部A的距离上，在固定端的每个翼缘中产生 的力矩。
(7-10)
图7-10工字钢的翘曲扭转。
这里
E和G分别是弹性模量和剪切模量；
I是关于腹板对称平面的整个截面的惯性矩，因此一个翼板的惯性矩约为I/2；
J是横截面的极惯性矩。
力矩 Mu在翼缘固定端产生的弯曲应力，sigma;等于
(7-11)
(7-12)
其中t和b是翼缘的厚度和宽度，h是工字梁的高度，翼缘中心到中心。在距固定端A的距离之外，所有的扭转都可以被循环扭转所抵抗。
另一种常见的情况是由两个大梁和一个板组成的桥梁，如图7-11所示。桥在跨中处由一个扭矩1加载。如图7-11b中的扭矩图所示，一半的扭矩被桥的每一端所抵抗。施加扭矩左侧的横截面被加载点右侧的横截面所约束，以防翘曲，该横截面具有相反符号的扭转应力。靠近横梁末端的横截面可以自由弯曲。
本章的平衡只考虑循环扭转。受翘曲扭转影响的结构分析在有关材料高级强度或桥梁设计的书籍中有介绍[7-3]。
图7-11翘曲扭转a桥。（表[7-3]）
纯扭转
当混凝土构件以纯扭转加载时，如图7-8a和b所示产生剪应力和主应力。当最大主拉应力达到混凝土的拉伸强度时，会产生一个或多个倾斜裂缝。开裂的开始导致无筋构件的失效。此外，无箍筋的纵向钢筋的加入对纯扭转荷载下的梁的强度几乎没有影响，因为它只对抵抗斜向拉力的纵向构件有效。
矩形梁的边角设纵向钢筋，箍筋封闭，抗裂后荷载增大。图7-12是这种梁的扭矩-扭转曲线。在开裂荷载（图7-12中的点A）处，扭转角在不增加扭矩的情况下增大，因为以前未开裂混凝土中的一些力重新分布到钢筋上。裂缝延伸到构件的中心核心，导致核心失效。图7-13比较了具有相同外部尺寸和增加纵向和箍筋数量的一系列实心和空心矩形梁的强度[7-4]。尽管空心梁的开裂扭矩较低，但具有相同配筋的实心梁和空心梁的极限强度相同，这表明受纯扭转荷载的开裂钢筋混凝土构件的强度是相同的。由包含钢筋的混凝土外表面或管控制。
钢筋混凝土梁开裂后，其破坏形式有多种。箍筋或纵向钢筋，或两者兼而有之，可能会屈服，或者，对于在扭转中过度加固的梁，倾斜裂缝之间的混凝土可能会在钢筋屈服之前被主压应力压碎。当两种钢筋屈服时，最具延性。
组合扭转、力矩和剪切力
图7-12矩形梁的扭矩-扭转曲线。（[7-4]）
图7-13外形尺寸相同的实心和空心截面的抗扭强度。（摘自[7-4]）
扭转本身很少发生，一般来说，还有弯矩和剪切力。 不带箍筋的梁的测试结果，加载各种扭转和剪切比，如图7-14所示。 [7-5]数据的下包络由四分之一椭圆给出
(7-13a)
其中，在此图中， 和 。这些梁在倾斜裂缝处或之后不久就失效了。
7-3扭转设计方法
两种截然不同的理论被用来解释钢筋混凝土构件的强度。第一，基于Lessig[7-6]开发的斜弯理论，并由HSU[7-4]扩展，是1971至1989年ACI规范中扭转设计规定的基础。该理论假定某些剪切和扭转由混凝土抵抗，其余由剪切和扭转钢筋抵抗。假设破坏模式涉及到由裂纹围绕构件四个侧面中的三个旋转引起的倾斜表面上的弯曲，如图7-9c所示。
第二种设计理论基于薄壁管/塑性空间桁架模型，类似于第6章中提出的塑性桁架类比。这一理论由兰伯特和瑟
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资料编号：[1641]
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