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第四章
具有若干自由度的系统。
- 达朗贝尔原理和虚位移原理
在前面单自由度系统振动问题的讨论中，常采用达朗贝尔原理。相同的原理也适用于几个自由度的系统。
作为第一个例子，粒子在空间中的运动是不一致的。为了确定这个粒子的位置，需要三个坐标。通过取坐标，用X，Y和Z表示作用在点上的所有力的合力的分量，得到粒子的平衡方程为：
X=0，Y=0，Z=0。(68)
如果粒子在运动中，并利用达朗贝尔原理，则运动微分方程可以用与静力学方程相同的方式写出。只需将惯性力加到给定的外力上即可。这个力在x，y，z方向上的分量分别是，运动方程是
如果考虑一个由几个粒子组成的无空间粒子系统，则应为该系统的每一个粒子编写方程(69)。
现在考虑组成系统的粒子不是完全独立的，而是受到某些约束的系统，这些约束可以用这些点的坐标之间的方程的形式表示。在图115中，表示了这类系统的几个简单情况。在球状物体的情况下(图.115，a)，质点m与原点的距离在运动过程中应该保持不变，等于摆的长度I。因此，这个点的坐标x，y和z不再是独立的：它们必须满足方程*。
在双摆(图.115，b)的情况下，约束条件将由下列方程表示
在连杆系统(.115，c)的情况下，点A沿着半径r的圆移动，点B沿着x轴移动。系统的位置只能由一个坐标指定，即系统只有一个自由度。
在考虑这类系统的平衡条件时，将应用虚拟相似原理。这一原则规定，如果一个系统处于平衡状态，力对系统每个虚拟位移(小的可能位移，即可以在不违反系统约束的情况下执行的位移)所做的功必须等于零。例如，对于由X，Y和Z组成的球面摆，作用于质量m的所有力的合力的分量，虚拟近似方程将是
注：当约束方程不仅包括粒子的坐标，而且包括粒子的坐标和时间的情况下，这里将不考虑。例如，我们不考虑钟摆的振动，它的长度在运动过程中必须由一个特殊的装置来改变，例如，当i是t的某一函数时。
其中是点m的虚位移分量，即m的坐标x，y，z的小变化满足约束条件(a)。则有
或者是少量的高阶
这个方程表明，虚拟位移与摆杆I相对应，球面上m点的任何微小位移都可以看作是一个虚拟位移。如果作用在m上的所有力的合力是正的，则满足式(d)在球面上，因为只有在这种情况下，它们做的功
作用在每个虚位移上的力将等于零。
将虚位移原理与达朗贝尔原理相结合，可以很容易地得到具有约束的系统的运动微分方程。例如， 在球摆的情况下，通过把惯性力加到作用在粒子m上的外力上，得到以下一般运动方程，
其中是虚位移的分量，即，小位移满足约束条件(a)。在相同的情况下对于由n粒子组成的系统，并经受力的作用，得到运动方程为
其中是虚位移的分量，即满足系统约束条件的小位移。例如，在双摆(图115，b)的情况下，虚拟变焦应该满足条件(参见更高的条件)。6，c)
虚位移应满足条件(见b,c)
应该注意的是，，，表示作用在粒子上所有力合力的分量，但是有几个种类的力对虚位移不做功，下面我们假设在中只产生力，包括虚位移的计算。
如果没有约束，系统的粒子是完全自由的，那么微小量在方程式（71）是完全独立的，而且方程式（71）仅在针对系统的每个粒子的情况下才满足虚拟位移的每个值。方程得到满足。
这是以前得到的自由粒子运动的方程(69)
式(71)是一个粒子系统的一般运动方程，从该方程可导出必要的运动方程，等于该系统的自由度数。这些方程式的基本原理将在第32条中说明。
31.广义坐标和广义力
在前一篇使用笛卡尔坐标的文章中，我们发现这些坐标，在描述一个系统的结构时，通常是不独立的。此外，它们还必须满足某些约束条件，例如，前一条的方程(a)、(b)和(c)取决于系统的安排。通常情况下，用完全相互独立的量来描述系统的结构更为方便。这些量不一定具有长度的维数。它们可能有其他维度;例如，有时取某些方向之间的角或某些面积或体积的大小作为坐标是有用的。这种用来描述系统构型的独立量通常称为广义坐标。
以前面讨论的球面摆为例(图115,a)，摆的位置完全由两个角度决定,这两个独立量可以作为这种情况下的广义坐标。点m的主要坐标可以很容易地用新的坐标表示。将摆的长度Om投影到坐标轴上，我们有
注：“广义坐标”、“速度”和“力”的术语是由汤姆逊和泰特提出的，《自然哲学》1867年第一版。
在双摆的情况下(图115，b)，图中所示的角度可以作为广义坐标，用这些新坐标表示笛卡尔坐标如下:
如果一个均匀且各向同性材料的固体受到均匀的外部压力p，它的所有尺寸将以相同的比例减小，而新的结构将完全由该固体体积v的变化速率决定。量v可以作为这种情况下的广义坐标。
现在考虑两端支承梁的弯曲情况(图116)。为了描述这个弹性系统的结构，需要大量的坐标。挠度曲线可以通过给出梁的每个点的挠度来定义，或者我们可以用其他的方式进行，以一系列的形式表示挠度曲线：
如果给出系数则挠度曲线将完全确定。在有支承端梁弯曲的情况下，这些量可作为广义坐标。
如果用广义坐标来描述一个系统的构型，那么系统的所有独立的虚位移类型都可以通过对这些坐标的连续小增量来得到。例如，在球面摆的情况下，通过给角度增加一个小的可以得到沿平行圆的一个小位移。坐标增加一个小的量对应于子午线方向上一个小的位移。点m的任何其他小位移都可以分解为两个分量，如。
在有支撑端梁的弯曲情况下(图116)，任意广义坐标(见式. c)的一个小的增加涉及图中虚线所示的具有n个半波的虚拟挠度。任何偏离平衡位置的梁都可以通过叠加这种正弦位移得到。
在讨论中，利用广义坐标，我们得到了广义力的概念。广义坐标与相应的广义力之间存在一定的关系，我们将首先用简单的例子加以说明。再回到球面的例子，摆设P Q R分别表示作用在粒子上的力在子午线、平行圆和径向切线方向上的分量。分别。如果给坐标一个小的增量，点m将执行一个小位移，作用在这一点上的力将做功等于
因子,它必须乘以广义坐标的增量，才能得到位移过程中所做的功，叫做相对应的广义力,这样我们就得到了在力的方向上，力X对位移的功的表达式，。在考虑的情况下，这种“力”有一个简单的物理意义。它表示作用于点m上关于垂直轴z的力的力矩。同样可以看出，对应于坐标的广义力，球面摆的力矩表示为作用在点m上的力的力矩，点m的直径与平面垂直。
当物体受到均匀压力的作用时，以体积的减小作为广义坐标，相应的广义力就是压力，因为的量代表了外力在“位移”过程中所做的功。
现在让我们考虑一个更复杂的情况，即弯曲力作用下的梁(见图116)。取挠度曲线的广义表达式(c)，以为广义坐标，将从考虑位移上的所有力所完成的功的考虑中找到与这些坐标之一(例如)相对应的广义力。该位移在图中用虚线表示。
在计算位移产生的功时，不仅要考虑外荷载,和，而且还必须考虑梁的内力。对应于坐标的增加的负载，，的施加点的垂直位移分别是、和。在这个位移过程中，做的功是
为了求弹性力所做的功，将使用弯曲势能的表达式。在等截面梁的情况下，能量是
其中EI为梁的等弯刚度。
把这个方程中的级数(c)代入y，并考虑到这一点
其中m和n表示不同的整数，我们得到，
由式(f)可知，随着坐标的增加，弯曲势能的增大为:
势能的增加是由于弹性力的功。这些力所做的功等于(g)但符号相反。由(d)和(g)可知，图116所示系统坐标对应的广义力为
用同样的方法，我们可以求出任何其他情况下的广义力。由表示一个系统在一般情况下的广义坐标，可以得到相应的广义力——由表示功的条件得到位移时所有力产生;同样地，表示位移时所做的功，以此类推。
32. 拉格朗日方程
利用达朗贝尔原理推导出运动的一般方程(71)，指出虚位移的分量不是相互独立的，它们必须根据系统的具体布置满足一定的约束条件。利用独立的广义坐标和广义力，可以得到系统运动方程推导的极大简化。让是n个粒子系统的广义坐标，有k个自由度方程，例如
表示笛卡尔坐标与广义坐标之间的关系。假设这些方程不明确包含时间t和速度
为了把一般方程(71)转换成这些新的坐标我们把它写成如下形式，
只考虑一个广义坐标的增量对应的虚位移。根据广义坐标和广义力的定义(见第31条)，式(b)右边表示对虚位移所做的功等于
其中表示坐标对应的广义力
为了将公式（b）的左侧变换为新的坐标，需要注意的是，在考虑的情况下，当坐标单独变化时，坐标的变化为
其中符号表示对的偏导数，而由方程式(a)给出。则
拉格朗日证明，通过对动能表达式进行一定的微分运算，可以识别出该表达式。为此，我们将表达式(d)改写如下:
这个方程可以用系统动能的表达式来简化。
记住这一点，方程式(a)速度可以表示为广义坐标和广义速度的函数，得到偏导数和的表达式
考虑到
我们得到
现在方程式 (e)可以写成
在转换式(f)中，我们注意到
或者，通过使用(g)，
同样地，我们得到
将其代入式(f)可得
现在利用式(h)和(k)表示式(b)左侧的式(d)可写成
通过对等式右边使用(c)我们最终得到，
这是运动微分方程的拉格朗日形式。对于系统的每一个广义坐标都可以写出这样的方程，这样方程的个数就等于广义坐标的个数，也就是系统的自由度的个数。
到目前为止，广义力没有受到任何限制。它们可以是恒定的力，也可以是时间、位置或速度的函数。现在考虑有势能的力的特殊情况让V表示系统的势能。然后从虚位移做功等于势能减小的条件出发
或者考虑到小位移是独立的，我们得到，
拉格朗日方程(72)采用这种形式
如果有两种力作用于这个系统:(1)有势的力(2)其他力，我们将保留之前的符号拉格朗日方程变成
在前面的讨论中，我们假设(a)式表示笛卡尔坐标和广义坐标之间的几何关系，不明确包含时间t。然而，可以证明，拉格朗日方程在(a)表达式随时间连续变化的情况下仍然保持其形式
例如，如果我们假设图115所示的球面摆的长度I不是恒定的，而是通过某种特殊的安排，随着时间的变化而不断变化，那么我们将得到这样一个系统的例子。
33. 球面摆
作为应用拉格朗日方程求解动力学问题的一个例子，我们将考虑球面摆的情况(图115,a)
将角度和作为粒子m的广义坐标，m的速度为
系统的动能是
假设重量mg是作用在质量m上的唯一的力，并且按照第31条的解释进行，我们发现坐标所对应的广义力等于0，坐标所对应的力为
利用(a)和(b)可由一般方程(72)得到以下两个运动方程
现在将审议几个具体的运动情况。
如果粒子m的初速度与子午线相切，则该点的路径与子午线重合，即=0，对于单摆，
方程(c)简化为已知方程，
根据式(d)，假设运动过程中角度d保持不变，则可以得到圆锥摆的情况，那么角度d也一定是一个常数。
设
由式(c)、(d)可得
由此可以计算出给定角度下的角速度和常数h。
现在考虑一个更复杂的情况，在这个情况下，沿着水平圆的锥形摆的质量m的稳定运动受到了轻微的干扰，使得这个质量在水平圆上发生了微小的振荡，设
式中，为运动过程中角度的小波动。在所有进一步的计算中，只保留我们得到的小量的一次方。
代入式(c)，用式(d)
假设对常数进行调整，使式
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