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热力学分析的围动力理论
Bahattin Kilic and Erdogan Madenci, Member, IEEE
摘要
互连线和电子封装的热力学建模是一项艰巨的挑战，特别是对于1米以下的材料界面和薄膜。要理解和预测它们的机械故障，需要在多个长度尺度下模拟材料的行为。然而，经典的连续体理论不能在没有外部裂纹扩展准则的后验分析的情况下预测破坏，并且不能处理厚度为零的界面。一种新的非局部连续体理论被称为动态动力学理论，它提供了在这些长度尺度上预测失效的能力。本研究提出了一个新的反应函数，作为动态动力学理论的一部分，包括热负荷。将基准问题的位移预测结果与有限元方法的位移预测结果进行比较，验证了该响应函数，并利用围动力理论预测了热机械载荷作用下不同材料区域的损伤萌生和扩展。
介绍
为了正确地设计微电子器件，了解材料性能、粘接厚度和接头几何形状对裂纹萌生和扩展的影响是很重要的。由于微电子器件有宏观和微观尺度的元件，它们的分析需要使用中尺度的理论来解释这些尺度之间的相互作用。然而，经典的(局部)连续体理论是建立在一个假设的基础上的，即连续体中的一个点受到距离感兴趣点无穷小距离的点的影响。虽然这一假设在宏观尺度上是可以接受的，但在微观尺度和更小的长度尺度上，它的有效性是值得怀疑的，因为原子之间通过范德华离子相互作用产生的长程力在有限的距离内相互作用。为了解释长期效应，Kroner[1]、Eringen和Edelen[2]以及Kunin[3]发展了非局部连续统理论的不同版本。如图1所示，连续介质的非局部理论建立了局部连续介质力学与分子动力学之间的联系。因为非本地理论仍然假设媒体是连续的，所以它是连续的,计算上比分子动力学要求低，并考虑了长期影响。
由于该理论的非局域性质，Eringen和Kim[4]表明裂纹尖端前的应力场是有限的，而不是经典连续体理论预测的无限。之后，Ari和Eringen[5]表明，利用非局部弹性对Griffith裂纹的分析结果与Elliot[6]给出的晶格模型一致。Eringen和Kim[7]提出了一种自然断裂准则，将最大应力等同于将原子键连接在一起的内聚应力。该准则适用于连续介质中的任何地方，而不需要区分不连续点。虽然这种非局部连续体理论导致了裂纹尖端的有限应力，但公式中保留的位移场导数存在裂纹引起的不连续。
另一种由库宁[3]和罗古拉[8]独立引入的非局域理论，克服了这一困难，因为它使用位移场而不是位移场的导数。然而，它只适用于一维介质。库宁[9]将离散周期晶格结构近似为连续介质，导出了三维非局部模型。最近，Silling[10]独立地重新引入了一种不需要空间衍生的非局部理论——围动力理论。与Kunin[3]和Rogula[8]之前的非局域理论相比，周动态理论更为普遍，因为它除了考虑一维介质外，还考虑了二维和三维介质。与Kunin[9]的非局部理论相比，佩里奈动力理论允许材料对位移的非线性响应。此外，围动力理论中的材料反应包括损伤。
在动态动力学理论中，质点通过规定的响应函数直接相互作用，该响应函数包含与质点相关的所有本构信息。响应函数包含一个名为内部长度的长度参数。相互作用的局部性依赖于内部长度，随着内部长度的减小，相互作用变得更加局部性。因此，经典弹性理论可以被认为是围动力理论的极限情况下，内部长度接近于零。例如,
图2所示。质点与其相邻点的相互作用。
结果表明，随着响应函数[11]、[12]的适当选择，动态动力学理论简化为线性弹性理论。在另一种极限情况下，当内部长度接近原子间距离时，Silling和Bobaru[13]表明范德华力可以作为响应函数来模拟纳米尺度结构。因此，动态动力学理论能够在纳米尺度和宏观尺度之间架起桥梁。
微电子器件的失效往往是由热机械载荷引起的。由于围动力学是一个相对较新的理论，其在热机械载荷作用下的应用尚未见文献报道。Agwai et al.[14]等人仅在机械载荷作用下，应用佩里奈动力学研究了氮化硅和氧化硅薄膜层厚度为1的电子封装的多层结构中的界面失效传播。因此，本研究描述了动态动力学理论的扩展，包括热力学载荷。通过将经典连续介质理论的应变能密度与热机械载荷作用下的周向应变能密度相等，导出了一个新的响应函数。为了验证该方法的有效性，将温度梯度作用下矩形板的动态力学结果与有限元法进行了比较。最后，通过对矩形板裂纹扩展和不同粘结板在热载荷作用下的三维分层进行建模，验证了围动力理论的失效预测能力。
图3所示。两个质点在初始状态和变形状态下的位置。
(1)其中为积分域，为位移矢量场，为规定的体力密度场，为质量密度。响应函数定义为质点作用于质点的单位体积平方上的力向量。
动态动力学理论允许在多个长度尺度上进行时变分析。损伤是本构模型的一部分，本构模型允许损伤在不依赖裂纹萌生或扩展准则的情况下在材料中萌生和扩展。因此，裂纹在没有外部提供的“裂纹增长规律”或断裂力学的特殊技术的情况下，以积极有利的方向和速度增长。
材料点之间通过规定的响应函数直接相互作用，该响应函数包含与材料相关的所有本构信息。响应函数可以定义为（2）
II.PERIDYNAMIC理论
peridynamic理论关心的是材料的物理身体的质点与范围内的所有点(图2)。在古典(当地)连续介质理论,物质的身体是连续的,而非离散的分子动力学。然而，基于动态动力学和基于连续动力学方法的主要区别在于动态动力学理论不涉及位移分量的空间导数。这一特性使围奈米流体配方在介质中的任何地方都是有效的，而不考虑驱替不连续的存在。
动态力学(非局部)理论是对经典连续介质力学(局部)理论的一种启发式重构，其形式是积分方程而不是微分方程
其中，为质点温度和相对于环境温度的平均值。相对位置，可以表示为参考构型(图3)，相对位移，可以表示为点与点之间的距离(图3)
它是距离变化量与点与点之间的初始距离之比。内部长度是对非局部行为的度量。。相互作用的局部性取决于
，随着内部长度的减小，相互作用变得更加局部(图4)。
(2)中给出的响应函数适用于宏观尺度上的物质行为。因此,响应
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图6所示。均质体的各向同性伸长。
Silling和Askari[16]解释了由应变能密度函数导出的微弹性材料模型，该模型与经典弹性理论有关。在一个给定的点上，物体的能量密度可以写成
(4)
图5所示。键力是拉伸的函数。
函数与拉伸是线性相关的(图5)。拉伸可以用与经典连续介质理论中的应变相同的方式解释。因此，可以通过将围动力内能与经典弹性理论的围动力内能相等来确定材料常数。此外，作用于质点之间的力随着距离的增加而减小;这种力的例子有原子相互作用、引力和洛伦兹力。因此，响应函数包含一个正态分布，它允许力随着一对质点之间距离的增加而减小。虽然不同的分布，如柯西、伽玛等，也可以用来定义响应函数，这里考虑正态分布，因为麦克斯韦-玻尔兹曼分布导致正态分布在连续体
其中表示微电位，微电位可以与[14]形式的响应函数相关联
(5)
对于各向同性材料，考虑在各向同性扩展[16]下的无限均匀体，可以确定常数和in(2)。换句话说，拉伸对所有人来说都是恒定的，(图6)。
在此规定荷载下，利用式(2)中给出的响应函数可简化为
(6)
因此，微电位可以用这种形式表示
(7)
将(7)中的微电势插入(4)中，得到能量密度的最终形式为
在统计力学中，极限和大多数物理系统服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布。
为了简化多质点相互作用产生的复杂情况，将响应函数设为
(2)仅适用于成对的相互作用。在古典 (8)
与传统的基于连续函数的方法相比。通过定义局部损伤为，消除了由于本构模型中引入失效而导致的局部损伤在某一点处的不明确性质
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图7所示。键合破坏模型。 |
因此，局部损伤是断裂相互作用次数与总相互作用次数的加权比。由Silling和Askari[16]所示，在各向同性材料的临界能量释放速率中也可以得到临界拉伸值。然而，有必要通过实验获得不同材料之间特定界面的临界拉伸值。从双悬臂梁(DCB)试验和PD仿真中可以反求出临界拉伸值。在纳米粒子含量可控的复合材料中，利用DCB试样，Colavito等人用[17]测定了临界拉伸值。 |
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经典连续介质理论中的应变能密度可以写成这种形式 |
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(9) |
(15)
式中为热膨胀系数。在相同的加载条件下，应变能密度可简化为
(10)
三世。动力学方程的数值解
为了求解(1)，采用了配点法，数值处理将整个材料域离散为子域。并置(积分)点随后被放入子域，以将运动的积分方程简化为有限和
其中为材料的体积模量。
通过将动态力学和经典连续介质理论的能量密度相等，可以得到未知的材料常数
确定为因此，可以将式(2)中的and替换为重写响应函数
为了将失效包含在材料响应中，将响应函数进一步修改为其中为历史相关的尺度值函数;它可以写成(14)
其中为发生破坏的临界拉伸(图7)。在求解过程中，计算并监测每个质点的位移，以及成对质点之间的拉伸。当两点之间的弹性拉伸超过临界拉伸时，失效发生，这两点不再相互作用。因此，对材料的损伤进行了更为真实的模拟
其中为位于第个搭配点的位置向量，为子域的个数，为第个搭配点在子域中的个数。位置矢量
表示子域的第个积分点。参数为该点的高斯积分权值本研究采用八积分点的六面体形状子域进行体积分。这种离散化在某些问题中会导致大量的配点位。因此，使用OpenMP并行处理也被用来减少计算时间，同时使用统一网格作为链表数组，如Kilic[18]所述。采用Berger和Bokhari[19]引入的二进制空间分解，并通过Kilic[18]进行扩展，从而在每个处理器上获得良好的负载平衡。分解包括将问题域划分为两个子单元，每个子单元的配置点数目大致相同。然后，每个子单元被连续地分成两个子单元，直到子单元和处理器的数量相等为止。为了降低处理器之间的通信开销，首先考虑子单元按法线仅在-、-和-方向上的平面划分。因此，计算这些划分所产生的表面积，然后将子单元按表面积最小的方向划分，以使子单元之间的相互作用最小。
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(17)
点的修正密度在哪里，可以表示为
此外，利用Greschgorin定理，保证了中心差分显式积分的稳定性
其中是-、-或-方向的法向量。力密度可以用这种形式表示
式中为时间步长，为方便起见选择为单位;为系统刚度矩阵，目前求解方法中没有明确给出。然而，刚度矩阵的行和可以用(18)近似计算，如[18]所述。
第四(19)。数值结果
由[20]可知，阻尼系数为(20)其中为对角“局部”刚度矩阵，可表示为
首先考虑温度梯度作用下的矩形板和均匀温度变化作用下的两个键合不同的板，这两种情况都没有任何位移约束，从而证明了预测的有效性。将围动力理论的位移预测结果与有限元方法的位移预测结果进行了比较。通过建立矩形板裂纹扩展模型和热载荷作用下键合异种板三维分层模型，验证了围动力理论的损伤预测能力。
(21)最后，利用中心差分显式积分与单位时间步长为的时间步长进行时间积分
A.受温度梯度影响的板
为了验证预测的正确性，考虑了受线性温度梯度作用的薄板。如图8所示，板的长度和宽度指定为in和in，分别。它的厚度值为in。这个板块没有任何位移限制并沿其纵向受到温度梯度的影响。温度差从。线性增加出现。这个应用的温度梯度可以则表示为但是，由于速度场at未知，(22)给出的积分算法不能用于开始积分，但可以通过假设和开始积分作为其中为质点的水平位置和
在。板材与杨氏体是各向同性的的模量和泊松比。其热膨胀系数为24.0。
利用图8中边缘长度为0.04的立方区域构建三维动态动力学模型，在每个立方区域放置8个高斯积分(配点法)点表示材料点。将两个质点之间的温度变化取其平均值。在响应函数中，定义内部长度的参数，
，被选为0.04英寸。此外，利用截止半径为0.1 in来减少计算时间。最后，利用自适应动态松弛法得到了一个静态解。
将围动力理论的位移预测结果与有限元方法的位移预测结果进行了比较。该板的有限元模型是利用ANSYS的SOLID45单元建立的，一个商业上可用的程序。有限元模型的离散化与有限元模型的离散化是一致的。沿底面位移分量的对比如图9所示，非常接近。水平方向和垂直方向的位移分量也以等值线图的形式如图10所示。与预期一样，水平位移呈二次增长[图2]。9(a)和图10(a)]。此外，由于沿直线施加的温度为0，在点处水平位移的斜率也为零。如图9(b)和图10(b)所示，由于施加的温度场与温度无关，垂直位移沿水平方向呈线性增加。
B.预裂板
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图10所示。矩形板的动态位移预测:(a)水平分量和(b)垂直分量。
图13所示。粘结异种板的尺寸。
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图14所示。和处沿直线位移的比较。
图15所示。和处沿直线位移的比较。
接近线性(图15)。位移比较也表明，动态力学和有限元预测之间有显著的一致性。
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