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随机模型，估计和控制
大量样本
彼得·梅贝克
电机工程学系
空军航空技术学院
[地名] [美国] 赖特-帕特森空军基地
OHIO
学术出版社，纽约，旧金山，伦敦，1979年
哈考特·贝里斯·约万诺维奇的子公司，出版社
版权所有copy;1979,by Academic Press,Inc.
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学术出版社公司
10003纽约第五大道111号
联合王国版
学术出版社公司(伦敦)有限公司
伦敦椭圆形道24/28 NW1 7DX
国会图书馆出版物数据编目
梅贝克，彼得S
随机模型，估计和控制。
(科学和工程领域的数学）
包括书目。
1.系统分析2.控制理.3.估计理论。
一.标题.二系列.
QA402.M37 519.2 78-8836
ISBN 0-12-480701-1(v.1)
印刷于美利坚合众国
79 80 81 82 9 8 7 6 5 4 3 2 1
敬贝弗利
第一章 介绍
1.1为什么要进行随机模型的估计和控制？
在考虑系统分析或控制器设计时，工程师有他的处置方法，是从确定性系统中获得的大量知识和控制理论。然后人们自然就会问了，为什么我们要脱离这些结果并提出了随机系统模型，并给出了相应的概念，基于这些随机模型的估计和控制？要回答这个问题，让我们看看确定性理论提供了什么，以及决定性的缺点可能在哪里。
给定一个物理系统，无论是飞机、化学过程，还是在国民经济中，一位工程师首先尝试建立一个数学模型，它充分地代表了系统行为的某些方面。通过物理洞察、基本“法”和经验测试，来尝试建立某些感兴趣的变量之间的相互关系，输入系统，并从系统输出。
用这样的数学模型和系统提供的工具控制理论，他能够研究系统的结构和模式反应。如果需要，他还可以设计补偿器来改变这些特性-提供适当输入以生成所需系统的抽象组和控制器反应。
为了观察实际的系统行为，测量设备是构造成输出与某些感兴趣的变量成比例的数据信号。这些输出信号和对系统的已知输入是唯一的信息-对于系统行为的直接识别。而且，如果一个反馈控制器正在设计中，测量装置输出为只有信号可以直接输入到控制器。
确定性系统和控制理论有三个基本原因，不要提供完全足够的方法来执行此分析和设计。首先，没有一个数学系统模型是完美的。任何这样的模型只描述那些与工程师的目的直接相关的特征。例如，尽管需要无数的弯曲模式来精确地描述车辆弯曲，只需有限的几个模态。包括在一个有用的模型中。模型的目标是表示系统响应的主导或临界模式，因此许多影响都是可知的，并没有建模。实际上，用于生成联机数据处理器或控制器必须压缩到基本的基本要素，以便生成一个计算可行算法
即使是模型化的效应，也必然要用数学模型来保证.牛顿物理“定律”与实际观测的结论足够相似，部分原因在于我们的行动无法接近光速。这种“法则”往往提供适当的系统结构，但该结构中的各种参数并不是绝对确定的。因此在我们看来，任何一个系统的数学模型都有许多不确定性的来源.
确定性模型的第二个缺点是，动态系统不仅由我们自己的控制输入驱动，而且还受到我们既不能控制也不能确定地建模的扰动的驱动。 如果飞行员试图控制飞机的某一角度，由于风振、操纵面执行器响应的不精确，实际响应将不同于他的预期， 甚至连他自己的手臂和手在控制杆上也无法产生完全想要的反应。
最后一个缺点是，传感器不能提供关于一个系统的完美和完整的数据。首先，它们通常不提供我们想知道的所有信息：为产生所需变量或成本(体积、重量、货币等)的需求而设计的。包括这样的测量是令人望而却步的。在其他情况下，许多不同的设备产生功能相关的信号，然后必须询问如何根据部分冗余数据生成感兴趣变量的最佳估计。传感器不能提供准确的读数。但也引入了自己的系统动力学和扭曲。此外，这些设备也总是被噪声破坏。
从前面的讨论中可以看出，假定完全描述一个系统所需的所有数量的完美知识和，或对系统的完全控制是幼稚的，而且 这促使我们提出以下四个问题：
- 如何建立系统模型，以直接、适当、实用的方式解释这些不确定性？
- 有了这样的模型和来自现有传感器的不完整、噪声污染的数据，你如何最优地估计你感兴趣的数量？
- 面对不确定的系统描述、不完整和噪声破坏的数据，以及超出您控制范围的干扰，您如何最优地控制一个系统以一种理想的方式执行？
- 在实际建造这些评估和控制系统之前和之后，你如何评估它们的性能？这本书是专门组织起来回答这些问题的。以有意义和有用的方式使用。
1.2案文概述
第2-4章主要讨论随机建模问题.第二章回顾了确定性系统模型的相关方
面都进行了进一步的研究和推广。概率论提供了所有我们的随机模型，和第三章都发展了一般的概念和静态系统模型的自然结果。为了融入动力在模型中，第四章研究了随机过程，最后实用的线性动态系统模型。基本形式是线性系统。由高斯白噪声驱动，这是可用的线性测量方法。同样受到高斯白噪声的破坏。这个结构只是详细介绍了本文中描述大类问题的方法-对文本进行了划分。
线性估计是其余章节的主题。第五章研究了线性系统模型充分描述问题动力学的情况下的最优滤波问题。带着这个，第六章介绍了实用的在线卡尔曼滤波器的设计和性能分析。平方根滤波器是解决数值精度问题的一种方法。当最优滤波器在限制字长的在线计算机上实现时，将在第七章中详细说明。
第一卷本身就是一个完整的文本。然而，第二卷将线性估计的概念扩展到平滑、补偿模型缺陷、系统识别和自适应过滤。然后，基于它们的非线性随机系统模型和估计器将得到充分的发展。最后介绍了随机控制器的理论和实际设计。
1.3卡尔曼滤波器：概念简介
在我们深入研究案文的细节之前，最好从概念上了解我们要做的事情。因此，本章的其余部分将提供最优线性估计器综述，卡尔曼滤波器。这将在一个非常基本的层次进行，但将提供对基本概念的洞察力。当我们在这个概述中取得进展时，思考一下呈现：尝试构思图形图像来描绘所涉及的概念(如密度函数的时间传播)，并为部分构件构造一个逻辑结构。 一起解决估计问题。如果这个基本的概念框架对您有意义，那么您将更好地理解需要在后面的文本中开发细节。展示我们的想法，我们的发展变得模糊不清的细节，请参阅这一概述，以重新看到总体目标。
首先必须问，什么是卡尔曼滤波器？卡尔曼滤波是一种简单的最优递推数据处理算法。有许多定义最优的方法，取决于选择给定的评估业绩标准。它将显示，在下一节的假设下，卡尔曼滤波器对于几乎任何有意义的准则都是最优的。这种最优性的一个方面是卡尔曼滤波器包含了所有可以提供给它的信息。它处理所有可用的测量，无论其精度如何，以估计 对感兴趣变量的电流值，利用(1)系统的知识和测量装置的动力学，(2)系统噪声的统计描述，测量。动力学模型中的误差和不确定性，以及(3)关于感兴趣变量初始条件的任何可用信息。例如，为了决定飞机的飞行速度，要使用多普勒雷达，或惯性导航系统的速度指示，或空气数据系统中的皮托、静压和相对风信息。而不是忽略任何 这些输出，可以建立一个卡尔曼滤波器，将所有这些数据和各种系统的动力学知识结合起来，生成一个总体上最好的速度组合。
先前描述中的递归一词意味着，与某些数据处理概念不同的是，卡尔曼滤波不要求将所有先前的数据保存在储存设备中并对其进行重新处理。 本文提出了一种新的测量方法，这对滤波器实现的实用性具有重要意义。
“过滤器”实际上是一种数据处理算法。尽管过滤器是包含电网的“黑匣子”的典型符号，但事实是，在大多数实际应用中，“过滤器”只是中央处理器中的一个计算机程序。因此，它固有地结合了离散时间测量样本，而不是连续的时间输入.
图1.1描述了一种典型的情况，在这种情况下，卡尔曼滤波器可以被有利地使用。某种类型的系统由一些已知的控件驱动，测量设备提供确定的值。这些系统输入和输出的知识是从物理系统中显式获得的，用于估计目的。
图1.1 典型卡尔曼滤波应用
现在显然需要一个过滤器。通常感兴趣的变量，一些有限的数量来描述系统的“状态”，不能直接测量，也不能用某些方法来描述系统的“状态”。 必须从可用数据中重新生成这些值。例如，空气数据系统直接提供静态和皮托压力，必须从这些压力中推断速度。这个推论是复杂的，因为系统通常是由我们自己已知的控件以外的输入驱动的，并且可变“状态”变量和测量输出之间的关系是已知的。 只是有某种程度的不确定性。此外，任何测量都会在一定程度上受到噪声、偏差和设备不准确的影响，因此，我们必须提供一种从噪声信号中提取有价值信息的方法。是啊。也可能有许多不同的测量装置，每一种都有其独特的动力学和误差特性，它们提供了一些关于标准变量的信息。我们希望以一种系统和最优的方式组合它们的输出。卡尔曼滤波器结合了所有可用的测量数据，再加上关于系统和测量设备的先验知识，以使误差在统计上最小化的方式产生所需变量的估计。换句话说，如果我们要运行多个候选筛选器，多次运行相同的应用时，卡尔曼滤波的平均结果将比其他任何一种方法的平均结果都要好。
从概念上讲，任何类型的过滤器所要做的是从噪声环境提供的数据中获得“最优”的预期数量，“最优”意味着它将某些环境中的错误最小化。实现这一目标有许多好的方法。如果我们采用贝叶斯观点，那么我们希望滤波器传播期望数量的条件概率密度，这取决于在了解来自测量设备的实际数据的基础上进行了讨论。要理解这个概念，请考虑图1.2，图1.2描述了时间瞬时()的标量值的条件概率密度，条件是向量测量的知识。同时，即时1接受了值()，类似地，对于瞬间2，作为可能值的函数绘制。这定义为。例如，设为车辆在时间瞬间1的一维位置，并以二维矢量描述两个间隔在时间上的位置测量值。 条件概率密度包含所有可用的信息：它为所有测量值的给定值，通过时间瞬间，表明了什么是概率 它将假设任何特定的值或范围的值。
图1.2条件概率密度。
它被称为“有条件的”概率密度，因为它在轴上的形状和位置取决于测量值。它的形状传达了你所拥有的确定性在认识到x的价值。如果密度图是一个狭窄的峰值，那么大部分概率“权重”集中在一个狭窄的值范围内。另一方面，如果情节是渐进的 形状，概率“权重”是分散在更广泛的范围，表明你不太确定它的价值。
一旦传播了这样一个条件概率密度函数，就可以定义“最优”估计。可能的选择包括
(1)“概率质量中心”估计的均值；
(2)该模式的值具有最高的概率，定位密度峰值
(3)半数概率权重的中值左边，一半在右边。
对于系统可以通过线性模型描述且系统和测量噪声是白色的和高斯(待会儿解释)问题，卡尔曼滤波器执行这种条件概率密度传播。 在这些条件下，对于“最优”估计的任何合理选择，无论是均值、模式、中值还是几乎任何合理的选择都是一致的，因此实际上存在唯一的“最佳”的估计的价值。在这三种情况下，卡尔曼滤波器可以被证明是任何可能的形式中最好的滤波器。有些限制是可以放宽的，生产合格的最优滤波器。例如，如果去掉高斯假设，卡尔曼滤波器可以被证明是林耳无偏滤波器类中最好的(最小误差方差)滤波器。豪伊 对于许多潜在的应用程序，这三种假设都是合理的，如下一节所示。
1.4基本假设
在这一点上，看看卡尔曼滤波器公式中的三个基本假设是有用的。在第一次检查时，它们可能显得过于限制性和不切实际。减少任何失误 在这种情况下，本节将简要讨论这些假设的物理含义。
由于多种原因，线性系统模型是合理的。通常这样的模型足以满足手头的需要，当存在非线性时，典型的工程方法就是线性化。 关于一些标称点或轨道，实现了一个扰动模型或误差模型。线性系统是可取的，因为它们更容易被工程工具操纵，并且线性系统(或微分方程)理论比非线性理论更为完备和实用。事实上，有办法将卡尔曼滤波器的概念推广到某些非线性应用中。 离子或直接发展非线性滤波器，但这些只有在线性模型证明是不够的情况下才会被考虑.
“白度”意味着噪声值在时间上是不相关的。更简单地说，如果你现在知道噪音的价值，这种知识对你预测它的价值毫无帮助。 我会在其他任何时候。白度也意味着噪声在所有频率上都有相同的功率.由于这会产生无限功率的噪声，所以白噪声显然不可能真的存在。人们可能会问，如果现实生活中不存在这样的概念，为什么还要考虑这个概念呢？答案是双重的。首先，任何物理的间隔期系统都是一个特定频率的“带通”，它可以响应的输入的频率范围。在此范围以上，输入要么没有效果，要么系统会严重削弱其影响，使其根本不存在。图1.3中的一种类型 l系统带通曲线是在“功率谱密度”(解释为某一频率下的功率含量)随频率变化的曲线上绘制的。通常，一个系统将由宽带噪声驱动-一个在系统带通以上的频率上有功率，而在系统带通内的所有频率上的功率基本上是恒定的-如图i所示。这个数字。在同一幅图上，白噪声只会将这个恒定的功率电平扩展到所有频率。现在，在利益系统的带通中，虚构的白色噪声看起来与真正的宽带噪声相同。那么，我们得到了什么呢？这是为什么使用白噪声模型的第二部分。事实证明，这所涉及的数学原理是非常相似的(实际上，它是可处理的)，用白噪声代替真正的宽带噪声，从系统的“观点”来看，白噪声是
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