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外文参考文献（译文）
卡尔曼滤波器简介
Greg Welch
Gary Bishop
北卡罗来纳大学教堂山分校
计算机专业
教堂山，NC 27599-3175
http://www.cs.unc.edu/~{welch, gb}
{welch, gb}@cs.unc.edu
copy;Copyright 2001 by ACM, Inc.
http://info.acm.org/pubs/toc/CRnotice.html
目 录
前言 1
1. 介绍 2
1.1 课程描述 2
2.1 可能性 3
3. 随机估计 9
3.2观察者设计问题 11
4. 卡尔曼滤波器 12
前言
在整理这个课程包时，我们决定不仅仅包括课程演示的幻灯片副本，而是试图整理一本可以独立完成的小册子。课程幻灯片和其他有用的信息，包括一个新的基于Java的卡尔曼滤波器学习工具，这些内容可在如下网页访问
http://www.cs.unc.edu/~tracker/ref/s2001/kalman/
此外，我们还维护着一个专门关于卡尔曼滤波器的热门网站。该网站包含相关工作， 论文，书籍甚至某些软件的链接。
http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/
我们希望您（读者）具有基本的数学背景，足以理解涉及基本线性代数，统计和随机信号的解释。
介绍
卡尔曼滤波器是一种数学电算工具，在计算机图形学中扮演着越来越重要的角色， 因为我们在系统中包含对现实世界的感知。好消息是你不必成为理解和有效使用卡尔曼滤波器的数学天才。本教程旨在为图形系统的开发人员提供对这一重要数学工具的基本了解。
1.1 课程描述
虽然卡尔曼滤波器已经存在了大约30年，但它（以及相关的最优估算器）最近已经开始出现在各种各样的计算机图形应用中。这些应用程序包括模拟VR中的乐器，头部跟踪，从扬声器的视频序列中提取唇部运动，以及在点集合上拟合样条曲面。
卡尔曼滤波器是针对大类问题的最适用（最佳）估算器，并且是针对更大类别的，非常有效且有用的估算器。通过一些概念工具，卡尔曼滤波器实际上非常易于使用。我们将针对该主题提出一种直观的方法，使开发人员能够充满信心地接触大量文献。
1.2 演讲者/作者简历
Greg Welch是北卡罗来纳大学教堂山分校计算机科学系的研究助理教授。他的研究兴趣包括用于人机交互的硬件和软件，3D交互式计算机图形，虚拟环境，跟踪技术，
远程沉浸和基于投影仪的图形。Welch于1986年毕业于普渡大学，获得电气工程技术学位，并获得博士学位。1996年从教堂山分校获得计算机科学学士学位。在加入UNC之前，他曾在NASA的喷气推进实验室和Northrop-Grumman的国防系统部工作。他是IEEE计算机学会和计算机协会的成员。
Gary Bishop是北卡罗来纳大学教堂山分校计算机科学系的副教授。他的研究兴趣包括用于人机交互的硬件和软件，3D交互式计算机图形，虚拟环境，跟踪技术和基于图像的渲染。Bishop以优异成绩毕业于佐治亚州玛丽埃塔南部技术学院，并
于1976年获得电气工程技术学位。他1984年在教堂山分校获得计算机科学专业博士学位。之后，他在贝尔实验室和Sun Microsystems工作，之后于1991年返回UNC。
概率和随机变量
以下是概率和随机变量的基本介绍。有关更广泛的报道，请参阅例如（Maybeck 1979; Brown 和 Hwang 1996; Kailath，Sayed et al.2000）。
可能性
我们大多数人都有一些概念，即“随机”事件的含义，或者样本空间中某些事件发生的概率。形式上，离散事件（例如，硬币翻转）的结果将有利于特定事件的概率被定义为
结果有利于A或B的概率由下式给出
如果两个结果的概率是独立的（一个不影响另一个）那么两个概率发生的概率是它们各自概率的乘积：
例如，如果在硬币翻转上看到“头”的概率是1/2，那么在两个硬币同时翻转的两个硬币上看到“头”的概率是1/4。（显然，一个硬币翻转的结果不会影响另一个。）最后，结果A的概率给出结果B的发生被称为给定B的条件概率，定义为
与离散事件相反，在跟踪和动作捕捉的情况下，我们通常对与连续电压或用户的运动相关联的随机性感兴趣。在每种情况下，我们都可以将感兴趣的项目视为连续的随机变量。随机变量本质上是一个映射所有点的函数样本空间到实数。例如，连续随机变量 X t 可能将时间映射到位置，在任何时间点X t 都会告诉我们预期的位置。
在连续随机变量的情况下，任何单个离散事件A的概率是实际上是0.也就是说，相反，我们只能评估其中事件概率的一些间隔。表示随机变量概率的常用函数定义为累积分布函数：
A =
此函数表示连续随机变量X对于包括x的所有（不可数）事件的累积概率。累积密度函数的重要性质是
比方程（2.4）更常用的是它的导数，称为概率密度函数：
（2.5）
根据累积概率函数的上述给定属性，密度函数还具有以下属性：
- 是非负函数
最后请注意，任何间隔[a,b]的概率定义为
因此，对于连续随机变量，不是将离散事件的概率求和，如等式（2.1），而是在感兴趣的区间上对概率密度函数进行积分。
2.3 均值和方差
我们大多数人都熟悉一系列数字的平均概念。对于一些离散随机变量X的N个样本，平均值或样本均值由下式给出
因为在跟踪中我们正在处理连续信号（具有不可数的样本空间），所以根据无数次试验进行思考是相当有效的，相应地，如果我们无限地对随机变量进行采样，每次看到时我们都希望看到的结果n个可能结果之一，在这种情况下，随机变量的离散期望值可以通过平均概率加权事件来近似：
实际上，在N次试验中，我们期望看到(P1N)事件x1等的出现。这种无限试验（样本）的概念导致了对于期望值的传统定义。
X的预期值= （2.6）
对于n个可能的结果和相应的概率，同样将连续随机变量的期望值定义为
X的预期值= （2.7）
最后，我们注意到等式（2.6）和等式（2.7）可以应用于定义随机变量X的如下功能：
和
随机变量的期望值也称为第一统计矩。我们可以应用等式（2.8）或（2.9）的概念，让来得到kth的统计矩，连续随机变量X的kth由下式给出
特别令人感兴趣的，尤其是对我们而言，是随机变量的二次矩。二次矩是由下式定义
当我们让并应用方程（2.11）时，我们得到方差关于平均值的信号。换一种说法：
方差对于随机信号来说是一个非常有用的统计参数，因为如果我们知道信号的方差， 或者它应该是围绕某个值“常数” —— 均值，方差的大小会让我们感觉到在信号中有多少抖动或“噪音”
方差的平方根，称为标准偏差，也是一种有用的统计测量单位，因为虽然总是正的， 但它与原始信号具有相同的单位（而不是方差）。标准差由下式给出
2.4 正态或高斯分布
由于各种原因，称为正态或高斯分布的特殊概率分布在随机系统建模中历来流行。 事实证明，自然界中发生的许多随机过程实际上似乎是正态分布的，或者非常接近。实际上，在一些中等条件下，可以证明具有任何分布的随机变量之和倾向于正态分布。正式陈述这一性质的定理称为中心极限定理（ Maybeck 1979; Brown 和 Hwang 1996）。最后，正态分布具有一些很好的特性，使其在数学上易于处理，甚至具有吸引力。
给定一个随机过程，换而言之，一个连续随机变量X在均值和方差（标准差）呈正态分布，X的密度函数由下式得出
对于正态分布随机过程（变量）的任何线性函数都是也是一个正态分布的随机过程。特别地，如果，，那么
Y的概率密度函数由下式得出：
最后，如果X1和X2是独立的（见下面的第2.5节），，，那么：
并且密度函数变为
参见（Kelly 1994）pp.351-358，以进一步解释和证明上述内容。从图形上看，正态分布可能是图2.1中所示的“钟形”曲线。
2.5持续独立和条件概率
最后我们注意到，与离散情形和方程（2.2）和（2.3）一样，连续随机变量定义了独立性和条件概率。两个连续随机变量X和Y它们的联合概率在统计上被认为是独立的，等于其个体概率的乘积。换句话说，在下述情况下他们被认
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