英语原文共 9 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
附录 译文
非局部梁屈曲与振动的边界条件
C.M. Wang a,H.Zhang b,N.Challamel c,W.H.Duan d
a 新加坡国立大学工程科学课程及土木工程与环境工程系，肯特里奇，119260，新加坡
b 新加坡国立大学土木与环境工程系，肯特林，119260，新加坡
c 布列塔尼大学，南布列塔尼大学，BP92116，56321，法国
d 澳大利亚维多利亚克莱顿莫纳什大学土木工程系，3800
文章信息
文章历史：
2015年12月1日收到
2016年5月18号收到修改版
2016年8月31号被采用
2016年9月2号可在线获得
关键词：非局部梁理论，Hencky杆链，边界条件
摘要
本文认为，Eringen非局部梁理论的边界条件必须采用第一阶中心有限差分梁模型相似的离散形式，用于梁屈曲和振动问题。后一种有限差分梁模型类似于物理Hencky杆链，因此这两种模型可以看作是一种离散梁模型。 基于这一离散梁模型与Eringen非局部梁理论的现象学相似性，可以对Eringen的小尺度系数e0进行校准，该系数预计将是每一种材料的常数。当使用经典的连续非局部边界条件时，我们发现e0不是常数，而是依赖于边界条件的情况(例如，两端铰支，两端固定，一端固定一端铰支)。然而，如果我们使用离散边界条件，这个难题就可以解决了。通过采用离散边界条件，可以获得分析解的方法，并最终收敛于0.289的屈曲问题和0.408的自由振动问题，而不考虑边界条件的情况。
2016年Elsevier Masson SAS.保留所有权。
- 介绍
Hencky(1920)提出了一个刚性梁段（相等长度）组成的离散梁模型，由无摩擦铰链和弹性旋转弹簧连接，其刚度是由得到的，是梁的弯曲刚度，是节段长度。Silverman（1951）指出，第一阶中心有限差分梁模型与Hencky条链相似，因为它可以证明离散的调节方程和边界条件在数学上是相似的。Leckie和Lindberg（1963）和王等人（2015a）表明，中心有限差分梁模型和Hencky杆链模型是等价的离散梁模型，Hencky杆链模型边界条件和中心约束条件采用弹簧刚度，如表1所示。注意，Hencky(1920)还指出，固定端的转动弹簧刚度应该是2C。
最近，Challamel等人(2013，2014 a，b)认为上述离散梁模型可用于校准Eringen的小尺度系数e0，根据这两束模型相似现象学特性，对非局部梁的屈曲和振动问题进行校正。在此过程中，考虑到连续系统的标准非局部边界条件，当线段数很大时，他们发现了对于大多数边界条件，对于梁屈曲问题和
自由振动梁问题。王等人(2015b)指出了奇怪的反常现象，在这种反常现象中，对于梁屈曲问题来说，弹性旋转约束端e0的变化不均匀，奇怪的是即使两端固定和两端铰支梁e0等于 ，一端固定一端铰支梁e0也不等于。采用离散梁模型和非局部梁理论，应用非局部连续边界条件对e0进行校正，从而解决了该难题。
本文提出了非局部边界条件的梁理论应该采取相反的离散形式属于中心有限差分梁模型，在所有边界条件下，对于梁屈曲问题，e0的值等于，对于自由振动梁问题，e0的值等于。对于一般边界条件相关的屈曲问题这一结果已由王等人(2015b)证明。我们将在一般情况下演示振动这一点 ，若不使用离散边界条件，则存在e0随边界条件变化的尴尬情况。
表1.不同边界条件和中间约束条件下Hencky杆链模型的弹簧刚度边界条件和内部约束条件
弹性端 弹性端转动弹簧KRE和弹性端横向弹簧KLE
铰支端
固定端
自由端
内弹性约束 内弹性转动弹簧KRI和内弹性横向弹簧KLI
内刚性支承
内部铰链
Hencky杆链模型的弹簧刚度
- Hencky杆链的精确屈曲载荷和振动频率
考虑一条长度为L的n段Hencky杆链，其长度为a= L/n，该链受具有轴向约束的旋转和横向弹簧的约束并受到轴向压缩载荷P的影响，如图1所示。中间转动弹簧的刚度为，集中质量为，其中EI为梁的弯曲刚度，为密度A为横截面面积。在这一节中，我们将给出Hencky杆链精确的屈曲载荷和振动频率的推导。正如王等人(2015 a，b)所讨论的，Hencky杆链模型等价于一阶中心有限差分梁模型。因此，精确的屈曲载荷和振动从这两个模型得到的频率应该是相同的。
图1.有弹性约束端的Hencky杆链
2.1 Hencky杆链的精确屈曲载荷
本文给出了有限差分梁模型(或Hencky杆链)屈曲问题的控制方程(王等人，2015a)。
for j=0...n (1)
其中，是j节点处的挠度。
根据线性差分方程的理论(见Goldberg，1958)，Seide(1975)将线性差分方程用于求解离散屈曲问题，得到了有限差分梁模型(或Hencky杆链)的精确屈曲载荷。对式(1)的挠度的一般形式可表示为
（2）
其中，是常数，和
中心有限差分梁模型的边界条件给出了
for j=0 （3a）
for j=0 （3b）
For j=n （3c）
for j=n （3d）
和 是有限差分梁模型实际旋转和横向弹簧的无量纲刚度，对Hencky杆链的影响
把式(2)代换进入边界条件(3)提供本征值方程，它可以用下列矩阵形式写成：
（4）
其中
（5）
（5b）
（5c）
（5d）
通过令系数矩阵的行列式(4)等于零，并求解所得到的特征方程，得到了含弹性末端约束（包括经典情况，如两端铰支，两端固定，一端固定一端自由，一端固定一端铰支)的Hencky杆链屈曲载荷的精确解。
2.2 Hencky杆链的精确振动频率
控制方程的有限差分模型梁自由振动问题（或Hencky杆链）是由（王等人，2015a）给出
对于j=0...n, （6）
这里是角频率。
对式(6)的挠度的一般形式可以由
（7）
其中，.
中心有限差分梁的边界条件给出了
for j=0, (8a)
for j=0, (8b)
for j=n, (8c)
for j=n. (8d)
将式（7）替换为边界条件（8）并将四个齐次方程写成下面的矩阵形式，我们有
（9）
其中，
(10a）
(10b)
(10c)
(10d)
(10e)
(10f)
(10g)
(10h)
通过设置系数矩阵的行列式（9）为零，然后求解得到的特征方程，可以得到自由振动的振动频率的精确解。
- 非局部梁的精确屈曲载荷和振动频率
图2.具有弹性约束端的非局部欧拉梁
图2示出长度为L的非局部欧拉梁，为了使这两个模型类似，其内部特征长度a假定等于Hencky杆链的节段长度。梁的末端被弹性的弹性的旋转和横向弹簧所限制。与第2节中所示的有限差分梁模型的弹簧刚性相同。在本节中，我们将利用一组新的边界条件来计算非局部梁的屈曲荷载和振动频率，这些边界条件与有限差分梁模型具有相似的形式。
3.1非局部梁的精确屈曲载荷
非局部欧拉梁的屈曲问题的控制方程（见图2）是基于Eringen的非局部理论的（Sudak,2003）
(11)
其中w是横向偏转，x是原点为A的纵向坐标，（)是小尺度参数，是适合于每一种材料的常数(Eringen，1983）。
对式（11）的挠度的一般形式可以表示
（12）
其中是常数，
给出了基于有限差分梁模型的边界条件
（13a）
(13b)
（13c）
(13d)
将通解(12)代入，并将四个结果方程转换成以下矩阵形式，得到
（14）
其中
（15a）
(15b)
(15c)
(15d)
通过令上述系数矩阵的行列式为零，然后解出特征方程最小正根的结果，可以对非局部梁的屈曲载荷进行校正。
3.2非局部梁的精确振动频率
本文给出了非局部欧拉梁自由振动问题的控制方程(王等人，2013)
（16）
对式（16）的挠度的一般形式可表示
(17)
其中
（18a）
(18b)
用
给出了具有弹性端约束的自由振动非局部欧拉梁模型的边界条件
（19a）
(19b)
(19c)
(19d)
将通解(17)替换为边界条件(19)会产生四个方程，它们可以用下列矩阵形式写成：
(20)
其中
（21a）
(21b)
(21c)
(21d)
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[469634]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
