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用切比雪夫-拉格朗日方法研究具有弹性约束的带切口薄板的弯曲振动及面内振动的特性
摘要：在一般边界条件下，采用切比雪夫-拉格朗日方法处理切割板的振动和面内振动。通过设定一组边界弹簧并为弹簧分配相应的刚度常数，可以很容易地实现一般的边界条件，包括所有的经典边界条件。切割板的面内和横向振动的能量函数可以降到最低。根据拉格朗日理论获得的切比雪夫展开式解及当前方法的准确性和可靠性可以通过检验特征值（特征频率和特征向量）来验证并与文献中提供的方法或派生自有限元软件的方法对比。本方法为各种情况提供了统一的程序，从一种情况到另一种情况的任何参数的修改，例如切口的大小和位置以及边界条件，就像修改材料属性一样简单，不需要改变解决程序。对不同边界条件下板内剪切，切角或切边的振动和面内振动进行研究。结果表明，切口的位置会明显改变结构的自由振动特性。看来，在不同的边界条件下，具有切口的平板振动的模态数据在文献中以前是不可用的，并且这些数据可能能够用作其他未来解决方法的参考。
一．介绍：板结构作为工程应用中最广泛流行的结构之一长期以来一直被研究。 由于板的横向运动容易被外部来源激发，板材的振动一直吸引着并且将始终吸引研究人员的兴趣。 关于矩形板振动的大量研究论文或专著可以在文献[1-22]中找到，例如参考文献[1]。 [1] 是由Leissa撰写的具有高度引用度的专著。 在这些论文中，开发了许多解析，半解析和数值方法来研究板的横向振动，包括但不限于波传播方法[2,3]，叠加方法[4-8]， Rayleigh-Ritz方法[9-12]，改进的傅立叶级数方法[13,14]，有限元方法（FEM），微分求积法（DQ）[15-17]和离散奇异卷积方法[DSC]18-20]。
除了弹性振动以外，平板还会发生面内振动，这种面内运动对于工程应用具有重要意义[24,25]。这是因为，如[23]所述，[24 ，25]表明，面内振动可以通过组合结构在高频振动的传播中起主要作用。许多论文研究了板[26-37]的平面内振动和平面内振动在建筑结构中的能量传输中的重要性[38]。 Gorman [26-29]应用叠加法分析了不同边界条件下矩形板的自由面内振动，包括完全自由的板，完全固定的板，与边缘垂直的板等。Farag和Pan [30]研究了所有四个边被夹住的矩形板的自由和受迫平面内振动。当面内激励施加在平板上时，研究强制平面内响应，输入功率谱和结构强度分布。在随后的研究[31]中，在具有两条平行边缘的矩形板被夹紧而其余边缘被夹紧或自由的条件下研究平面振动的模态特性。 Wang和Wereley [32]基于Kantorovich-Krylov变分方法研究了在自由和夹紧边界条件下板的自由面内振动。Xing和Liu [33]解决了矩形板面内振动的所有可能的精确解。在他们的论文中，瑞利商变分原理被用来给定经典的边界条件，然后进行变量的直接分离来求解控制方程。 Liu和Xing [34]进行了进一步的研究，并提出了Ref [33]的一些改进，如简化精确解的形式和求解过程，揭示不同边界条件的精确解的关系， Dozio [35]利用Ritz方法研究了弹性约束板的自由面内振动。在他的论文中，一组三角函数被用作容许函数，并研究了具有三角形和抛物线变化的弹性边缘支撑的情况。 [36]给出了一般边界条件下矩形板自由面内振动的解析解。通过分配具有适当刚度常数的约束弹簧来模拟总体边界约束。通过求解控制方程和边界条件方程得到改进的傅里叶级数解，它由一个双傅里叶级数和四个补充项组成，可以消除位移的不连续性以及它们在边缘的突变。最近，该方法已扩展到具有任意边界条件的环形板的面内振动分析[37]。 Bercin和Langley [38]使用动态刚度法研究了通过结构的能量传输中面内振动的重要性。考虑了由七块板组成的船体基础和船体的理想化模型。结果表明，由于相邻板之间的振动和平面振动的转变，板的能级可能依赖于组件与源板的距离而减小或增加。
带孔的矩形板是工程中常见的一种结构，通常用于特殊用途，如减轻结构的重量或满足结构构件的连接要求。这种类型的结构的振动有研究人员长期研究[39-48]。劳拉等人[44]研究了简单支撑时矩形切口板的横向振动。另外，Avalos等[45]研究了一种更复杂的模型，即带有弹性安装集中质量块的切口板。对带有两个切口的简单支撑矩形板[46]也进行了研究。Huang和Sakiyama [47]将板上的孔视为板的极薄部分。通过这种方式，一个带有孔的板最终被认为是厚度不均匀的板。在他的研究中，通过应用板的离散格林函数，对具有圆形，半圆形，椭圆形，方形，矩形，三角形，菱形孔的板的情况进行了研究。 Kwaka和Han [48]提出了一种称为独立坐标耦合方法的兴趣方法来研究具有矩形或圆孔的矩形板的自由振动。在这种方法中，第一步是独立地获得与板和孔相关的能量函数，然后利用施加的运动关系将两个独立的坐标耦合起来，这些运动关系的得出是利用了孔区域内的位移匹配条件和正交可允许函数的性质，并最终形成特征方程。在处理具有复杂形状的结构（如带切口的板）的振动问题时，应该提到一种称为R函数方法的非常有效的半解析方法。 这种方法是由Rvachev [49,50]提出的，旨在对具有任意复杂的域和边界条件的边界值问题进行建模和求解[51]。这种方法已经研究了复杂形状的板和壳的线性和非线性振动行为[52-57]。
与被广泛研究矩形板的切口振动相比，这种结构的面内振动很少被研究。 到目前为止，就作者了解到的而言，文献中只有一篇关于这个问题的论文[58]。 在这方面出版物的缺乏促使我们研究得到了许多结果，根据这些结果，可以验证将来在一般边界条件下包括所有经典边界条件在内的任何板平面振动的解答。 将目前结果与有限元软件ANSYS的结果进行对比，可以观察到了很好的一致性。
在本文中，切比雪夫-拉格朗日方法被引入到具有切口和在弹性约束边界条件下的矩形板的平面内振动的研究中。与有限元方法相比，虽然有限元方法在处理复杂结构振动等方面比现有方法具有优势，但本方法具有其自身的优点。这是因为虽然有限元现在已经成为复杂结构动力学分析的标准工具，但它在对参数与机理的深入研究上并不比分析方法更受欢迎，也不比它更方便。此外，目前的方法已经提供了一个统一的程序，以处理各种大小和位置的切口和一般边界条件下的情况。不同边界条件下的各种情况均可以被计算。似乎在不同边界条件下板的面内振动的模态结果是在文献中首次提出，并且可以用作评估其他未来解决方法的基准。
二．理论与公式
根据薄板理论，已知矩形板的振动和面内振动是不耦合的。 因此，可以分别研究矩形板的振动和面内振动。 在这篇文章中，根据所提出的切比雪夫-拉格朗日方法，研究了在一般边界条件下带有切口的矩形板的振动和面内振动。
2.1弹性约束板的拉格朗日函数
图1显示了长度Lx，宽度Ly和厚度h的弹性约束矩形薄板。矩形板振动和面内振动的一般边界条件可以用沿每个边设置的两种弹簧来描述。对于横向振动，引入了旋转弹簧和平移弹簧。类似地，也有两组用于平面内振动的线性弹簧，这些线性弹簧分别以正切方向连接到边缘。弹簧的弹簧常数以下标表示类型（下标第一个字母表示）和相应弹簧的位置（下标中的其余符号）。具体而言，第一个字母表（#39;r#39;，#39;t#39;）和（#39;p#39;，#39;n#39;）是指用于弯曲振动的旋转弹簧和平移弹簧，以及平行和垂直于边缘的平面内线性弹簧。#39;x1#39;表示弹簧位于边缘0.25Lx处。 类似地，在边缘y = 0处的弹簧将在弹簧常数的下标中包含#39;y0#39;。从图1可以看出，四组边界弹簧被认为是模拟边界力和力矩，包括横向剪力，弯曲力矩，平面内剪切力和平面内纵向力。
图.1. 具有弹性边界约束的矩形板的振动示意图
下面给出矩形板的振动和面内振动的边界约束力和约束力矩。 对于横向振动，约束力和力矩包括横向剪力（Qx和Qy），弯矩（Mx和My）和扭矩（Mxy和Myx）。 它们可以用板w（x，y）的横向位移表示如下：
=-D(). (1)
=-D(). (2)
=-D(1-). =. (3)
=-D() =-D[]. (4)
=-D() =-D[]. (5)
对于面内振动，薄板的法向力和剪切力可分别用x和y方向的平面内位移u（x，y）和v（x，y）表示 ， 即：
= (6)
= (7)
== (8)
在上面的等式中，D是弯曲刚度。 mu;是泊松比。 E和h分别是板的杨氏模量和厚度。 因此，矩形板的横向振动的弹性约束边界条件可以表示为
类似地，矩形板的面内振动的一般边界条件可以描述为：
= （9）
=- （10）
= (11)
=- (12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
可以知道板的横向和平面内振动的一般边界条件由方程 （9） - （24）得到，并且所有经典的同质边界条件可以被认为是特例，即通过将相应边界弹簧的弹簧常数指定为零或无限。
弹性和面内振动的拉格朗日函数（L）表示为板的形变能（U）和动能（T）的函数，也就是：
(25)
下标i或t分别表示板的横向振动和面内振动。 下面给出了横向和平面内振动的势能和动能的详细表达式：
(26)
. (27)
(28)
(29)
其中omega;是角频率，rho;是质量密度，G表示板的拉伸刚度。
2.2容许位移函数和运动方程
在进一步计算板的拉格朗日函数之前，板的合适的平面振动和面内振动容许位移函数很重要。 由于板的几何边界条件已经通过边界限制放宽和强制执行，所以没有必要精确地满足板的容许函数的自然边界条件。这使得板的弹性和面内振动的容许函数的选择变得灵活。 也可以从方程式（26） - （29）中知道，线性无关且足够规则可微的要求对于板的弹性和平面内振动的容许位移函数而言是必需的。 几种正交多项式满足这个要求，本文采用了第一类切比雪夫多项式。
次数为x的第n个切比雪夫多项式Tn（x）统一定义为[59]：
; (n=0,1,2hellip;hellip;hellip;..;) (30)
切比雪夫多项式的递推方程可根据三角关系推导得到，，也就是
（31）
然后切比雪夫多项式可以推导为：
（32）
其中[n/2]指n/2的整数部分
已知平方可积函数在区间[-1，1]上可以展开为切比雪夫多项式
（33）
因此，由笛卡尔坐标（x，y）描述的矩形板的横向和平面位移可以用切比雪夫多项式表示。
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