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基于误差原理的模糊随机变量结构可靠性分析
李海滨 聂晓波
中国呼和浩特内蒙古科技大学科学学院
关键词:模糊随机变量，结构可靠性，误差传递原理，直接积分法
摘要：在结构可靠度计算中，随机分布参数存在模糊不确定性。变量带来计算量大、精度差的问题。为了提高精度和结构可靠度的应用效率，基于误差传播的角度提出了结构的模糊随机可靠度计算方法。首先，将模糊变量转化为不确定的基于模糊分解定理的区间变量。其次，利用误差传递原理，将sigk(.)函数引入到可靠性函数中来逼近阶跃函数。建立了基于直接积分法的可靠性误差分析模型。在此基础上，等效模糊变量的误差是通过在[ 0, 1 ] 区间上遍历隶属函数的水平割集来确定的，得到对应于每个割集的结构可靠区间值。对实例进行了研究，以证明所提出的方法的效率和准确性，它提供了用模糊随机变量等变量分析和计算结构可靠度的一种可行方法，如变量、随机变量和模糊变量。
1简介
由于大量的不确定性的存在，因而提出了结构可靠度。在结构工程中，随着人们对结构可靠度的研究，发现不仅存在随机性，而且在许多实际的结构工程问题中也有广泛的模糊性。在结构设计分析过程中存在许多模糊不确定性，例如机械零件的失效磨损尺寸和最大变形位移等。在结构可靠性分析方法中，发展概率可靠性和非概率可靠性方法是相对成熟的。概率可靠性分析方法随机变量包括矩法（Kato等人，2002，赵和Ono，1999, 2000）（如一阶二阶矩，二阶二阶矩，高阶矩法等），响应面方法（李等人，2011, 2015），Monte Carlo法（Coppens等2006）直接积分法（张等人，2011）等。非概率区间变量的可靠性分析方法包括凸模型方法（江等人，2014），可能性理论方法（李等人，2016），区间分析法（郭等人，2001），证据理论方法（江等人，2013）等。
目前，对于模糊可靠性分析，模糊变量经常被转化为随机变量或区间变量，模糊可靠性通过概率可靠性或非概率性方法来解决问题。在赵等人（2010）的论文中，随机变量和模糊变量彼此等价地转换，然后是传统地用可靠性理论分析模糊可靠性问题。在宋和卢（2008）的论文中，一般失效概率的积分面积根据功能函数离散化。在积分范围内离散化，极限状态函数的隶属函数附加模糊失效域几乎保持不变。模糊的可靠性问题转化为用近似矩求解一般失效概率的一般可靠性问题。在郭等人（2002）的论文中，用模糊变量描述结构不确定性。对于模糊结构与系统的可靠性模型就基于可能性理论和模糊区间分析而建立起来。在宋和邱（2013）的论文中，模糊非概率可靠性模型利用模糊变换建立模糊区间混合变量。
同时，模糊随机变量的概念被（Kwakernaak，1978；普里和丹，2001）提出，与模糊性结构不确定性的随机性有机地结合在一起。关于概率密度分布参数，模糊随机变量是其分布参数的随机变量，（例如，均值和标准偏差）被认为是模糊数。（AL-Jahani et al.，2014）。随机变量，模糊变量可被视为模糊随机变量的特例。模糊随机变量具有较强的适用性。海等人（2009）根据随机性和模糊性的基本概念提出了基于等效概率密度函数的分析方法的模糊可靠性。基于隶属函数的模糊分布参数，先验分布构造了随机概率密度函数，具有模糊分布参数的等概率密度函数，并得到了一些常见的隶属函数，其中有适用于多重模糊分布的可靠度计算参数。在早和邱（2009）的论文中，根据模糊分解定理，区间可拓原理二阶矩法，结构可靠度的计算给出了应力和强度的模糊随机参数法。在谭等人（2009）的论文中，计算提出了边坡稳定可靠度指标的确定方法，模糊分解定理、区间可拓原理与设计点的方法。在徐和邱（2014）的论文中，结构计算方法根据模糊分解定理提出可靠性以及混合变量非概率可靠性分析算法。得到了不同水平截割下结构可靠度的仿真结果。在王等人（2012）的论文中，针对模糊随机变量参数的可靠性问题，利用随机模糊变量抽样计算了结构功能函数和其前第四阶累积量，利用鞍点近似原理估计结构可靠度的区间值。在崔等人（2011）的论文中，根据模糊或随机分布参数的区间变量，得到了模糊随机变量的结构可靠度计算方法。结构失效概率具有分布参数的概率，结构失效概率表示为分布参数的乘积形式。事实上，可靠性计算中的定理、Bayes理论和Monte方法，都是对模糊分解的应用。在Jahani等人（2014）的论文中，结构的可靠性对不确定载荷和材料特性的评估已经完成，使用模糊随机变量模型，蒙特卡洛法与区间有限元法方法对失效概率进行了评价。
目前，关于模糊随机变量的可靠性问题有很多算法，如区间转换变量，贝叶斯理论方法等。但是他们有很多问题，当转换为区间变量时，存在大量的计算和区间扩展问题。基于贝叶斯理论的方法是复杂的，不易被工程技术所接受，具有实用性差的缺点。针对上述方法的不足，提出了一种新的模糊随机变量模糊可靠度计算方法。根据不确定区间变量和未确定系统误差的概念相似性，将误差分析和误差传递理论应用于模糊可靠性。基于模糊分解定理，模糊变量在不同水平割集下转化为一系列区间变量。区间变量等价于均匀分布的随机变量，并计算其均值和方差。建立了模糊变量的结构可靠度函数，并在等效均匀随机变量的均值下得到了可靠度均值。然后，从函数的整体微分关系导出可靠性误差传递函数。等效随机变量的标准偏差被认为是误差可靠性误差范围。通过对可靠性均值和误差的叠加，得到了可靠性区间值，并利用模糊分解定理得到了模糊可靠度。与传统的将模糊变量转化为区间变量的方法相比，该方法在保证可靠度的前提下提高了结构模糊的计算效率。
本文的架构如下：第2节是等效误差计算模糊参数，第3节是基于误差分析方法提出了模糊随机变量的结构可靠度。随后在第4节中的实例演示了所提出的方法，结论见第5节。
2.模糊参数的等效误差与函数的误差传递
2.1模糊参数的等效误差计算
根据模糊分解原理，任何模糊变量都可以在不同水平割集下分解为一系列区间变量。在区域X中定义A为模糊子集，是A的割集，，所以分割类型如下：
（1）
这里
然后对均匀分布的随机变量在每个水平割下的区间变量是等价的。等效随机变量的均值是, 标准差是。
等效随机变量的标准偏差被认为是误差,在水平截集集lambda;下的模糊参数的等效误差可以求得
2.2.错误转移原则
根据误差函数的传递，如果变量的误差已知，则可以看到函数的间接误差。
假定函数是分别是的误差，是的真正的值，因此的误差是：
（2）
泰勒级数的扩展是并忽略二阶泰勒级数展开，
（3）
分别是偏导数值，对，。把公式（3）带入公式（2），功能误差如下：
（4）
函数的误差传递是通过等式（4）来实现的。
3基于模糊随机的结构可靠度误差分析方法变量
3.1结构可靠度误差分析模型
在结构可靠性理论中，失效概率是（Rackwitz,2001）表示联合概率密度函数，表示功能函数。因此结构可靠度为，以可靠性和结构不确定性参数为自变量，建立结构可靠度的误差分析模型。
结构可靠度的计算公式如下：
（5）
将阶跃函数代入方程（5），然后将其转化为方程（6）。
（6）
这里表示随机变量的联合概率密度函数，表示功能函数，阶跃函数是一个连续函数。考虑到后续的变异操作，sigk（.）函数用来代替阶跃函数。其中，，图片1给出了取不同值时的函数曲线。随着数值k的增加，函数逼近阶跃函数。当时，它相当于阶梯函数。在实际计算中，使k等于更大的值，如k= 100。
令阶跃函数,因此，公式（6）被变换如下：
（7）
对方程（7）进行微分，得到误差分析模型。结构可靠性如下：
（8）
其中：，是变量的误差，是可靠性函数的误差。
图1功能图
3.2基于模糊随机变量的结构可靠度计算
根据第2.1节所述的方法，标准水平lambda;割集下模糊分布参数的偏差可以计算出来。然后根据第3.1节中描述的分析过程，结构可靠度不同的截集下的可靠度计算时误差可替换式（8），如下：
（9）
可靠性区间中心点可以通过公式（7），当将等效随机变量的平均值设为实际模糊分布参数。可以得到不同级别lambda;截集下的可靠性误差范围，可以将此范围描述为以为中心，以可靠性误差作为半径。
最后给出了公式（10）所示结构的模糊可靠性。
(10)
图2是计算流程图。
图2算法流程图
3.3.补充信息
在实际结构工程问题中，模糊随机变量的误差往往反映在模糊随机变量分布参数的模糊性上。例如，正态分布模糊随机变量的分布参数或分布参数 ，是模糊数。如果分布参数的均值是模糊数，则水平截集下的区间变量可以等价于均匀分布的随机变量。使得标准偏差由于误差和可靠性误差可以在等式（9）中获得。在第3.2节的可靠性误差的计算方法是指模糊随机变量均值为模糊数的情况。然而，如果模糊随机变量的标准差是模糊数，则上述方法在含义上是不合适的。本文认为可以看作是直接替换，然后在等式（9）替换时获得可靠性误差。当替换时（在水平割集），上述信息是模糊随机变量，分布参数为模糊数的误差量化方法。
第二种情况是模糊随机变量分布参数是确定的，这意味着是随机变量。在这种情况下，替代代入方程（9）时，可以计算可靠性误差。
在第三种情况下，是模糊变量，误差的计算与模糊随机变量的情况相同。但在公式（7）和（9）中不存在用于求解可靠性中心点和可靠性误差的相应的积分元素，并且在联合概率密度函数中没有出现变量。
4.实例
利用所提出的方法计算以下实例的模糊可靠性，同时与传统的方法-顶点法比较（阿克潘等人，2001；谭等人，2009）。这是一种结合区间展开原理的模糊分解定理的方法。在本文中，所提出的MeordRror分析方法被简称为EAM，传统方法-顶点求解方法被简称为VSM。
例1：在图3中展示出了承受均匀载荷的自由支撑梁。长度、截面宽度、截面高度均为基本变量，即4000 mm，＝105 mm，＝210 mm，是模糊随机变量，分布形式正常，即：ε（92）n/mm，均值为模糊数，是模糊数，其隶属函数如图4所示。梁的材料是45钢，其强度是一个模糊随机变量，其分布形式是正常的，也就是MPa，是模糊数，其隶属函数如图5所示，计算模糊可靠度。
图3自由梁的力图
图4 m的隶属函数。
图5 n的隶属函数
根据材料力学的基本理论，自由支撑梁的最大应力为：
然后根据自由支撑的破坏准则，可以确定功能函数如下：
输入变量的联合概率密度函数可以写成：
利用本文提出的方法将模糊变量转化为区间变量，并计算它们的均值和标准差。使变量误差等于标准偏差，并使用可靠性误差模型来计算可靠性误差如下：
然后利用误差分析法（EAM）计算可靠性平均值、可靠性误差和可靠度区间。同时，采用顶点解方法（VSM）计算可靠度区间，以比较所提出的方法。结果列于表1，并绘制如图6所示的可靠性隶属函数。
表1不同水平割集的模糊可靠性
图6自由梁的可靠隶属函数。
从图6可以看出这两条误差分析线。方法（EAM）表示可靠性的左右边界。它们构成了可靠性区间。顶点的两条线解决方案方法（VSM）表示相同的含义。可靠性EAM的间隔比VSM窄得多。因为对于狭窄的可靠性区间是结构可靠度。在每个级别的割集中，误差是是一个很小的值。本质上，误差函数不仅取决于每个变量的误差，而且还取决于误差传递系数（可靠性的偏导数）函数的变量。误差传递系数的大小和正反例子，避免产生不合理情况。根据误差扩展原理，误差只增加不抵销。窄的误差区间更接近实际数，有利于工程实践中的应用。
例2：考虑点火压力对谷物的影响作为一个例子，计算了粮食的模糊可靠性。相关变量的分布类型是正态分布。颗粒的基本材料参数如表2所示。泊松比是一个模糊随机变量，其分布形式是正规的，即是是一个模糊数及隶属函数如图7所示。最大允许应变是一个模糊随机变量，分布形式正常，MPa，是一个模糊数，其隶属函数如图8所示。从900 s开始计算发动机颗粒的模糊可靠性。
图7 q的隶属函数
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