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增强鲁棒性的残余产生反对模型不确定性
在本章中，我们将讨论通过在不确定系统中产生的残差信号中所遇到的鲁棒性问题，如图8.1中所示。模型的不确定性可以由过程和传感器或致动器参数的变化引起。这些变化将影响剩余信号并导致差的FDI性能。解决鲁棒性问题的主要目的是增强残存产生器对模型不确定性和干扰的鲁棒性，而不会明显损失故障灵敏度。
模型不确定性可能以不同的形式存在。它使得在不确定系统中的FDI的处理比具有未知输入的系统的FDI复杂得多。考虑到没有系统的方法来解决不确定系统的FDI问题，在本章中，我们将重点介绍一些基本思想，设计方案和代表性模型不确定性的处理。
8.1 初步
用于我们研究的主要数学工具是在最后一章中介绍的LMI技术。接下来，我们将介绍一些对于不确定系统的研究中所需的额外的数学预备。
8.1.1 LMI辅助计算系统边界
以下引理在不确定系统的边界计算中起着重要作用。
引理8.1 令G, L, E 和F (t) 是具有适当维数的实矩阵 ，F (t) 是矩阵函数 ， F (t)T F (t) le; I 。 然后
- 对于 ε gt; 0,
- 对于任何 ε gt; 0, P gt; 0 满足 minus; εET E gt; 0,
考虑到一个系统
与多面体不确定性
成立
引理8.2 给定系统 (8.3)–(8.5) 和常数 gamma; gt; 0, 然后
如果存在P gt; 0 使得forall;i = 1, . . . , l
通过将定理7.13扩展到具有多原子不确定性的系统来用于计算H-索引的LMI解决方案。无需证明，我们将结果总结为以下引理。
引理8.3 给定系统 (8.3)–(8.5) 和常数 gamma; gt; 0, 假设i = 1, . . . , l
forall;omega;, rank
然后
如果存在 P = P T 使得 forall;i = 1, . . ., l
8.1.2 随机不确定系统的稳定性
给定一个随机不确定的系统
其中 pi(k), i = 1, . . . , l, 表示随机过程
已知sigma;i (gt;0), i = 1, . . . , l。 进一步假设 p(0), p(1), . . . 是独立的，并且x(0) 独立于 p(k). 应该理解 (8.7) 在统计方面的稳定性。所谓的均方稳定性用于此目的。
定义 8.1 均方稳定性：给定系统 (8.7) 和表示
系统被称为均方稳定性如果对于任何 x(0)
可以直接得出
引理 8.4 给定系统(8.7). 当且仅当存在P gt; 0，它是均方稳定的，使得
我们将读者引向Boyd等人的书。对具有随机不确定性的系统进行全面研究。
8.2 将模型不确定性转换为未知输入
如第3章所述，具有规范边界不确定性的系统可以描述为
有
已知具有适当尺寸的 E, F , G, H , J , 以及由其界定的未知
sigma;macr; ()le; (8.12)
未知输入残差产生器
从(8.8)到(8.10)
显然，当且仅当原始系统(8.8)稳定并且观察器增益L被选择为使得A-LC是稳定的时，系统 (8.14)–(8.15) 才是稳定的。因此，我们假设在下面的研究中任何 (t) (8.8)是稳定的。
注意，由于 (8.11), (8.14) ，(8.15) 可以被进一步写入
允许
得到
也就是说，残差产生器的动力学由 (8.16)–(8.17)表示。这样，模型不确定性对范数有限类型的影响是模型化为未知输入向量d~的一部分。由于其标准形式， (8.16)–(8.17) 的最优设计可以使用在第7章中提出的方法来实现。
备注 8.1 注意 ϕ i是 d 和 f 的函数, 可以表示为
和
在无故障的情况下，
因此，可以基于 (8.16)–(8.17)实现统一解，即使d~依赖于f
这种处理模型不确定性的方式也可以扩展到处理其他类型的模型不确定性。 值得指出的是，将模型不确定性建模为未知输入向量可能导致残差产生器的保守设计，因为关于模型不确定性的结构的有价值的信息没有被考虑。
8.3 基于参考模型的策略
8.3.1 基本理念
在现有的不确定系统的FDI计划中，所谓的基于参考模型的计划受到了相当大的关注。这个方案的基本思想是应用参考模型。这样，与Hinfin;OFIP的解决方案类似，原始FDI问题可以转化为标准设计问题。
关于 (8.8)–(8.10) (8.18)
其中 rref 表示参考模型。(8.18) 是MMP并且存在数字的方法(8.18). 这些方法之间的主要区别在于参考模型的定义。
最早和最经常研究的策略是以形式处理FDI问题的 Hinfin; OFIP. 这意味着参考模型 rref 定义为
与给定的加权矩阵W (s) isin; RHinfin;. 该方法首先介绍了解决控制器和FD单元的集成设计，最近亿FD目的的优化问题 (8.18)在Hinfin;/mu; 框架中解决。
如第7.5节所述，在处理Hinfin; OFIP的解时，基于参考模型（8.19）设计的FDI系统的形式强烈地取决于关于故障的系统结构和选择加权矩阵W（s）。接下来，我们将提出一个由Zhong等人提出的方法，它为FDF设计提供了一个更合理的解决方案。
8.3.2 基于参考模型的系统解决方案与规范边界不确定性
所提出的方法包括两个步骤，用于设计FDI系统
找到(8.8)–(8.10) 系统的统一解 ，其中 (t) = 0. 让Lopt, Vopt 根据 (7.266) 和
解决优化问题
通过标准LMI优化方法。
比较参考模型 (8.19)和(8.20)清楚地表明，在参考模型中包括d的影响是(8.20)和(8.19)之间的区别差异。第一眼看来，似乎矛盾的是，d被整合到参考模型中，尽管减少d 的影响是理想的。另一方面，我们从统一解决方案中了解到，通过在故障和干扰的影响之间进行适当的权衡来实现最优化。简单地减少干扰的影响不会自动导致最佳的权衡。
现在，我们描述方法的第二步，即扩展细节中的(8.21)的解。
令 xref 为参考模型的状态向量
回想具有残差发生器 (8.13) 的动力学 R(s) = V (i.e.,an FDF) 可以写为
结果
和
以下定理构建了(8.21)的解的基础。
定理8.1 给定系统 (8.25)–(8.26) 假设
然后
如果存在一些ε gt; 0 和 P gt; 0 使得
其中
证明
V (x) = xoT P xo, P gt; 0.
成立
因为
所以
应用Schur补集，我们可以重写(8.29)
将上述不等式中的第二个矩阵拆分为
然后，根据引理8.1，我们知道如果存在εgt; 0，则(8.30)成立
最后，应用Schur补码再次产生
因此证明了这个定理。
备注8.2 假设
xo(0) = 0和T (t)(t) le; I
不会导致定理8.1的一般性的损失。 如果 xo(0) = 0, 它可以被认为是一个附加的未知输入。 在这种情况下 T (t)(t) le; I , delta; 1,我们定义
结论，定理 8.1 成立。
备注 8.3 如果
代替 (8.27)条件(8.28)可以被释放并替换为
基于定理8.1,优化问题(8.21)可重新表示为
对于一些 P gt; 0, ε gt; 0.为了让我们解决 (8.31), 让
然后 (8.32) 变为关于 P gt; 0, V , Y 和 ε gt; 0, 如所描述
NT = N = lt; 0
其中
因此，我们有一个LMI解决方案，总结在以下算法中。
算法 8.1 优化问题(8.31)的LMI解
S0: 形式矩阵N =
S1: 给出 gamma; gt; 0, 发现 P gt; 0, Y, V 和以便 N lt; 0
S2: 降低gamma; 并重复 S1 直到达到容限值
S3：L=
由于 ∆(t) = 0， u(t) o对 r(t) 的影响几乎为零, 在参考模型(8.19) 和 (8.20) 中都不包括u(t)。然而，我们看到系统输入u(t) 的确影响残差发生器的动力学。 因此，包括 u(t) 作为干扰进入FDI系统设计是合理的。另一方面，应该记住，u(t)不同于d(t)可在线使用。为了提高FDI系统性能，u(t)的知识应该被集成到FDI系统设计和操作中。这可以以自适应阈值的形式或所谓的阈值选择器来完成，如第9章所示。
备注 8.4 上述结果是为连续时间系统推导的。离散时间系统的类似结果可以以类似的方式实现。为此，引理8.1中的不等式(8.2)是有帮助的。这将是一个很好的演习感兴趣的读者。
例 8.1在这个例子中，我们通过考虑模型不确定性为基准系统LIP100设计一个FDF。在第3.7.2节中，很好地描述了主要是由线性化误差引起的模型不确定性。为了我们的设计目的，将统一解决方案用于参考模型的构造，并且应用算法8.1来计算观测器增益 L和后滤波器V 。记住倒立摆系统的开环不是渐近稳定的。因此，与我们以前对这个基准的研究不同，LIP100的闭环模型为我们的设计奠定了基础。为了简单起见，我们假设使用状态反馈控制器，其将闭环极点放置在-3.1，-3.2，-3.3，-3.4。我们可以设计FDF。
参考模型的设计：参考模型设计成对未知输入和测量噪声具有鲁棒性。结果
通过算法8.1确定L, V ：我们得到
和gamma; = 1.3662.
8.4 多点不确定性系统的残差生成
在本节中，我们讨论具有多原子不确定性的系统的残余产生。 如第3章所述，这些系统是由
和
我们将提出两种方法。 第一个是基于参考模型方案，而第二个是基于LMI的H到 Hinfin;设计方案的扩展。
8.4.1 基于参考模型方案的方案
为了我们的目的，我们再次应用参考模型(8.22)并制定残差
发生器设计作为结束L, V 使得gamma;gt; 0被最小化，其中gamma;在上下文中给出
和 rref minus; r 给出
和, , , ,, 在(8.25)–(8.26)定义
从引理8.2得出，对于给定的gamma; gt; 0 (8.35) 成立如果P gt; 0
使得 forall;i = 1, . . . , l
设定
产生
和
基于此结果，使用以下算法可以实现具有多目标不确定性的系统的残差发生器的最优设计。
算法 8.2 ((8.35)的LMI解)
S0: 形式矩阵 Ni = i = 1, . . . , l
S1: 给定gamma; gt; 0, 找到 P gt; 0 满足 (8.37), Y , V 使得Ni lt; 0
S2: 降低gamma; 并重复S1 直到达到容许值
S3: 根据(8.37)设置L.
例 8.2 在我们以前关于实验室系统CSTH的例子中，我们已经知道线性化模型只在线性化点附近的邻域中工作。在第3.7.5节中，线性化误差被建模为多原子类型不确定性。 在这个例子中，我们在考虑多面体类型不确定性的情况下设计用于CSTH的FDF。设计程序包括
参考模型的设计：为此目的，将统一解决方案应用于线性化模型
所得到的观测器增益和参考模型的后滤波是
通过算法8.2确定 L, V
在我们的模拟研究中，我们首先比较分别产生的残差信号通过FDF有和没有考虑多面体不确定性。
在无故障情况下的残差信号，验证了显着的性能改进，因为残差发生器是通过考虑多面体不确定性设计的。 为了演示上述设计的FDF的应用，在t = 25秒时产生致动器故障。
使用引理 8.2的模拟版本用于离散时间系统，很容易找到基于参考模型的离散时间残差发生器的设计
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