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x的方向与波长成反比。这完全类似于经典的伯努利-欧拉梁理论方程（7.12）所呈现的情况。为了纠正这种情况，我们将旋转惯性和横向剪切的影响包括在内，从而推导出铁木辛柯梁（Timoshenko）运动方程，这在短波长的限制中得到了更好的结果。通过考虑旋转惯性和横向剪切的完全类似的程序，我们分析“厚”板，即厚度超过/20的板，其中是剪切波长。如前所述，铁木辛柯梁（Timoshenko）是第一个将这些影响包含在一维杆中的人; Mindlin7展示了如何直接从三维弹性方程推导出二维改进的运动弯曲方程;因此，我们将控制方程称为Timoshenko-Mindlin板方程。在本书1972出版的第一个版本中，详细推导了Timoshenko-Mindlin板块方程，该方程式遵循Mindlin7。我们不再在此再次重复，而是仅提供完整性的最终结果。因此，二维模拟的等式（7.33）是
（7.79）
在第8章中，该方程用于确定力激励下弹性板的高频声辐射特性。
7.12 介绍壳体在真空中的振动
本章前面的部分介绍了杆、梁和板的振动。在剩下的部分中，我们讨论了在未变形状态下具有大量曲率的结构。如前文所述，我们讨论的范围将仅限于考虑圆柱形和球形壳体。 在本书的第一版中，推导出了圆柱壳和球壳的运动方程。 在这个版本中，我们不会重新推导方程，因为这里的主要是声学-结构相互作用问题的研究，而不是结构响应的详细讨论。
后者受到推导出的许多不同方程组的微小差异的影响已经很多年。对于那些对这些问题感兴趣的读者，Leissa已经对该主题进行了广泛的审查。人们通常可以说微分方程中的差异来自于应变-位移关系的微小差异，从而导致了不重要的数值结果差异。然而，重要的是重述Love所引入的基本假设，以推导薄弹性壳的运动方程：
1.壳的厚度与壳的最小曲率半径相比较小。
2.与壳厚度相比，位移较小。
3.作用在平行于壳体中间表面的平面上的横向法向力可忽略不计。
4.垂直于中间表面的壳的构造在变形后保持不变并且本身不会伸长。
根据上述假设，我们可以确定位移是与中间曲面垂直的坐标的线性函数。这个可以归纳为一种测定球形壳体中表面挠度的方法。
7.13 圆柱壳的运动方程
考虑一个厚度为h和半径为a的圆柱形壳体，参考ф，z的坐标系（见图7.4），其中er是沿着球壳表面法向外指向的单位向量，eф为切向单位向量增加ф，以及ez在圆柱壳方向上的单位矢量。壳体表面的相应位移是w、v和u。我们假设唯一的外部载荷通常作用于壳体的圆柱形表面，用pa（ф，z）表示。由于假设声学介质是无粘性的，因此这种载荷可以表示流体载荷以及任何外部施加的正常载荷。 切向或纵向作用的外部载荷假设消失，但只要在适当的运动方程中加入载荷项，就可以很容易的调节它们。
图7.4 圆柱壳的几何形状显示位移分量的方向。
最简单的运动方程是作为Donnell公式的动态对应而得出的，取自Kraus9除了已经提出的假设之外，Kraus还说“Donnell公式的表述是基于圆柱体的曲率和扭曲变化的表达式与平板的表达式相同的假设，并且横向剪切应力的结果s对圆周上的力的平衡的影响可以忽略不计。”这样得出的方程可以写成：
，（7.80a）
，（7.80b） ，（7.80c）
其中，与beta;2成比例的项表示弯曲应力的作用。前两个方程独立于beta;2，与膜的运动方程相同。第三个方程与相应的膜方程的区别只是包含了一个可以写成的项
其中这与薄板的运动方程中出现的术语完全相同。
从等式（7.80c）我们看到壳w的正常位移耦合到u和v，即壳的两个面内
位移。对于平板，法向位移与平面内位移分量无关。
对于有限长度的圆柱壳需要规定边界条件。最简单的设置，大多数结果可用，是一个简支的圆柱形外壳。如果其末端位于z= L，则位移边界条件为
在z= L （7.81）
对于两端被夹紧的壳体，其边界条件为
u=v=w==0 在z= L （7.82）
7.14 平面振动或薄圆柱壳
现在已经说明了控制圆柱壳振动的运动方程，考虑一些例子是有益的。处理的最简单的情况之一是平面应变，其中我们假设位移u的轴向分量消失，并且周向和径向分量v和w分别独立于轴向坐标z。为了研究该系统的自由振动，我们将施加的力P设定为等于零，并假设形式的解
u=0
(7.83)
w=
对于这样的动态配置，式(7.80a)满足一般条件，式(7.80b)和(7.80c)则需要
(7.84a)
(7.84b)
其中 是一个无量纲的频率参数
方程(7.84)是由两个线性代数方程组成的齐次方程组，其模态振幅为Vn和Wn未知。由Vn和Wn的系数构成的行列式必须消去，才能存在一个非平凡解。这就得到了一个频率方程
（7.85）
其中，对于n＞0，得到的两个实非负根，表示为n（1）和n（2）
（7.86）
其中符号分别对应n（1）和n（2），与n＞0的每个值相关联的这两个固有频率反映了这样的事实：这两个非零数值的位移给了系统两个自由度。例如，在较为常见的梁振动情况下，运动的纵向分量和横向分量是不耦合的，这就产生了两个完全独立不同的频率方程。图片7.5显示了两个共振频率n（1）和n（2）的大小如何随n的变化而变化。对于两个h/a的计算过程表明，n（1）的大小随着h/a的大小变化，而n（2）的大小变化不受h/a大小的影响。事实上，在n比较的大的时候，n（1）的大小趋近于beta;n2，n（2）的大小趋近于n。这些结果类似于Rayleigh所获得的结果，其中他分别考虑了刚性模态和弹性模态。一旦频率方程（7.85）得到结果，我们就可以使用Wn/Vn的比值分别确定出n（1）和n（2）的大小。在前面的情况中，我们发现当n＞1，Wn/Vn=n的时候，运动主要是径向的。当n=0的时候，没有切向运动，所有运动都是径向的。因此，显示单个固有频率0=1。当n=1时，两个固有频率中较小的一个为零，这与刚体的转换有关，对于刚体转换W1/V1=1。
7.15薄圆柱壳的平面强迫振动
现在可以使用上一节的结果来确定圆柱壳对径向激励力的响应，该径向激励力与轴向的坐标无关，关于Phi;=0的轴对称。
施加的压力 用傅里叶展开式来表示
图7.5
无限长圆柱壳（无轴向相关性）的共振频率作为周向模数的函数（上分支没有随着h/a的大小有显著变化，当v=0.3时；为了方便显示，曲线表示为连续函数）。
当 ，
， (7.87)
假设响应位移为
u=0 ,
, (7.88)
,
将方程（7.87）和（7.88）代入运动方程（7.80）并运用正交条件
（7.89）
我们得到了模态振幅Vn和Wn的两个非齐次线性代数方程
，
（7.90）
求解Vn和Wn，我们得到两个非零的变形公式v和w：
，
w= . (7.91)
其中n（1）和n（2）我们已经在7.14节中讨论过了。在后面的章节中，可以方便地用模态机械阻尼表示响应。
. （7.92）
现在方程（7.91）可以变为
. （7.93）
7.16 圆柱壳的非平面振动
在上一节中，我们考虑了无限长度的圆柱壳的特殊情况，其响应于与轴向坐标无关的力激励。当响应表现出轴向相关性时，用位移分量描述无限或简支壳体的运动。
（7.94）
所描述的运动包括沿圆周和轴向的驻波。沿圆周方向上的径向位移节点线间隔距离为pi;a/n，轴向波长为2pi;/km。如果将上述位移表达式代入圆柱简化运动方程(7.80)，我们就能得到位移幅值为Umn、Vmn_、Wmn的一组齐次线性代数方程组。为了使这个集合的非一般解存在，系数的行列式必须消失:
=0 （7.95）
这是以Omega;2的三次方程的形式表示：
（Omega;2）3-A2（Omega;2）2 A1（Omega;2）-A0=0 （7.96）
其中系数A0,A1和A2分别是
（7.97a）
（7.97b）
（7.97c）
对于ngt;0，方程(7.96)的解给出了一组对应于每个模态构型的三个固有频率。第7.14节中，我们考虑了圆柱壳的平面振动，我们得到了与每个模态配置对应的两个频率，因为在这种情况下，我们假设轴向位移为零，因此自由度更小。将行列式(7.95)转换为(n=0)的模态，v项与u项和w项不相关。轴对称v运动表示扭转振动，其固有频率为：
（7.98a）
在下面的下标表示了谐振模态的主要位移分量。(7.98)中的其余项得出特征方程
=0 .
通过假设Omega;le;1并且忽略beta;项对纵向模态势能的影响来构造适用于大长径比的薄壳的近似解。 这产生了：
（7.98b）
（7.98c）
当壳体长度测量m为半压缩杆波长cb/f时，会产生纵向共振。在低阶径向共振下，壳体周长测量一个压缩杆波长cb/f。径向模态是有效简并的，直到随着m的增加，（7.95c）中的beta;项变得显着，即10-1的阶数。当h/a=O（10^-2），beta;2=O（10^-5）,这需要kma=O(10)。我们将在第9.6节中看到，辐射载荷消除了轴对称径向模态的简并。
考虑一个长度为L的圆柱形壳体，在其端部简支，z=。对于径向位移w相对于z和Phi;对称，模态配置由公式（7.94）给出
Km=（2m 1） ，m=0，1，2,
简支边界条件(7.81)得到满足，然后我们可以用方程(7.96)来求解这样一个壳体的固有频率。对于具有相同数量的周向和纵向节点线的模态模式，有限长壳体可以用三种不同频率中的任何一种振动。
典型结果如图7.6所示，其中对于固定的kma，三个固有频率被绘制为n的函数。两个上部分支频率随n单调增加，而下部分支（主要对应于径向模态）显示频率初始随n减小然后增加的意外结果。 Arnold和War burton10通过考虑壳体中间表面的弯曲和伸展运动的相对应变能量，对两端简单支撑的圆柱体提供了对该现象的解释。对于少的周向模数，拉伸能量远远超过弯曲能量。对于更高的周向模数，情况会发生逆转，从而降低势能并因此降低固有频率。只有当方程式（7.95）中的圆周弯曲项beta;2n4变得足够大以补偿膜刚度的减小时，势能才会再次增加，从而使固有频率再次增加。
利用由Heckl11构造的近似表达式，可以解析地确定固有频率最小值的位置。
图片7.6简支端有限圆柱壳的共振频率是周向模数的函数（v=0.3；为方便起见，曲线显示为连续函数）
表7.1 圆柱壳的主要径向模态的固有频率Omega;min根据严格的理论（7.95）和近似表达式（7.99）计算得出
忽略了切向惯性力。在这里，我们通过将与主要径向运动相关的动能乘以 来解释圆周运动对动能的贡献，其中圆周运动与径向运动的比率 Vmn/Wmn 近似为n-1，即相应的比率为非拉伸平面模态的比值[见（7.86）的讨论。
主要为径向模态的固有频率的近似表达式变为
，n＞0， （7.99）
式中，ks是螺旋波数：
（7.100）
（7.99）中的第一项包含膜应力，第二项是弯曲应力。用表达式和严格理论构建的共振频率的比较见表7.1。将真空固有频率下的近似结果与精确理论计算的结果以及图9.3所示的淹没壳体固有频率进行了比较。式(7.99)足以满足实际需要，除去的短轴向波长模态，即大的。
将式（7.99）中有关于n的导数设置为零，可以求出
（7.100a）
对于图7.6的参数，此处得出，与严格计算得出的结果一致。最接近式（7.100a）的n的整数值表示具有最小共振频率的模式。
为了对有关圆柱壳的讨论进行总结，我们发现低阶模态的膜应力会产生一个低频阻抗，其高于相同厚度和材料的无限板的低频阻抗。在高频率模态下，两种结构都由弯曲应力控制，其阻抗是可比较的。图7.7显示了对于纵向比为2的简支壳体，该壳体的弯曲应力由中跨的集中力激发。严格的壳响应由公式（7.93）计算得出。上式还显示了包含近似的径向导纳表达式，与式(7.99)类似。除了考虑圆周运动对动能的贡献外，忽略了径向运动和切向运动之间的耦合，从而消除了以纵向模态和圆周模态为主的共振效应。因此，仅以主要径向模态的固有频率表示的径向迁移率近似如下:
呼吸振动
资料编号：[3684]
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