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水下拖曳长管的三维动力学
第2部分线性动力学
M. Kheiri , M.P. Paıuml;doussis , M. Amabili , B.I. Epureanu
a Department of Mechanical Engineering, McGill University, 817 Sherbrooke Street West, Montreal, QC, Canada H3A 0C3
b Department of Mechanical Engineering, University of Michigan, Ann Arbor, MI, USA
摘要
在本文中，开发了一种基于有限差分格式的求解方法，通过该方法，第1部分中给出的运动和边界条件的偏微分方程被转换成一组一阶方程，然后用数值求解。通过考虑一些简化来验证数学模型，这些简化使我们能够将数值结果与管单支撑在两端（钉扎）和受轴向流动的短管的结果进行比较。一个典型的例子然后给出长管（L= 2000m）的啊甘达图，其显示最低的演变作为无量纲流速（牵引速度）函数的系统的三个本征频率。对于同一管道，还给出了不同流速值下的变形和时间轨迹图。结果清楚地表明，在水下拖曳的长管可能会因发散而失去稳定性，并且在较高的流速下会因颤动而失去稳定性。变形局限于管道的一小部分，靠近下游端。还进行了一些数值比较，其中研究了电缆刚度和表面摩擦系数对不稳定性初始的影响
介绍
在这个由两部分组成的研究中的第1部分，已经推导出了在水下拖曳的长管（气缸）动力学的运动方程。事实上，这些方程式可用于研究受到轴向流动的长管和短管的动力学，因为对管的抗弯刚度没有进行有限的简化，这与其他一些研究相反，对于长管，身体的抗弯刚度被忽略（例如，Triantafyllou和Chryssostomidis，1985）或仅部分考虑（例如，道林，1988年)。
他对非常细长圆柱体长径比的动力学感兴趣，轴的长径比L/D阶数为10^2或10^5轴向流动也可能在更早的时候被发现.能为潜艇天线和水听器阵列的应用而开展的工作（例如，奥特洛夫和艾夫斯，1969年; 包, 1970; 李，1981).在这些分析中，不幸的是，这些分析是基于提出的运动方程的错误版本而作出的Pauml;doussis（1966），而不是纠正的（拉维杜斯, 1973），他们发现长圆柱体的稳定性与短圆柱体不同。
最近，在一篇论文中de Langre等。（2007年），考虑了经受轴向流动并固定在上游端的薄柔性圆筒的稳定性。与先前通过简化模型做出的预测相反（道林，1988年; 特里南塔非卢 和Chryssostomidis，1985年），他们发现，如果气缸的自由下游端是流线型的，那么很长的气缸可能会出现颤振。他们还发现了一种限制方案，其中系统的不稳定特性不受气缸长度的影响，并且气缸变形局限于靠近下游端的有限区域。
进行了许多实验（Pauml;doussis，1968年）相对较短（L/ Dasymp;20）柔性气缸保持流动 连接到其上游端的一串字符串。后来，倪和汉森（1978） 实验研究了流动引起的横向轴向流动中柔性管的运动;柔性管非常细长（L/Dasymp; 500）并且近似中性浮力，并且在上游端固定在下游端自由。还进行了一组实验Sudarsan等人。 (1997) 研究水下拖曳的柔性细长圆柱体的水弹性不稳定性。这些实验在拖曳槽中进行，模型的长径比为50和150.通常，在上述实验中观察到发散和颤动;此外，在非常细长的汽缸的情况下，变形似乎是在特别靠近汽缸下游端的区域的居中位置。
在本文中，有限差分方案用于空间 T的表达式可以用非维度形式写成离散线性化的非定常运动方程。该 通过使用软件解决所得的时域方程组 公式翻译 IMSL库的例程。然后，简化版本模拟轴向流动中短支撑（钉扎）管道的动力学行为的方程用于验证 现在的模式。最后，在本文的最后部分。给出了柔性连接到上游端的牵引容器和下游端的尾随容器的长管动力学的数值结果。需要强调的是，这里考虑的模型，包括在水下拖曳长管并受到现实非经典边界条件的影响，这是第一次提出。在所提出的数值解法中，首次检验了各种系统参数的影响。同时，这篇论文提出短管和长管的数值解决方案,让读者了解两者的动态特征系统。
2. 解决方法
在本节中，讨论了仅有轴向流动（无交叉电流）情况的非定常运动方程的解法。虽然第1部分已经得出了稳态（与交叉电流的影响有关）和不稳定自激运动的方程，但我们不会在这里给出稳态电流引起的变形的任何数值解，因为这这不是本研究的目的。存在交叉流动的动态是另一篇论文的主题，目前正在准备中。
2.1. 不稳定的运动方程
没有交叉电流（Uz = 0），z方向上没有稳态变形。在这种情况下，
第1部分给出的y和z方向方程变得相同，并且可以通过求解其中一个来
研究系统的动力学。z方向的运动方程可以写成
其中所有数量都是无量纲的。这里w是z方向的位移，xi;是纵向坐标，ε是细长比率的度量定义为 ε=L/D 且ε={（pi;D）^2L}^1/3;t表示时间，L和D分别是管的长度和直径;Ux轴流速（牵引速度），beta;流体质量与总质量（流体和结构）的比值，cf摩擦阻力系数，cd零流量法向系数，和alpha;用于归一化纵坐标的系数;T管道中的稳定张力，即可以在方程式中以维数形式找到。第1部分（17）。T的表达式可以用非维度形式写成
其中T 1 是管道上游端的张力。通过代替
式。（2）进入Eq。（1），运动方程采用的形式
图1.空间离散化：将主体划分为N个等长（1 / N）的元素，网格点位于元素的中心。 图一 图二
图2.典型结果显示（a）“短管”的形状，在不同时刻具有非常坚硬的端部弹簧，以及（b）管道中点的时间轨迹;Ux=0.70。
因此和
和
以下Iwatsubo等。（1973）, Sugiyama和Kawagoe(1975) 和Sugiyama等。（1976年），我们使用中心有限差分方法在空间上离散运动方程和边界条件。为了应用该方法，假设主体被分成N个元素。如图所示图1,网格点位于每个元素的中心。运用 导数的中心有限差分近似，可以几乎每本关于计算解决方案的书都可以找到微分方程，运动方程其中h = 1/ N和Yi 是第i个元素的横向位移（w）。如果我们用Ui代替Y/tEq。（6）采取形式
图三
图3.具有非常坚硬的端部弹簧的“短管”的典型结果，显示（a）在发散开始后，在不同的时刻及（b）管道中点的时间轨迹后的管道形状;Ux= 0.95。
图四
图4.具有非常坚硬的端部弹簧的“短管”的典型结果，显示(a) 发散后的管道形状，在不同的时刻和(b) 管道中点的时间轨迹;Ux =1.50。
让我们如下重写i = 1的上述等式。
①,② 和③ 可以很容易地从方程式中找到。（7）。正如所见h 从图。1，未知数，例如Y0，Y -1 和U0，不是关联。h 从图。1，未知数，例如Y0，Y 和U0，没有关联使用真实的网格点，并应确定为与真实网格点相关的未知数的函数，即Yi，Ui (i= 1 .N)这将通过边界条件完成。紧跟着Sugiyama发展的程序等。（1976年）经过大量的操作后，下面的表达式是从方程式中给出的边界条件得到的。（4）和（5）：
图五
图5.具有非常坚硬的端部弹簧的“短管”的典型结果，显示（a）具有第二梁模式形状的管道在Ux = 1.80和不同时刻的静态发散，以及（b）管道中点在相同速度下的时间轨迹。
图六
图6.具有非常坚硬的端部弹簧的“短管(a) 在颤振发生后，在不同时刻和(b)管道中点的时间轨迹;Ux= 1.90
其中，and
而且
对于Eq.的表达式（9）和
其中
和
图七a 图八a
图七b 图八b
图七c 图八c
图7.具有非常坚硬的端部弹簧的“短管”的典型结果，显示(a) 在颤振开始后和不同时刻的管道形状，（b）管道中点的时间轨迹和（c）早期振荡周期的管道形状Ux=2.30.
图8.具有非常坚硬的端部弹簧的“短管”的典型结果，显示(a) 在不同时刻，具有更高光束模式形状的颤动管，(b) 管道中点的时间轨迹和（c）早期振荡周期的管道形状;Ux= 2.80。
图九
图十
图9.通过计算管道中点的时间轨迹，在(a)Ux= 1.90和(B)Ux= 2.80处确定所需的网格点数N =101,121,141
图10.通过计算管道中点的时间轨迹(Delta;t=，在(A)Ux= 1.90和(B)Ux= 2.80)来确定合理精确结果所需的时间步长
对于Eq的表达式，和Eqs的细节如何。得到的（9）和（10）给出附录A..应用Eqs中给出的表达式后。（9）和（10），Eq。（7）可以完全按一阶形式投射，X*=AX B而其和式。（11）可以通过几个可用的数学包进行数值求解，例如IMSL库的DIVPAG和MATLAB的ODE函数。
2.1.1. 短管的数值结果
出于验证目的，已经针对相对较小的e值执行了若干计算，在上游端和下游端具有非常大的端部弹簧刚度并且无交叉流动，以便接近之前研究过的钉扎系统Pauml;doussis（1966年, 1973) 和别的.图2-8显示应该在质量上类似的结果具有固定端的相对较短的管（L/ D= 20）轴流。这里的参数是L/ D= 20，ε = 5.8，beta; = 0.5，εcf= 0：0728，εcd =0:0,k1 = k2 = k3 = k4 =( Kε^3/EI）asymp;92，其中K^和E^I^是尺寸量并且分别表示弹簧刚度和管弯曲刚度。根据上述数据，发现发散阈值为Ux= Ucdasymp;0.945，颤动阈值为Ux= Ucfasymp; 1.893。在图2（对于Ux = 0.70），我们看到（a）振动管的形状在不同的连续时刻和（b）时间演变，显示出稳定的欠阻尼振动。
通常，本节中的（a）部分图以及下一部分显示了随着时间顺序发展的管道变形。这些时刻之间的步长是Delta;t = 0.2T/ N，其中T是所考虑的时间范围，N是时刻的数量（本节中N = 30，下一节中N = 60）;系数0.2表示变形形状属于时域解的最后20％。在图3，我们看到Ux=0.95的动态。在图3（a），随着时间的增加绘制变形，清楚地显示出发散的发生。可以看出，发散是第一束模式的形式。分歧的增长也清楚地看到了图3（b），绘制中点变形对t。图4呈现类似的结果，在Ux = 1.50，显示出静态发散持续较高的流速，具有较大的振幅和不对称的变形形状。在图5（a）（对于Ux = 1.80），我们看到了转型基本上第一个光束模式形状之一的静态发散（如图3（a）和4（a））到第二梁模式之一。在Ux= 1.80时，这种转变不会突然发生;事实上，它从大约Ux= 1.50开始，随着增加逐渐发展流速。在Ux = 1.90时，管道变得动态不稳定，发展出第二个波束模式振荡,如图所示6（a)管道中点的位移呈指数增长，如图所示图6（b），根据此处使用的线性分析。
第二模式颤振继续更高的流速，但位移显着增加。例如，图7（a，b）分别显示了在几个时刻管道的变形和管道中点位移与Ux = 2.30的时间的关系。也，图7（c）显示管道的早期循环确认动态瞬态发生的振荡能力而不是静态的不稳定性。在较高的流速下，当管道动态不稳定时，模式转换继续发生。图8（a）显示Ux = 2.80处的第三波束模式形状的颤动管，以及图8（b）以相同的速度显示管道中点的位移。图8（c）确认在Ux = 2.80发生第三模式动态不稳定性。所需的网格点数（N）和时间步长（Delta;t），用于数值解，可以在执行几次运行后确定。在两种不同的流速（Ux = 1.90,2.80)和三种不同数量的网格点（N= 101,121,141），
图十一
图11.长管道的典型Argand图（L=2000m），显示（a）第一模式随着Ux增加的演变，（b）第二模式的演变，（ c）随着Ux 的增加，第三模式的演变和（d）耦合模式的演变。
计算了管道中点的时间轨迹（见图9).此外，在相同的流速下，通过两个不同的时间步长（Delta;t = 10^-3，10^-4）获得管道中点的位移与时间的关系，并绘制成图10.这些主要的定性比较表明，如果使用N = 121和Delta;t = 10^-3 ，可以合理
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