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单自由度系统：控制方程
3.1介绍
3.2力平衡力平衡方法和力矩平衡方法
3.2.1力平衡方法
3.2.2力矩平衡方法
3.3固有频率和阻尼因子
3.3.1固有频率
3.3.2阻尼系数
3.4为不同类型的阻尼控制方程
3.5不同类型作用力的控制方程
3.5.1基本励磁系统
3.5.2不平衡旋转质量系统
3.5.3流体附加质量系统
3.6拉格朗日方程
3.7总结练习
3.1 介绍
在这一章中，有两种方法可以推导出控制单自由度系统运动的方程。第一章的动量原理构成了一种方法的基础，包括力平衡和力矩平衡方法。第二种方法是基于拉格朗日方程，本章首先介绍了它，并在其余章节中广泛使用。根据控制方程中出现的参数，定义了固有频率和阻尼因子的表达式。在考虑单自由度系统的自由振荡时，在第4.2节中提出了固有频率和阻尼因子的全部物理意义。此外，系统稳定性也可以从系统参数进行评估，如第4.3节所述。
当得到控制方程的解析式或数值解时，可以确定系统各组成部分对系统对各种外部作用力和初始条件的响应的相对影响。还可以通过确定系统的传递函数(第5.3节)或系统的脉冲响应(第6.2节)来研究振动系统。在本章中，我们只会推导出各种系统的控制方程。然后，我们将在第四章和附录D中获得一般性解决方案，并在第4、5和6章中说明许多解决方案的应用和解释。
在本章中，我们将展示如何:
bull;利用力平衡和力矩平衡法获得单自由度平移和旋转系统的运动控制方程。
bull;利用拉格朗日方程获得单自由度平移和旋转系统的运动控制方程。
bull;确定单一自由度系统的等效质量、等效刚度和等效阻尼。
bull;确定系统的固有频率和阻尼因子。
3.2 力平衡和力矩平衡方法
在这一节中，我们说明了利用力平衡和力矩平衡方法来推导单自由度系统的运动方程，说明如何确定振动系统的静态平衡位置，并对一个系统平衡位置的“小”振幅振荡进行非线性系统的线性化。
3.2.1力平衡方法
考虑了线性动量的原理，这是牛顿第二运动定律。Eq.(1.11)所给出的动态平衡的表述被重新改写成形式
在系统上作用的净外力矢量，是被考虑系统的绝对线性动量，而上点表示对时间的导数。对于一个质量恒定的m系统，其质心以绝对加速度a运动，由线性动量和Eq. (3.1a)导出。
ma被称为惯性力。Eq. (3.1b)的解释是，作用于系统的外力和惯性力之和为零;也就是说，在外部和惯性的作用下，系统处于平衡状态。
弹簧-质量阻尼系统的垂直振动
在图3.1中显示了弹簧-质量阻尼器模型。以刚度k和阻尼系数c为粘性阻尼器的线性弹簧与惯性元件m并联，除第2章讨论的三种系统元素外，还考虑了外力的作用。我们想要得到一个方程来描述系统在竖直方向上的运动。为了推导出平移运动方程，采用了力平衡法。在获得图3.1系统的运动控制方程之前，我们选择了一组正交的单位向量i和j固定在一个惯性参考系中，以及一个具有X和Y轴的坐标系和一个固定的原点O。由于质量m只能沿j方向进行转换，所以力平衡只考虑沿这个方向。
如图3.1所示的弹簧的拉伸长度为L，那么质量就位于固定表面的位置，在这个位置，将很快被确定并解释。在确定后，运动方程将以位移变量x的形式展开，固定点O的质量位置矢量是由方程给出
图3.1显示了不同力的方向和大小。注意，惯性力也随惯性元件的自由体图显示。由于弹簧力是一种恢复力，阻尼力是一种阻力，他们阻碍运动，如图3.1所示。基于Eq. (3.1b)，我们可以沿着j方向进行力平衡，得到结果方程。
在使用Eq.(3.2)时，注意到L和sigma;是常量，并重新安排条件，Eq.(3.3)降低到以下标量微分方程
。
静力平衡位置
系统的静平衡位置是与系统的静止状态相对应的位置;这是一个零速度零加速度的位置。将含时间项f(t)消去，将Eq.(3.4)中的速度和加速度项设为零，我们发现静态平衡位置是解。
其中，xo由静态加载决定，xd(t)决定了静态位置的运动。因此，在将Eq. (c)替换为Eq. (b)并注意到xo与时间无关时，我们发现
xd(t)是方程的解。
这是关于静平衡位置振动的控制方程
例3.2鼓膜振动:非线性振荡和线性化系统。
在这个例子中，我们考虑一个用于研究耳鼓振荡的非线性振荡器。我们将确定该系统的静态平衡位置，并说明如何将控制非线性方程线性化，以研究局部的振荡，从而达到平衡位置。控制的非线性方程具有这种形式
鼓膜的恢复力具有二次非线性的分量。
静力平衡位置
注意到在这个问题中没有外部时间依赖的强迫项，并将加速项设为零，我们发现平衡位置x-xo是代数方程的解。
Eq. (b)的解为我们提供了两种静平衡位置，即:
线性化
接下来,我们用
加入Eq. (a)中，线性化非线性刚度项，使其在变量中处于平衡位置。为此，我们注意到这一点
除了
线性化系统的“小”振幅振荡在xo1=0使用Eqs.(e)和(f)在Eq. (a)中，并注意到xo=xo1=0，我们导出了线性方程。
线性化系统的“小”振幅振荡在xo1=-1使用Eqs.(e)和(f)在Eq. (a)中，并注意到xo=xo1=-1，我们导出了线性方程。
比较方程式.Eqs(g)和(h)，显然方程有不同的刚度项。
3.2.2力矩平衡的方法
对于单自由度系统进行旋转运动，如图3.3所示的系统，力矩平衡法在推导控制方程时是有用的。带有扭转刚度kt的轴与转动惯量JG的圆盘相连，绕着k方向旋转。外部力矩M(t)作用于圆盘上，它浸没在充满油的壳体中。让变量theta;圆盘的旋转，让轴的转动惯量与圆盘相比可以忽略不计。
应用Eq.(1.17)给出角动量的原理，得到了控制圆盘运动的方程。首先确定了圆盘的角动量H。由于圆盘是一个刚体在平面内旋转，所以Eq.(1.20)被用来描述圆盘的质心的角动量
因此，由于转动惯量JG和单位矢量k不随时间变化，Eq.(1.17)被重写为
其中M是作用于自由磁盘上的总外部力矩。根据图3.3所示的自由体图，也包括惯性矩，运动的控制方程为
在Eq.(3.12)中收集不同向量项的标量系数后，将其设为零，我们得到以下标量方程
Eq.(3.13)的形式与Eq.(3.8)相同，得到的是一个转化振动系统; 也就是说，左手边的第一项是由惯性元素JG决定的，左手边的第二项由阻尼元素ct确定，左边的第三项由刚度单元kt决定，右边包含外部压强M(t)，所有线性单自由度振动系统都由一个线性二阶常微分方程和惯性项控制，一个刚度项，一个阻尼项，和一个与系统外部施加压力有关的项。
示例3.3手生物力学
考虑图3.4中所示的X-Yplane中手的旋转运动。这个运动是所描述的角theta;。质量M的一个物体在手上，前臂有一个质量和长度l。如果我们用简化的模型来计算肌肉产生的力，二头肌
提供了一个力，其中kb是一个常量，三头肌提供了一个力，其中Kt是一个常数，而v是三头肌被拉伸的速度的大小。进一步假设前臂可以看作是一个均匀的刚性梁。得到了运动的控制非线性方程，并沿着例3.2的直线，将非线性系统线性化为系统平衡位置的“小”振荡。
图3.4系统的运动方程是通过对前臂中心或枢轴点O(肘)进行力矩平衡，如果枢轴点是一个固定点。假设轴心点是一个固定的点，Eq.(1.17)用于在点o上进行力矩平衡，这里，Eq.(1.17)采用形式
其中是前臂的转动惯量和手握的物体。由于重力的作用，净力矩M作用于点O，由于二头肌和肱三头肌的作用而产生的力
costheta;K
因此,从方程式。(a)和(b)，我们发现控制方程为形式
认识到
在Eq. (c)中收集所有向量项的标量系数，并将它们设为零，我们得到标量方程
在这个等式中，惯性项是由于前臂的旋转惯性和末端质量的旋转惯性，阻尼项是由于三头肌造成的，刚度项是由于二头肌导致的，并且由于 由于cos u项的存在使得方程为非线性的重力。 后一项影响系统的静态平衡位置和刚度，这种影响取决于u的大小.
静态平衡位置
注意到在Eq. (e)中缺少时间相关的外部力矩项，并将速度项和加速度项设为零，我们发现平衡位置是超越方程的解
关于静力平衡位置的“小”振荡的线性系统
我们现在考虑静力平衡位置的振荡，并展开式子中的角变量theta;(t)
用Eq. (e)中的非线性项来进行线性化。为了做到这一点，我们在这一项中进行泰勒级数展开，并只保留线性项
求theta;(t)的时间导数，我们发现
将Eqs.(i)和(h)代入Eq. (e)并利用Eq. (f)，我们得到了关于系统平衡位置的前臂的“小”振荡的运动的线性方程:
在这个条件下
指出线性化系统的“线性”刚度受重力载荷的影响，这是由第二项在ke中反映出来的。
3.3 自然频率和阻尼因子
在这一节中，我们定义了振动系统的固有频率和阻尼因子，并探讨了这些量如何依赖于不同的系统特性。这些量在没有显式地确定系统的解的情况下被讨论. 它们只是系统惯量、刚度和阻尼参数的函数，独立于系统的外部时间依赖强迫。以Eqs(3.8)和(3.13)为代表的振动系统响应的解。在第4至第6章中讨论，可以用系统阻尼因子来描述。
3.3.1固有频率
转化振动：自然频率
对于单自由度系统的平移振动，定义了系统的固有频率
k是系统的刚度，m是系统质量。数量fn，也被称为固有频率，它的单位是Hz。对于图3.1所示的配置，振动系统呈现垂直振荡。对于这样的振荡，我们使用了Eq.(3.6)和Eq.(3.14)和获取
在这里是系统的静态偏差
旋转振动:固有频率
与单自由度系统的平移运动固有频率的定义类似，定义了旋转运动的固有频率
其中kt是系统的扭转刚度J是系统的惯性矩
无阻尼自由振荡周期
无阻尼自由振荡周期
对于非强迫和无阻尼系统，系统的自由振荡周期由
因此，增加固有频率会减少周期，反之亦然
在下面的例子中，我们展示了如何使用静力位移来确定单个自由度系统的自然频率
示例3.4机器系统静态偏转的固有频率
对于机械安装的特殊选择，一件机器的静态挠度是被确定在 对于另外两种机械安装的选择，这种偏转是被确定在和。基于静态偏差，我们将确定三种机械装置的垂直振动的固有频率。为此，我们使用了Eq.(3.15)。注意到重力加速度g=9.81m/. 我们得到以下三个机械装置的固有频率:
例3.5人腿胫骨骨的静态偏转和固有频率
考虑一个体重100公斤的人站着。我们将确定胫骨骨的静态挠度和轴向振动固有频率的估计。胫骨的长度为40厘米，被建模为直径2.4厘米，外径为3.4厘米的空心管。杨氏骨材料弹性模量为。采用Eq.(3.6)和Eq.(3.15)来确定静态偏转，以确定固有频率。我们假设两条腿的重量都是相等的，所以胫骨支撑的重量是
为了确定胫骨的刚度k，我们用例1的表2.3来获得
因此,从Eqs (3.6)，(a)和(b)，静态偏转由
从Eqs(3.15)和(c)固有频率
例3.6系统具有恒定的固有频率
在许多实际情况下，不同的机械零件被用于单弹簧安装系统。在这种情况下，系统固有频率对于不同的机械系统组合是恒定的;也就是说，我们正在寻找一个系统，它的固有频率不会随着系统质量的改变而改变。通过这个例子，我们研究了弹簧安装系统是如何在实践中设计和讨论这个弹簧的实现的。从Eq.(3.14)可以看出，自然频率取决于系统的质量。为了实现恒定固有频率的理想目标，无论系统重量如何，我们需要一个等效弹簧常数的非线性弹簧
其中a是常数，重量是W mg, g是重力常数。然后,从方程式(3.15)和(a)我们得到
由此可见，无论质量如何，固有频率都是恒定的。
非线性弹簧安装
当橡胶圆柱管的侧壁被压缩到非线性区域时，该系统的等效弹簧刚度近似于Eq. (a)所给出的特性。为了便于说明，考虑一个具有一般力-位移关系的弹簧有
a和b是尺度因子，c是形状因子。注意，对于一种重量为W的机器，使用Eq. (c)来确定静态偏转xo。
对于xo的“小”振幅振动，这个弹簧的线性等效刚度由Eqs(c)和
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