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用有限元法估算穿孔滤波器的声传输损耗
D.P. Jena，S.N. Panigrahi
摘要
有限元方法在估计无源反应声滤波器的声传输损耗（TL）方面已经很成熟。然而，从已建立的经验模型导出的声阻抗被用于模拟这些声学滤波器中存在的穿孔元件。这样的经验模型已经建立了，其具有已知的限制，例如位置，形状，尺寸，取向和穿孔的均匀性。在目前的工作中，频域中的有限元分析已经被证明可以规避这种经验模型在估计在零平均流动条件下具有穿孔元件的反应滤波器的声学TL的必要性。为了实现这一目标，基于三极测量的模拟已经进行了，其完全重复了实验传输损耗管测试设置。模拟无回声终端执行三极测量和相关复杂性的必要性已得到解决。用于估计多孔板的声学TL的期望网格的约束已经量化了。通过分析具有各种形状的穿孔部件的反应声学滤波器，已经利用所提出的方法的优势。此外，还考虑了分析具有外部穿孔的反应性过滤器的挑战。为了模拟面向大气的射孔，提出了附加穿孔的非反射边界的附加区域或体积。所提出的方法已通过评估具有泄漏和穿孔管的亥姆霍兹共振器的TL来验证。综上所述，提出基于有限元的三杆方法可用于任意形状和大小的穿孔元件和无源滤波器与穿孔元件尺寸的声学分析。
关键词
穿孔板 无功滤波器 有限元法（FEM） 谐波分析 传输损失（TL） 转移矩阵
1介绍
穿孔滤波器是滤波器的反应型和吸收型滤波器之间的折中方案，在通用滤波器设计中起着非常重要的作用。因此，这种滤波器的透射系数的精确估计是设计过程中不可缺少的部分。到目前为止，穿孔元件的声阻抗通过经验或分析与许多假设近似，并用于评估这种滤波器的性能。忽视经验模型或分析解决方案中涉及的限制变得越来越困难。
在过去的三十年中，已经引入了许多经验和分析模型来估计穿孔滤波器元件的等效声阻抗和相应的声学TL [1-9]。近年来，有限元法（FEM）和边界元法（BEM）已经在滤波器的声学TL预测中得到了很好的应用[1]。从工业角度来看，市场上可买到的基于FEM或BEM的软件使研究人员能够设计复杂的声学过滤器。许多研究人员采用了ABAQUSreg;，SYSNOISEreg;和VNOISEreg;等多种软件来估计过滤器的声学TL [2-5]。尽管如此，经验或分析导出的等效声阻抗已被用于这些软件中以模拟穿孔元件。已经建立了这样的经验模型，具有已知的限制，例如位置，形状，大小，方向和均匀性。
在本文中，频域有限元分析已被证明可以规避经验模型在估计零均值流动条件下多孔无功滤波器的声学TL的必要性。其中一种商业上可用的基于FEM的软件，ANSYSreg;已被用于此目的。已经讨论了涉及的各种问题以及仿真所需的预防措施。已经详细论证了适当元素类型的选择，有限元素质量的相应要求及其对结果精度的影响。
本节介绍之后，第2节解释声学分析的有限元模型的理论基础。在第3节进行了基准声学分析。第4节对穿孔板的声学性能进行了评估。在第5节中，很少有复杂的多孔过滤器被分析。第6部分分析了外部穿孔的反应过滤器。最后一节总结了本次演习的一些重要观察。
2声学分析的有限元模型
在我们的语境中，声学分析基于假设，例如封闭的流体体积，其是可压缩的，粘性的，没有平均流量并具有均匀的平均密度和压力。与此一起，外壳壁被认为是理想的刚性。基于上述假设，声波方程可写为：
, (1)
其中c是介质中的声速，p是声压，t是时间和是拉普拉斯算子[6]。由于忽略了粘性耗散，上述表达式也被认为是声传播的无损波动方程。然后，为了一个小的压力变化,,在有限的流体体积上，波动方程可以用积分形式表示为：
, (2)
其中，矩阵运算符可以定义为：
(3)
在上面的等式中，V是流体域的体积，S是施加垂直于表面的压力导数的表面，并且是垂直于曲面S的单位矢量[7]。
在模拟流体 - 结构相互作用问题时，表面S被视为流体 - 固体界面。流体的正常压力梯度和流体 - 结构界面S处的结构的法向加速度可以表示为：
, (4)
其中是界面处结构的位移矢量。现在，等式（4）可以改写为[8]：
(5)
在有限元建模中，使用单元形状函数，，用于压力，元件形状功能，，位移和节点压力矢量，二阶导数可以表示为：
(6)
(7)
其中和。现在，离散波动方程可以用矩阵符号表示为：
, (8)
其中,
(9)
(10)
(11)
这里，,分别是声学流体质量矩阵，声学流体刚度矩阵和声学流体耦合矩阵。假设时间谐波输入，，等式（1）可以重写为：
, (12)
其中是波数,是角频率（）。
3标杆
一般来说，有限元分析是在实验调查不可行的时候采用的。它们主要用于组件的设计阶段。在目前的工作中，有限元方法已被用于穿孔滤波器的声学分析。为了建立对声学TL估算过程的信心，基准测试是非常不可或缺的。在尝试使用声学滤波器之前，两个基准测试问题已经尝试了。
3.1封闭管的声阻抗
作为第一个基准问题，已经模拟了刚性终端的阻抗，如图1所示。已经确定的是，在阻抗管设置中，声学反射系数lsquo;rsquo;任何终端使用双麦克风方法（塞伯特方法）可以从下面的公式确定[9]：
(13)
其中lsquo;Lrsquo;是从采样脸到第一个麦克风的距离,lsquo;Srsquo;是两个麦克风之间的距离，lsquo;krsquo;是波数。是第一个麦克风之间的传递函数（）和第二个麦克风（），如图1所示。此外，理论归一化阻抗，,就反射系数而言长度为L的闭合管，，可以写成：
. (14)
为了以数值方式估计反应声阻抗，已经创建了类似的3D有限元网格并且已经在图2（b）中示出。目前数值实验中阻抗管设置的完整复制已经尝试过。已经研究了与使用有限元方法的声学分析相关的各种问题，例如模拟刚性结束条件，元件质量的影响以及管的长度。在位置a处施加了声压。位置lsquo;brsquo;和lsquo;crsquo;表示两个麦克风位置，从lsquo;crsquo;到lsquo;ersquo;的管长度是腔长度[10]。从图中可以看出，为了模拟实际的实验装置，声腔已经被金属板（在图中用e和f标记）终止。
图1.具有刚性端接端子的阻抗管测试设置原理图。
在目前的调查中，谐波分析已经从10Hz到4kHz，步长为20Hz。FLUID-30元素是一种八节点元素，已用于所有声学分析。该元素具有三个输入参数，即材料的密度，材料中的声速以及边界导纳。介质的密度和相应的声速分别定义为1.225和343（它们对应于温度为293K的空气介质 ）。墙壁被认为是完全反射性的。声压幅度为10 Pa已经应用在入口表面（节点负载）上以模拟输入声压级。在两个麦克风位置（位置b和c）的节点解决方案的声压已用于方程 （13）和（14）来评估作为频率函数的气腔的归一化阻抗。
图2.刚性端接阻抗管的有限元模型；（a）具有刚性端的阻抗管的三维模型，（b）相应的有限元离散化，（c）具有刚性端的阻抗管的三维模型，以及（d）相应的有限元离散化。
作为第一步，为了模拟金属板端接，阻抗管的出口被定义为壁或刚性边界，如图2（c）所示。如果没有应用附加边界条件，该软件会默认所有外表面为刚性。这样计算的归一化阻抗已经与图3（a）中的分析和实验结果一起绘制出来。数值结果与误差可忽略的分析和实验结果一致。
然后，为了复制该设置的实际金属板，使用SOLID-185元件对金属端进行建模。如前所述，FLUID-30元件已被用于模拟具有结构呈现选项的声学腔。图2（b）显示了相应的有限元模型。流体结构界面在元件与所讨论的适当选项一起使用时由软件自动识别。随后，正如前面讨论过的那样，对归一化阻抗进行了评估，并与分析和实验结果重叠，如图3（b）所示。在这项研究中，数值结果与分析和实验结果吻合，误差可忽略不计。
图3.将实验结果与解析解进行比较，评估长度为0.2m的声腔的声阻抗；（a）模拟刚性壁面边界条件和（b）使用流体结构相互作用模拟刚性终结器。
接下来，为了减少计算开销，通过引入输出阻抗来模拟刚性末端终端。相应的有限元模型如图2（d）所示。另外的边界条件，即声阻抗（节点负荷）已经应用在出口边界表面节点上。已经针对不同阻抗值例如1e 3,1.5e 3,1e 4和1e 5顺序地研究了仿真。图4（b）显示了相应的气腔归一化阻抗。在这些分析中，数值结果符合分析和实验结果充分与可忽略的阻抗值误差（⩾1e 4）。从上面的分析可以得出结论，金属刚性终端可以通过应用高声阻抗来模拟，如（gt;1e 4）在边界上或通过使用流体结构相互作用。最简单的解决方案可以通过将刚性端接端子建模为刚性壁来实现。
现在，关于元素质量的分析质量的变化已经通过遵循网格独立研究进行了研究。为了理解元素大小的要求，我们考虑了元素的不同层次的细化。对于图2（c）中所示的几何形状，最小波长与最大元件长度的比率lsquo;Rrsquo;已被取为10,15,20和25。图4（a）显示了FE分析得到的相应的气腔归一化阻抗。在这些分析中，数值结果与分析和实验结果完全吻合，误差可忽略不计（对于R⩾10）。由于计算开销与元素数量成正比，因此在随后的分析中，R的值已被认为是10。
已经进行了后续分析以理解具有平面波传播的几何要求。为了理解，阻抗管的初始长度（位置a到b）已被修改。分析中考虑了三种不同的长度，其相应的估算归一化阻抗如图4（c）所示。从图中可以得出，频域模拟中不需要阻抗管的初始长度（用于平面波展开[10]）。
图4.评估模拟参数；（a）单元质量对数值解的影响，（b）声阻抗在模拟刚性终端时的影响，（c）初始管道长度（几何）对平面波模拟的影响。
从以上分析可以看出，有限元分析的潜力得到了充分肯定。到目前为止，已经证明了声阻抗的充分估计和刚性端接的模拟。像声阻抗一样，声传输损耗（TL）也是设计消声器或声滤波器时非常需要的重要参数。为了估计声学TL，遵循三极法，首先需要仿真消声终止，这将在后面的章节中讨论。
3.2简单膨胀室（SEC）的声学TL
传输损耗是入射和传播声波比率的一种度量，并假设消声终止。为了在这种假设下估算TL，已经使用了三点法（三极技术）[11,4]。原则上，反应声学元件反射一些量的入射声波并传输其余声波。在三极法中，两个麦克风放置在声学元件之前，一个在元件之后使用，如图5（a）所示。假定没有波从出口反射。在这个假设下，发射的声功率，可以通过测量出口处的声压而容易地获得。然而，在存在来自声学元件的声音反射的情况下测量入射声功率并不那么直接。因此，这两个麦克风用于分解事件和反射事件的贡献。
三极法的数值模拟可以采用谐波分析技术在频域进行。通过这种方式，可以利用单个数值解来估算具有离散频率步长的频率范围的TL。在入口和出口表面上分别需要均匀声压和特征声阻抗的边界条件。从有限元分析（谐波），任意点的提取声压（，和 ）携带该点处所有定义的离散频率的振幅和相位信息。
图5.基准声学TL估计：（a）简单膨胀室（SEC）的3D模型，和（b）SEC的有限元模型（膨胀室直径和长度：104mm，275mm，入口=出口直径和长度：30mm，100mm）。
在数学上，使用来自两点的复杂声压级和,入射压力可以计算为：
(15)
使用入射压力和传递复杂声压可以使用以下等式来计算TL：
(16)
其中和分别是入口管和出口管的横截面积。
在第二个基准问题中，评估了简单膨胀室（SEC）的声学TL。简单膨胀室的3D模型和相应的FE网格分别如图5（b和c）所示。元素质量和材料属性保持与前面定义的相同。入口表面（节点负载）施加了10Pa的声压幅度以模拟输入声场。在出口表面上，特征声阻抗（）已被
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