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用约束网络优化设计零件公差
Christopher C. Yanga,*, V.N. Achutha Naikana,b
a香港中文大学系统工程与工程管理系，香港沙田，中国
b印度理工学院工业工程与管理系，克勒格布尔，印度
摘要
本文提出了一种有效的算法，用于在组件的各个部件之间实现公差的最佳分配，以便在满足组件公差规格的同时最小化制造总成本。该程序集首先通过描述其功能，属性和实体来表示为双层约束网络。执行实体公差的前向传播以查看当前公差是否满足装配公差。执行向后传播（BP）以找出任何装配功能容差的增量变化与相关属性和实体的增量变化的依赖关系。优化问题的约束条件是从装配的约束网络的两阶段BP获得所需的公差。优化问题的目标函数是作为具有所需公差的单个实体的制造成本的代数总和而获得的。然后应用拉格朗日乘子法来获得实体或部件的最佳容差。这个算法将提供一个精确的封闭形式的解决方案。提供示例用于说明该算法。
关键词：公差设计; 公差分析; 容差综合; 区间约束网络; 制造成本
符号
实体，属性和装配函数
分别为实体，属性和装配函数的公差
给出第n个函数的公差上限
分别为汇编函数，属性和实体的索引
分别为函数，属性和实体的总数
拉格朗日乘子
函数的传播值
所需的功能值
传播Fi的标称值，上限值和下限值
Fi所需的标称值，上限值和下限值
前向传播后满意函数，属性和实体的索引
索引冗余约束
拉格朗日函数
代表函数关系，例如，
1.引言
由于实际上不可能精确地制造具有所需尺寸的部件，因此所有设计尺寸均具有指定的公差。在大多数情况下，名义尺寸两侧的公差有同等规定。与更宽的公差带相比，制造具有窄公差带的部件是困难的。制造窄公差带的部件需要更好的材料，机床，控制装置，工人技能，额外的加工时间，测量工具和管理参与。与制造宽公差带的部件相比成本也会更高。宽公差带的制造将会更便宜，但在质量检查，装配和操作过程中会有更多问题。此外，由具有较宽公差的部件获得的组件的公差可能不符合所需的功能规格。因此，设计一种方法来将组件级函数公差分配到部件级制造公差，从而使组件的总制造成本最小化。本文提出了一种算法来优化元件或实体间的公差分配。分层间隔约束网络（ICN）的基本原理已被用于公差分析，然后用于推导优化问题的必要约束，最后消除冗余约束。优化问题的目标函数是最小化组件的总制造成本。这个功能是从每个实体的制造成本函数中获得的。已找到可用的文献为找到实体的成本公差关系作必要参考。已经给出了一个说明性的例子来支持所提出的算法。
1.1. 有关公差设计的研究
公差设计一直是许多技术的重点。 这些技术包括公差计算，最坏情况分析，统计分析，设计优化和基于约束的推理。 其中许多限于分析或综合; 只有少数适用于分析和综合。它们中的大多数把公差之间的非线性关系近似于可以更简单的计算和优化的线性关系。通过这种近似，公差关系的一些基本特征常常会丢失。
公差计算已经在几种常见设计情况下进行了探索。例如，Foster（1983年）和Spotts（1983年）已经开发了用于计算尺寸位置公差的公式，以实现配合部件之间圆柱形配合的分类和等级要求。但是，在公差计算中不考虑优化。另外，每个设计都需要新的公式。Turner等人利用GEOS（在Rensselaer设计研究中心开发的自动化公差分析软件包）（Guilford等人，1992年; Turner，1987年）对工业装配进行了最坏情况下的公差分析。最坏情况下的公差分析决定了公差允许的任何可能变化下设计函数的极限值。 Fortini（1967年）提出了一个线性设计方程的最坏情况公差综合，方程中假定设计变量和公差变量的极限，用于获得剩余公差变量的总体极限。
Fortini（1967年）还提出了一个统计公差分析，使用假定的公差变量的概率分布和一个线性设计方程推导设计变量的概率分布。Parkinson（1982年，1984年，1985年）利用概率方法优化尺寸公差，使得在给定制造成本的情况下，组件达不到规格在可接受的低风险范围内。 极限状态方程用于表示装配尺寸之间的关系。 这些极限状态方程由等价线性方程代替。
Hoffmann（1982年）将线性不等式系统的公差分析和加工不准确性降低了。然后通过线性编程获得部件之间所得到的公差的计算结果。 Michael和Siddall（1981年,1982年）利用材料成本最小化作为优化准则，通过非线性优化开发了制造公差的最优分配。这些作者还开发了具有完全可接受性的生产过程优化技术（Michael和Siddall，1981年），并考虑到系统废品百分比（低于完全可接受性）（Michael和Siddall，1982年）。 Ostwald和Huang（1977年）采用离散和0-1变量的线性规划来优化几个制造过程中每个独立基本维度的设计公差。 Spotts（1973年）推导出一个公式来计算允许装配成本最小的公差。该公式基于成本函数导出，该成本函数与公差的平方成反比。 Cagan和Kurfess（1992年）利用模拟退火方法来分配公差和制造过程以获得最低成本。算法中的成本函数基于机器的小时成本和过程的生产时间。Speckhart（1972年）开发了一种分析方法来分配最佳的公差，这可以保证设备符合统计合适的基准或确定合适的基准，并将制造成本降至最低。成本函数是由使用成本公差数据的非线性最小二乘曲线拟合程序确定的指数函数。除了Speckhart（1972年）提出的制造成本函数之外，Krishnaswami和Mayne（1994年）利用质量损失函数来优化公差分配。质量损失函数与尺寸公差的平方成反比。 Soderberg（1994年）通过优化质量和制造成本提出了公差分配，客户的全部损失计算为功能损失和组件价格的总和。
Lu和Wilhelm（1991年），Sutherland和Roth（1975年）提出了一种公差综合方法CASCADE-T，它使用了零件特征之间存在的条件公差关系表示。 条件公差是根据功能要求和形状参数自动确定的，约束传播网络用于公差计算，但是公差会以随机顺序传播。 该技术对于公差分析和综合非常有用，但无法寻找最佳解决方案。
1.2. 有关区间约束的研究
约束满足问题（CSPs）通常在AI任务中制定。 在CSPs中，值被分配给受限于一组约束的变量，约束规范表示变量之间的关系。约束网络是由节点和弧组成的结构，节点表示变量或约束，弧线表示变量和约束之间的关系。这些变量用间隔或一组可能的值标记，约束条件包括任何类型的数学运算或二元关系，利用约束传播来执行关于数量的推论。对于CSPs中不同类型的变量和满足度的定义，可以制定不同的传播技术。对于公差设计，这些变量用间隔标记，约束是n元数学运算。
Dechter和Pearl（1988年,1989年）提出了一种生成启发式建议的方法，该方法基于约束网络中的稀疏性和树状结构CSPs的简单性来指导赋值的顺序。 利用回溯搜索算法来搜索一个或所有解决方案，该解决方案将值分配给满足所有约束的每个变量。Mackworth和Freuder（1985年）分析了CSPs中几种节点，弧和路径一致性算法的时间复杂度。Dechter和Pearl以及Mackworth和Freduer所考虑的变量的领域是离散的有限集合，而不是实际的区间。
Ladkin和Reinefeld（1992年）开发了一种解决定性区间约束问题的技术。约束是区间上的二元关系而不是区间上的n元数学运算。Davis（1987年）和Hyvonen（1992年）的研究与我们的关系最密切。它们的区间约束满足问题（ICSPs）中的约束是n元数学运算，并且区间是实值区间。戴维斯（1987）采用Waltz滤波算法来筛选来自变量域的不可能值以解决ICSP问题。然而，Waltz滤波算法通常不能确定全局解。 Hyvonen（1992）使用公差传播方法，将基于约束网络拓扑的一致性技术与区间算法技术相结合来解决ICSPs问题。虽然这种方法能够确定ICSPs的全局解决方案，但它对于约束网络的一致性和满足度的定义并不适用于机械零件的公差合成和分析问题。 Hyvonen技术的目的是尽可能地改善约束网络中任何变量的区间，而不会损失约束的可能精确解，不管变量是输入变量还是区间约束函数的输出变量。然而，在公差分析和设计中，希望使用输入区间和区间约束函数将计算的区间作为约束网络中每个约束的分配输出区间的子集。约束一致性和ICN满足度的定义将在2.1节中给出。
- 约束网络和公差设计
约束网络是一个双重变量函数CN（V，C），其中V表示变量集合{V1; V2; ...; Vn}，C表示约束集合{C1; C2; ...; Cm}。约束网络中的节点代表变量或约束，约束网络中的弧表示变量与约束之间的关系。
分层ICN可以用来表示最高（装配）水平的功能需求与公差设计问题中任何装配的最底层实体之间的关系（Yang等人，1997年，2000年）。功能要求描述了设计的功能和满足这些功能的要求，通过考虑顾客反馈和市场需求等各种因素来决定。组件的每个功能需求都可以表示为多个属性的数学表达式（函数）。例如，圆柱形容器的体积是容器的内半径和有效内部高度的函数，这里体积是功能要求，而内径和高度是属性。属性也可以描述为相关零件实体的机械尺寸的函数。例如，圆柱的内半径可以表示为外半径和径向厚度的函数。类似地，总高度，底壁厚度和圆柱腿高度是属性内部高度的实体。这些关系可以在约束网络中表示，用于公差分析和综合。图1展示了一个ICN。
基于区间算法推导区间约束函数，区间算术是实数算术的扩展，它处理的是闭区间，表示。给定一个算术运算，的定义为
。
图1 用ICN表示组件（箭头方向表示向前传播，相反方向是向后传播）
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- ICN公差设计的一致性
Yang等人（1997年,2000年）定义了ICN公差设计的要求如下：在公差设计的约束网络中，约束函数是一个多重/单一输入和单一输出，并表示为一个三重变量函数，，是输入变量的一组索引，是约束的输出变量的索引，是约束函数。以下是两个定义：
a . 当且仅当满足时，约束是一致的。
b . 只要所有的约束条件都一致，ICN公差设计就可以满足。
这些关于约束一致性的定义确保分配给实体的公差满足组件功能公差的要求。换句话说，基于输入公差和一致性约束的函数需求的计算公差将是实际函数公差需求的一个子集。
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- 公差传播
执行公差传播以更新网络中的区间（公差）以使区间约束一致。 公差传播有两种类型，即前向传播（FP）和后向传播（BP）。 在FP中，输入变量的公差通过约束传播以获得输出变量的公差。FP将检测网络中各种约束的一致性，这就是所谓的公差分析。另一方面，在BP中，输出变量的公差通过约束表达式传播，以将其分配到多个输入变量中（使得约束一致），这被称为公差综合。Yang等人（1997年，2000年）提供了FP和BP算法，但没有考虑制造成本。FP如下：
FP为约束，
从输入公差传播到输出公差的上限
其中 如果相对于单调递增；
如果相对于单调递减；
从输入公差传播到输出公差的下限
其中 如果相对于单调递增；
如果相对于单调递减；
在本文中，执行FP是为了验证组件的任何函数公差是否已经被实体的自然公差（在当前工艺条件下的容易获得的和最经济的公差）所满足。这将给我们一个选择，从进一步的BP中消除已经满足的函数公差要求和相应的实体（不影响其他函数要求），或者将它们保留用于BP。前一个选择可以减少模型的维数，因此更容易解决。接受第一种方案在逻辑上也是正确的，因为自然公差是任何实体最经济的公差。通过实体的名义尺寸和自然公差带执行FP，在BP中，函数需求的公差通过约束函数以代数方式传播，以导出公差的代数函数（如图所示在4.1节的步骤2和步骤3中），这些函数将把装配函数公差与实体公差的增量联系起来。这在接下来的章节中进一步阐明。
- 制造成本和公差
正如在前面所讨论的，当我们减小公差带时，制造成本会增加。在文献中已经提出了将制造成本与所需公差相关联的几种模型，其表示为公差的函数。这些包括线性模型，倒数模型（制造成本与容差的倒数成正比）（Chase and Greenwood，1988年），倒数平方模型（Spotts，1973年），倒数幂模型（Sutherland和Roth，1975年），指数模型（Speckhart，1972年）和指数-倒数幂组合模型（Michael和Siddall，1981年，1982年）等。虽然所有这些模型都是经验性的，并且都是基于经验，但我们注意到，倒数平方和指数模型比其他模型更频繁地使用。Chen（2001年）提出了一种使用神经网络推导成本公差关系的算法，该文提出的算法可以处理任何形式的成本模型。在说明性的例子中，我们使用了成本函
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