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非线性反步法船舶航向控制器
摘要
航向控制是船舶控制的重要组成部分，它具有静态条件下的非线性功能的特性。其中，设计船舶航向非线性控制器所使用的控制方法包括反步法。反步法同时适用于两类不同的非线性控制器，该技术被广泛地运用于控制船舶航向上。在该类控制器的设计阶段，考虑到动力学的同时，利用控制齿轮的转动进而进行调控。反馈获得的非线性控制参数在控制过程中被优化至匹配控制系统的最佳值。在该参数值最优化的过程中利用了遗传算法及其相应的技术手段完成优化过程。船舶航向控制算法质量由油船的数学模型进行仿真实验检测。实验所获得的仿真结果与利用比例微分控制器所获得的仿真控制结果进行比较。
关键词：反步法，遗传算法，海船控制，非线性控制，参数调整
介绍
在近十年至二十年间，大量的利用非线性动力学所设计的新型方法被发明出来，这些方法通常是利用了递归，比如反步法或者递推法，甚至是结合了反步法和递推法的综合性方法。反步法和递推法的核心在于找到一种能够稳定总体控制系统的分析方法，但这都依赖于李亚普洛夫功能理论。
利用反步法设计非线性控制系统的设计思路可以回溯到二十世纪八十年代，九十年代。科克托维奇和雅克曾经发表过关于该思路的细节清单与问题总览。反步法是指直接基于研究系统的数学模型，将介入变量以状态变量的形式参与控制相关的参数和稳定性。线性反馈分析法是另一种分析方式，通常被用于消除系统中的非线性特征。对于任何已有的控制系统，利用反步法可以使得系统的非线性特性被反映在控制系统中，进而利用其他方法消除其非线性特性。但是这一种方式的局限性在于仅能够消除系统的非线性特征。通过反步法能够保证总体的稳定性，而对于线性化的反馈而言仅能够保证局部上的稳定性。
在现有的海洋技术当中，与反步法相关的技术反复地被使用在控制船舶航向以保证船舶稳定性这样的场景中。佛森于1999年发表了一篇关于反步法在机械系统中的实践应用和与船舶控制的实践应用的论文。
实际情况表明，利用反步法进行海洋装备的大量实践存在大量的待求解决的问题。其中的一个问题就是结构问题，这需要利用参数对稳定性进行验证并依次提出解决方案。为获得算法质量最优的非线性航向控制器，不得不对控制器的相关参数进行调整。现有的设计控制器的方法依赖于反步法，同时需要对传统方法进行最优化处理。传统的方法依赖于对里卡蒂方程和二次方程的求解，或者利用实验对相关参数进行调整。
在现有已发表的文章当中能够发现，神经网络算法能够解决非线性系统的稳定性问题。利用反步法可以使得评估者更加容易地进行对非线性功能的评估工作，同时利用反步法的优点还有在设计控制规则时并不需要考虑线性参数。
这篇论文将呈现出利用遗传算法的船舶航向控制器做出自动最优化控制的全过程。遗传算法依赖于利用仿真评估的迭代结果。利用多重系统的油船的运动控制主要是利用反步法和遗传算法，并通过设置目标轨迹来完成其控制目的。对于控制船舶航向，多重控制系统的内部循环控制是至关重要的，反步法船舶航向控制器即利用了该内部循环对船舶航向进行控制。对于系统外部循环而言，控制器需要设置轨迹追踪以调节相关的参数，从而完成航向控制的目标任务。其中，PD控制器（PD控制器是指比例微分控制器）和反步法控制器的控制效果可以通过仿真实验结果进行对比得到。
船舶模型
从几何学上定义船舶的运动系统，其中利用（X，Y）系统来描述船舶的自身运动，如图1所示。文中已知的控制系统的目的均被设置为控制船舶航向。在船舶系统中，船舶航向是因变量，舵角参数是自变量。用于描述船舶动态特性的方程均从牛顿运动定律推导所得。对于远航距船舶（如油轮）假定船舶的横向移动可以被忽视。
图1 船舶运动联合系统
2.1运动学
船舶位置（X，Y）和船舶偏离角度均被表示在坐标系统当中，可以表示的参数有：横摇、纵摇和偏离速度。
2.2动力学
据阿斯特罗姆和维特马克描述，现有的关于船舶动态特性的数学模型的研究均是通过研究油船模型所获得的，该数学模型利用三阶多元方程进行描述，被称为本池和温格模型。该模型可被用于评估已设置的控制算法的质量，可以更简单和高度精确地模拟并绘制出用于描述船速和舵角的图形。模型方程如下所示：
H是关于舵角和偏离角的函数，图形的弯曲形状可用来表示实验结果。H的名称是指螺旋测试。文中的油船模型可以用下列方程组表示：
u是船舶的纵向速度，单位m/s，L是船舶的长度，单位m。
本文主要研究油船的两种负载状态。第一种状态是指船舶承受压载物且船舶没有液体货物的状态。在第一种状态下，压载舱需装满水，此时模型可以取值：K0=5.88, T20=0.45, T30=1.43。油船运行的第二种状态是指油船完全负载且装运液体，被称为全负载状态，其中模型参数取值：K0=0.83, T10=-2.88, T20=0.38, T30=1.07。其中该模型的速度u=5 (m/s)。油轮的长度L=350m。
船舶动力模型的控制装置的图解如表2所示.输入信号通过自动行驶装置传送至控制器，利用舵角度模型输出当前舵角的数值，即输出信号为当前舵角度数值。对于大多数船舶，舵角和舵角速度的变化值限制在一定的数值范围内。
图2 控制系统封闭范式
一般情况下，控制刀片从移动位置到目标位置需要至少30秒。在现有的研究中，当舵运行在线性特定区域时，舵移动的最大速度被限制在6（deg/s）。 最大的舵角为35（deg）。在这种情况下，表示控制装置动力特性的公式如下所示：
此时，TR=153(s)，KR=96(deg).
非线性控制器设计
在利用反步法进行设计非线性船舶航向控制器（非线性控制器）时，可以将设计的控制器分为A型和B型。对于利用A型控制器所得到的非线性控制规则，需要指出的是该控制装置的动态特性被忽略不计，其控制算法考虑了三个相关参数。在B型控制器中，控制算法考虑到装置的动态特性，其控制算法考虑了四个相关参数。
利用反步法设计控制算法，将非线性微分方程描述成以下方程组：
此中，X1是船速，X2是角速度，X3是加速度，u是自变量.
3.1A型控制器
第一步：
反步法计算过程的第一步是引入新的状态变量。其中，第一个实际变量为控制误差值z1，公式如下所示：
第二个实际变量为z2，公式如下所示：
第三个实际变量为z3，指向加速度，公式如下所示：
此时，a1和a2具有稳定的函数关系且被代入到对应的公式。在对时间的微分后，我们从关系式(5),(7)可以得到：
第一李亚普洛夫公式可以表述为：
求解(9)可以得到李亚普洛夫第一公式的衍生公式：
从关系式(11)中，利用实际控制量a1可以推导出
将(12)变形可以推导出
比较(10),(14)可以推导出第一子系统的动力学公式。
第二步：
第二个变量的衍生公式由(7),(5),(8)所得：
此中，a1能够在(13),(15)的基础上得出，
李亚普洛夫第二公式和它的衍生公式可以采取以下形式表示：
将(16)带入(19)，我们可以得到：
将（21）带入（16），可以得到：
时间公式(24)基于公式(21),(17)可以被表示为：
第三步：
动力方程(25)对于第三子系统从(8)和当前状态变量方程(5)中获得。
李亚普洛夫公式与第三子系统的表达式：
由公式(27)所获的衍生公式：
在李亚普洛夫第三公式衍生公式(26)中，
替换括号中的式子可以得到：
从中可以获得一个对于u的稳定的规则：
其中，控制参数k1，k2，k3gt;0
在以上的过程中控制u，李亚普洛夫公式是清晰定义的，同时它的衍生公式对于每一个变量有消极的影响，z1，z2，z3不为0.将该公式乘上衍生参数V3可以得到最后的形式。
公式的展开受到部分参数的局限，没有考虑非线性控制器的影响，即控制装置自身的影响。
3.2B型控制器
对于B型，船舶的数字模型由控制装置动态方程(4)补充，如下状态方程所示：
此处，x4是设置舵角，u是控制输入量。对于一个被(4),(31)所描述的物体，可以利用与A型控制器相同的参数数据。主要的不同在于计算过程的第四步，其中有一个新变量被引入计算过程。第四个新引入的变量是z4，其中a3是第二稳定函数。其次，船舶的控制规则和控制装置可表述为：
其中，控制参数k1，k2，k3，k4gt;0
3.3PD线性控制器
为了比较反步法对控制装置效果的影响程度，因此设置PD控制装置进行对照试验。公式可以如下表述：
此时，控制参数KP和KD。信号是航向误差。
遗传算法
对于得出控制规则(29)的优化参数的过程，非线性控制器(30)和PD控制器(34)均通过使用遗传算法进行控制调整船舶航向参数。遗传算法的应用过程如下所示：
步骤一：创建初始参数
为了创建初始参数，可以利用染色体进行编码工作。染色体的长度取决于被编辑的染色体数量、最大值和最小值，以及准确度n。公式如下所示：
此处的n是有意义的参数的精确位数，mi是针对被编辑参数的编辑结果。
步骤二：解码
染色体中被提取出来进行编辑工作的参数与数据的连续性相关。计算公式如下所示：
此处的小数位等价于二进制的小数位。
步骤三：仿真和评估费用
控制船舶航向的控制器的质量可利用相关的质量参数进行评估，评估计算公式如下所示：
此处N是控制仿真的迭代的整数部分。lambda;是规模因素，在该研究案例中lambda;=0.1。其中参数还有航向偏差，可由参数设置值与得到值之间的差值计算得到。其中参数还有舵角偏差值。对于遗传算法，可以通过减小航向偏差和舵角来最小化函数(37)的值。
步骤四：遗传运行（包括选择，交叉，突变）
仅在停机状态下，调整程序才会运行。其中，存在两种可能使得计算过程停止。第一种情况，存在限制最优化过程的最高次数。第二种情况，系统检测到已经获得能够提高效率解决当前问题的数据。
非线性控制器的调整参数
通过调整利用遗传算法所设计的控制器的相关参数，可以得到如图3所示的结果,其中仿真测试可以利用MATLAB/Simulink完成。在“船舶”窗口有显示的船舶动态特性方程式可以由（2）所表示。考虑到控制装置动态特性的数学模型被表示在图2中。显示在“控制航向”窗口的表示船舶航向控制器的相关公式可见(29),(32),(34)。
图3 研究控制系统的封闭范式
通过船舶平衡动态方程的指示对压仓状态下的参数进行设置，进而调整船舶航向。通过参数的设置，航向可被迅速地修改40deg。该算法质量可以通过500秒内单例周期0.01秒的测试实验结果进行评估。
5.1PD线性控制器的调整参数
首先，遗传算法被利用于调整PD控制器的相关参数，具体公式如（34）所示。一般情况下，单个染色体的长度由公式（35）所要求值决定。PD控制器的染色体的总体长度源于24个单独的基因，其中可以明确KP和KD已经被编码算入总染色体库。对于参数KP，精度保留两位小数，编码空间占10字节。对于参数KD，精度保留一位小数，编码空间占14字节。参数KP和KD的取值范围分别为(0;10), (0;1000) 。其中，参数KP和KD的初始值随机决定。
基于前期实验所得到的实验数据，可以作出以下假设。在实验仿真测试中，染色体交叉的可能数值pc=0.60，染色体突变的可能数值pm=0.01.染色体数量为50.十组利用遗传算法对PD控制器进行调整的结果数据如下表1所示。其中，单次试验的最大N值为100.在实验过程中，表示算法质量的参数值一直显示在最小值附近。当不满足预期实验结果要求的次数小于5时，实验终止。在本次实验中，算法的质量参数的最小值在第八次实验时获得。因此，可以将PD控制器的相关参数调整至最优值：K<su
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