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用有限元法和经验模型预测橡胶衬套的动态等效刚度
Hyun Seong Lee . Jae Kyong Shin . Sabeur Msolli . Heung Soo Kim
摘要：提出一种基于有限元分析和经验建模的近似混合的方法来分析橡胶衬套的动态特性。在有限元分析中使用超弹性-粘塑性模型和叠加方法来获得橡胶衬套的滞后现象。在经验模型中使用非线性弹性，分数导数和摩擦分量从而在宽的激励频率和振幅范围内获得动刚度。使用从有限元分析中获得的滞后曲线确定所提出的经验模型的参数。使用所提出的混合方法预测橡胶衬套在宽频率和振幅范围内的动刚度，并用下摆臂衬套实验进行验证。所提出的混合方法可以在没有迭代实验的条件下和无需高计算成本的情况下预测橡胶衬套的动刚度，使其适用于各种振动载荷条件下具有多个橡胶衬套的全尺寸车辆分析。
关键词：橡胶衬套；有限元法；叠加法；经验模型；动态等效刚度
1 引言
橡胶衬套在许多工业部件中用于将运动从一个部件传递到另一个部件。在汽车悬架系统中，橡胶衬套通过减少外部载荷和传递的振动起到隔振器的作用。尽管橡胶衬套是汽车中的普遍组件，但由于其动态特性，预测橡胶衬套的实际行为仍然具有难度。
橡胶衬套的动态特性取决于几个因素，如振幅，频率，温度等。随着激励幅度的增加，橡胶材料的动刚度降低。此外，与天然橡胶相比，填充橡胶的相关振幅效应更明显，这是由于填料-基质结构的崩解导致的，称为Fletcher-Gent效应（1954）或Payne效应（1971）。 Medalia（1978）通过研究材料与动态应变之间的耦合来研究弹性体材料的幅度依赖性行为。Dean等人（1984）研究了碳黑填充橡胶的动刚度在频率，应变幅度和温度方面的变化，报告了这些测量之间观察到的不可分离的关系。Coveney等人（1995）应用标准摩擦弹性实体模型（STS）来表征重填充橡胶隔振器的振幅依赖性。
由于聚合物链的延迟重组产生的粘弹性效应，橡胶的动刚度随着频率的增加而增加。这种粘弹性响应最初的特点是Maxwell模型和Kelvin-Voight模型（Findley，Davis 1989）;然而，两个模型与蠕变和应力松弛的相关性分别较差。通过结合Maxwell模型和Kelvin-Voight模型，提出了标准线性实体模型（SLS）来克服这些缺点（Banks等人，2011）。 Kaliske和Rohert（1997）提出了一种基于Maxwell-Wiechert模型的三维粘弹性模型。Govindjee和Simo（1992）提出了一种含有Mullin效应的粘弹性损伤模型（1969），即填充橡胶中的软化现象。Wineman等人（1998）使用力-位移方法研究了Popkin-Rogers非线性粘弹性配方（1968）。Lu（2006）提出了一种修改的分数导数模型，Bagley和Torvik（1983）最初采用该模型来预测弹性材料在高频下的复数模量。
尽管线性粘弹性模型可用于预测橡胶衬套在小应变状态下的实际行为，但它们受到重填充橡胶和大应变状态的限制。为了避免这些缺点，研究了具有幅度和频率效应的耦合模型。 Berg（1998）提出了一种一维经验模型，以弹簧、缓冲器和库仑摩擦力分量的组合表示振幅和频率依赖行为。Sjouml;berg和Kari（2002）通过使用分数导数提出了一种改进的经验模型。Garcı#39;aTa#39;rrago等（2007a，b，c）提出了一种动刚度模型，该模型涉及橡胶衬套的几何信息，其中使用了Horton等人提出的修正刚度项（2000a，b）。
在大变形下，与小变形情况不同，动刚度显示出增加的趋势。为了描述这种效应，Dzierzek（2000）提出了一种非线性弹性元件，可以在很宽的幅度范围内精确地提供橡胶衬套的动刚度。Lijun等（2010）提出了一种使用非线性弹性部分和减少的粘弹性项的新模型。Puel等人（2013）采用平滑过程研究了速率相关的弹性（RT）模型的实现。Luo等人（2013）研究了预紧力对轨道紧固系统中橡胶隔振器的影响，并提出了一种获得动刚度的技术。这些经验模型是方便的，因为它们可以通过使用从几个实验获得的模型参数来描绘振幅和频率对动刚度的影响。然而，在这个过程中，经验模型参数是几何相关的，并且需要迭代实验来在几何变化时识别参数。
除经验衬套模型外，还研究了本构模型。无论衬套的几何形状如何，都可以实施本构模型，因为它们与几何形状无关。这些模型已经在有限元（有限元）代码中预先定义。研究了一种用叠加方法将超弹性，粘弹性和弹塑性元素相加叠加的超弹性-粘塑性模型，以表示振幅和频率的依赖性（Olsson 2007; Gracia等人，2010）。此外，Oscar和Centeno（2009）研究了超弹性-粘弹性衬套模型，并使用整车瞬态碰撞模拟进行验证。Khajehsaeid等（2013）提出了一种超弹性-粘弹性模型的显式时间离散公式，并在弹性衬套的轴向-扭转耦合模式下通过实验结果进行了验证。Kaya等（2016）提出了一种使用超弹性和形状优化建模来获取车辆橡胶衬套的目标刚度的方法。此外，Cao等人（2016）使用显式有限元法（E有限元M）和动态轴承模型（DBM）研究了橡胶衬套对轴承动力学的影响。即使本构模型有效地预测动刚度，它们也需要大的计算时间来计算每个相应幅度和频率的刚度值。
在本研究中，为了克服以往方法的缺陷，提出了一种将有限元方法与经验模型相结合来预测衬套动刚度的新方法。相关程序如图1所示。首先，使用有限元代码建立橡胶衬套的几何模型。使用由叠加法定义的超弹性粘塑性模型预测橡胶衬套的滞后曲线。这些滞后曲线用于确定在宽频率和幅度范围内预测橡胶衬套的动刚度的经验模型参数。因为有限元模型是由橡胶的形状无关的材料特性建立的，无论使用的衬套几何形状如何都可以获得滞后曲线。因此，有限元模拟是有效的。然而，在宽激励频率和幅度范围内做橡胶衬套动刚度分析的有限元模拟结构的计算成本非常高。为了减少中央处理单元（CPU）的计算时间，提出了一种改进的经验模型来补充有限元分析。只需要执行少数装载情况的有限元模拟来定义经验模型。随后，建立的经验模型在宽的激发频率和振幅范围内预测填充橡胶衬套的动刚度。所提出的混合方法使得预测橡胶衬套的动刚度而无需迭代实验和昂贵的计算成本成为可能。
图1 结合有限元分析和经验建模的混合方法的示意图
2 实验
图2所示的汽车悬架系统中橡胶衬套用作连接器和隔振器。四个衬套确保金属子框架和两个下控制臂之间的组装。根据最需要的加载方向使用两种衬套，例如圆柱形A-衬套（本研究）和具有复杂几何形状的G-衬套。如前所述，橡胶衬套对于吸收由于不规则的地面，悬挂系统的倾斜和电机引起的振动引起的冲击和振动是必不可少的。预测橡胶衬套的机械性能如动刚度是重要的，因为它是该部件在其使用寿命期间承受高水平冲击和振动的能力的指示。
图2 汽车悬架系统和将副车架连接到下控制臂的橡胶衬套的示意图
为了表征橡胶衬套的机械性能，进行了径向载荷试验。在实验中使用的试样是由碳黑填充橡胶构成的圆柱形下臂衬套，橡胶材料位于内外钢套之间。样品及其尺寸如图3a所示。按照ASTM D5992-96标准（1996）进行实验。将样品安装在Instron 8801（Instron,USA）伺服液压试验机上。试验机执行机构的最大轴力容量为100 kN，其称重传感器精度为0.005％。使用固定夹具固定试样并施加径向加载状态，如图3b所示。因此，外衬套套筒是固定的，并且作为正弦波信号在内套筒上施加位移，频率范围为0.1-20Hz，幅度范围为0.2-2.4mm。从这些实验中提取并记录反应力。通过在测试机器上使用单向测力传感器来记录反作用力是可靠的，因为使用保持夹具来确保橡胶衬套的固定径向边界条件。因此，通过表示相对于反作用力（输出）的位移（输入）来获得滞后曲线。此外，为了消除Mullin对橡胶材料的影响，最初加载20个循环的样品。通过限制测试循环的次数，保持恒定的温度，并且首先防止加热然后软化样品。
图3 (a)圆柱形橡胶衬套的形状和几何形状以及(b)实验装置
图4显示了从径向加载测试中获得的磁滞回线。请注意，即使是小振幅，测量噪声也不大。例如，对于0.2mm的振幅，记录的总力几乎为300N。相比所测得的大小10N的噪声波动来说非常大。准静态条件下，在小振幅（0.6mm）的区域中磁滞回线的形状是椭圆形的，如图4a所示。然而，在大振幅（2.4mm）下，弯曲的磁滞回线由橡胶中压应力主导，如图4a所示。在这种情况下，等效刚度显示出增加的趋势。相反，虽然它处于大振幅下，但这种现象在轴向载荷条件下不会出现，因为材料中主要产生剪应力。类似地，在动态条件（10-Hz激发）下也观察到这种与幅度相关的行为，如图4b所示。在这种情况下，滞后曲线带宽比准静态结果宽，并且刚度幅度增加；这种行为原因是随着激发频率的增加粘弹性阻尼力增加。
图4 磁滞曲线：(a)在准静态测试（0.1 Hz）下和(b)在动态测试（10 Hz）下
3 数值模拟
3.1 有限元建模
通常，在流变模型中，橡胶衬套的应力张量可相加地分解为弹性sigma;e，粘弹性sigma;v和弹塑性sigma;ep部分并由下式定义：
速率依赖性响应由粘弹性组分表示。相反，使用弹塑性组分考虑幅度相关响应。在有限元建模中，使用叠加方法实现这些效应的总和。对于叠加模型，超弹性，粘弹性和弹塑性元素被组合以获得等效元素，如图5所示。这些元素必须共享相同的节点以保持相同的位移场。商业有限元模型包Abaqus（ABAQUS，Inc.，USA）提供了重叠具有不同性质的元素以获得等效行为的可能性。
图5 叠加方法示意图
3.1.1 超弹性模型
超弹性效应主要考虑使用应变-能量密度函数，由单轴，双轴和剪切测试定义。在常用的超弹性模型中，Ogden模型直接用主拉伸比描述，用于即将进行的分析，并由下式表示：
其中表示主要延伸，表示体积比，表示Ogden模型常数，常数和是通过与材料的应力 - 应变曲线拟合得到的，表示压缩率。 在不可压缩材料的情况下，Eq.（2）可以简化为以下等式：
3.1.2 粘弹性模型
为了考虑时间依赖效应，需要粘弹性模型。依赖于速率的行为由Prony系列基于应力松弛特性建模。Prony系列能使剪切模量降低。Prony系列的等式如下：
其中和分别代表剪切模量和初始剪切模量，和分别表示无量纲剪切松弛模量和弛豫时间。
3.1.3 弹塑性模型
已经证明，橡胶衬套材料的动刚度表现出对位移幅度的强烈依赖性。这种观察到的塑性效应被称为佩恩效应（1971）。由于对于目前的橡胶材料特别观察到了这种效应，因此有必要在构成模型中添加包括杨氏模量参数和屈服应力的简单von-Mises塑性模型。
3.2 经验模型
本节的目的是找到径向动刚度的表达式。尽管可以使用有限元结果的滞后曲线直接确定动刚度，但是需要一种有效的方法来预测宽幅度和频率范围内的动刚度。有限元分析是这里可用的信息获取解决方案之一。然而，迭代有限元分析需要相当大的计算能力和时间。为了解决这个问题，需要经验建模，因为它能够减少计算量，这需要几个与振幅和频率无关的实验。橡胶衬套用弹簧，分数导数和摩擦组分建模，如图6所示。
图6 提出的经验橡胶衬套模型
首先，径向等效应变如下给出以建立应力-应变模型（Garcia Ta#39;rrago等人2007a）：
其中是径向位移，谐波激励。 和分别表示激励幅度和频率。 另外，a是橡胶衬套的内半径，b是外橡胶部分的半径，如图3a所示。
在变形较大的径向载荷条件下，随着激振幅度的增加，动刚度呈增加趋势，这种趋势与小幅度趋势相反。这种现象是由于金属衬套和橡胶之间的压缩应力增加而导致的。为了考虑大振幅下的径向特性，Dzierzek（2000）提出了非线性弹性分量。在该模型中，非线性弹性组分由弹簧呈现。非线性弹性应力与等效刚度相结合的方程式如下：
其中表示弹性刚度，使用准静态结果得到; 和分别表示非线性加权参数和比例常数; 另是位移幅度的函数。表示如下：
其中系数，和可以使用从有限元分析获得的滞后曲线来确定。
此外，必须考虑摩擦力分量来表示摩擦阻尼。取决于等效应变的摩擦应力可由下式表示（Dzierzek 2000）：
其中和是无量纲摩擦常数，代表静态摩擦应力系数。这种复杂的形式能够在高度非线性滞后曲线下表示非线性摩擦阻尼。
使用分数导数对橡胶衬套的频率相关特性进行建模。使用Riemann-Liouville积分（Oldham，Spanier 1974）定义分数导数。它可用于准确预测各种频率下橡胶衬套的动刚度（Sjouml;berg，Kari 2002）。分数模型表示为离散时间和加权形式，如下所示：
其中表示比例常数，表示时间导数顺序。为了满足分数导数的方程，值必须在0和1之间。项表示离散时间，是时间时的应变。 Gamma函数用表示，由下式给出：
橡胶的行为通过每个应力分量的总和来描述，如下：
此外，为了定义动态模量，需要通过应用傅里叶变换将应力和应变的时域转换为频域，如下：
其中和分别表示总应力和应变的频域。表示频域中的动态模数。
众所周知，动刚度可以表示为施加在衬套上的径向载荷与所得到的位移之比。霍顿等人（2000a）表明，位移可以通过两个特殊载荷条件和的位移的叠加来计算。通过假设橡胶是均匀的，各向同性且不可压缩
资料编号：[5503]
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