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内燃机结构动力分析的曲轴系统模型
Zissimos P. Mourelatos
通用汽车研发与规划车辆分析与动力学实验室，邮箱：480-106-256，美国密歇根州沃伦市蒙德路30500号，邮编：48090-9055
2000年6月14日收到；2001年6月6日接受
摘要：本文介绍了内燃机曲轴动态特性分析的系统模型。该模型采用系统方法，将曲轴结构动力学、主轴承流体动力润滑和机体刚度耦合起来。基于有限元法，采用两级动态子结构技术对曲轴动态响应进行了预测。动态子结构使用一组与载荷相关的Ritz向量。主轴承润滑分析基于雷诺方程的求解。通过与实验结果的比较，验证了模型的准确性。数值计算结果也表明了该模型在发动机曲轴设计中的能力和意义。copy;2001年首次出版，Elsevier Science Ltd该出版商享有此版权，保留所有权利。
关键词: 曲轴-机体动态相互作用；动态子结构；滑动轴承润滑；发动机噪声、振动和不平顺性；曲轴设计
1.介绍
基于立法和市场压力，内燃机的设计要求提高发动机功率、减小发动机尺寸和提高燃油经济性并行。此外，由于对更高性能、更轻重量、低成本和快速上市的发动机设计的要求越来越严格，在提高耐久性和可靠性的同时降低发动机振动和辐射噪声的努力对汽车工业越来越重要。如果必须实现有竞争力的设计，就需要优化发动机部件。精密的分析工具可以极大地提高对重要发动机部件运行相关物理现象的理解。曲轴尤其如此，曲轴是最容易分析的发动机部件之一，而且过去有许多复杂的曲轴分析方法被报道。这主要得益于在高速计算机上使用有限元方法，以及能够构造复杂有限元网格模型的精细有限元预处理器的可用性。近年来，汽车发动机的噪声、振动和不平顺性（NVH）与传统的耐久性和性能问题一起成为设计过程中不可或缺的组成部分。NVH与客户对发动机质量的看法密切相关，因此影响了发动机在市场上的竞争力。为了提高发动机的耐久性[1-4]和NVH性能[5-8]，对曲轴和发动机缸体等重要发动机部件进行了广泛的静态和动态分析。发动机是由单个部件组成的微调系统。一个最佳的发动机设计需要一个系统方法，因为每个部件的性能可以强烈依赖于其他部件的性能。对于曲轴座子系统[9-12]尤其如此。
曲轴座子系统由曲轴和由液压动力润滑主轴承耦合的发动机座组成。系统上的负载来自气缸压力和活塞连杆惯性。施加在活塞顶上的气缸压力通过活塞连杆总成传递到曲柄销。活塞连杆的惯性也为曲柄销提供了负载。曲柄销载荷使曲轴变形，并通过主轴承流体力学传递到主轴承位置处的发动机缸体。曲轴和机体的变形都会影响主轴承油膜的厚度，从而影响轴承的流体力学性能。因此，发动机系统的数学模型需要三个单独的耦合模型：曲轴的结构模型、发动机机体的结构模型和主轴承的润滑模型。
文献中对曲轴-机体相互作用问题的大量研究表明了它对工业的意义。参考文献[2,10-7]中给出了一个具有代表性的样本。由于问题的复杂性，许多简化的假设已经被使用。第一次尝试解决这个问题的报告在参考文献[9,18]中，其中描述了超静定曲轴系统中轴承性能的计算，而且使用了静态（非动态）曲轴分析，块体弹性则由线性弹簧表示。因而，迁移率法[19]描述了油膜流体力学忽略了轴颈偏差和轴承设计属性（如油槽和油孔）的重要影响。油膜流体力学几乎完全由迁移率法[10,12-14]或简单的弹簧-阻尼器组合[15-17]表示。在某些情况下，油膜被完全忽略[11]。
曲轴-机体相互作用问题在内燃机设计中的重要性与许多原因有关。首先，发动机曲轴是一个经过精细优化的部件，在其正常工作范围内具有显著的共振（包括扭转和弯曲）。这些共振尤其影响曲轴、轴承盖和发动机舱壁上的动态应力分布[2,4]和发动机下端的噪声[3,7,10]。动态应力水平的准确预测对于耐久性、低重量和高疲劳寿命的判断十分重要[2]。曲轴动态响应也需要优化曲轴附件，如皮带轮[16,17]和飞轮[4]。另外，出于曲轴-机体相互作用问题中油膜流体力学的考虑，还提供了一个增强的轴承负荷预测[4]，这使得设计的轴承更耐用，摩擦更小，因此燃油经济性更好[20,21]。而且，还需要在轴承间隙内每个轴颈的运动来预测轴承冲击的大小和持续时间（这种冲击通常发生在轴承负载反转期间）。这种预测对于降低发动机下端发出的噪声是必不可少的[10,22]。
本文介绍了一种叫CRANKSYM（曲轴系统模型）的曲轴-机体相互作用方法。第2节概述了所提出的曲轴系统模型，其中详细描述了所有特征和装配。随后的章节描述了曲轴结构动力分析和发动机缸体表示法，已开发的主轴承水动力分析，以及曲轴-机体耦合模型。文献[23]证明了曲轴结构动力分析的准确性和有效性。与实验结果的比较表明了该方法具有较好的精度。最后，以一台V型六缸发动机为例，说明了所提出的曲轴-机体系统模型在发动机设计中的作用和意义。
2.曲轴系统模型概述（CRANKSYM）
CRANKSYM是分析内燃机曲轴的系统模型。普遍来讲，它采用系统方法将曲轴结构动力学、主轴承流体动力润滑和机体刚度耦合起来。
为了计算曲轴的结构动力响应，需要对整个曲轴进行有限元网格划分。采用有限元法求解各主轴承的二维雷诺方程，进行主轴承润滑分析。发动机机体的柔韧性由其在每个主轴承位置处的刚度来表示。CRANKSYM的主要输出是用户指定网格点处的位移、速度和加速度、固有频率和振型以及整个发动机循环中的曲轴动态应力方面的曲轴动态响应，计算和输出轴承的主要载荷（力和力矩）和轴承性能参数，如偏心率、最小膜厚和最大膜压力，并在整个发动机循环中计算每个曲轴角处的油膜厚度和压力分布。
基于由子空间算法生成的与载荷相关的Ritz矢量，对曲轴进行了两级动态子结构分析。经过两次动态归约后，初始有限元模型的尺寸显著减小到非常小的广义自由度，并能有效地进行时间归并。旋转的曲轴与固定的柔性发动机缸体正确耦合。块柔度由分布在垂直和水平平面的每个主轴承位置的分布线性弹性地基表示。这种表示不仅考虑了两个平面上的平移块刚度，还考虑了旋转块刚度。因此，轴承载荷由反作用力和反力矩组成。反作用力矩引入了轴承轴颈失准，这在传统的“润滑分析”中通常被忽略。弹性基础的刚度可以围绕每个主轴承的周长变化，因此考虑到发动机块的各向异性相对于曲轴旋转。
采用有限元法求解雷诺方程，对主轴承进行了水动力分析。分析中使用了四个轴颈自由度。这些是轴颈在中间轴承位置的垂直和横向平移和旋转。旋转自由度捕捉每个主轴承内的轴颈偏差。采用接触算法处理轴颈与轴瓦的可能接触，大大提高了曲轴系统模型的坚固性。当考虑气缸体的转动刚度时，曲轴可能在发动机循环的一部分时间内接触到气缸体。这可能是由于轴承负荷过大，大于其承载能力。
3.曲轴结构动力分析
基于有限元法的曲轴结构分析预测了曲轴的动态响应。采用特殊的Ritz矢量进行二级动态子结构。首先，将给定的曲轴三维有限元模型划分为子结构。每个曲轴间隔和曲轴前端和尾部（飞轮端）构成独立的子结构。每个子结构使用一组与载荷相关的Ritz向量进行动态缩减。随后，将所有子结构组装起来，并使用一组新的Ritz向量执行第二次动态缩减。使用子空间算法生成与负载相关的Ritz向量。
大型结构的特征向量计算在计算上是昂贵的。此外，特定特征向量在最终解中的参与取决于所施加的动态载荷。如果加载频率接近结构的固有频率，则相应的特征向量显著参与求解。此外，即使荷载中包含其频率（对应的本征值），与施加荷载相关的本征向量也不参与求解。对于上述情况，特征向量可能不是在一定外部荷载作用下复杂结构动态简化的最有效依据。本文采用特殊的Ritz矢量代替特征矢量，构成曲轴动态降阶的变换基础。已经证明，使用正交Ritz向量代替相同数量的特征向量，可以提高复杂结构动力分析的精度[23-27],原因是Ritz向量考虑了施加荷载的空间分布，而特征向量忽略了这一重要信息。第一个Ritz向量是施加荷载的静态解，随后的Ritz向量通过将质量矩阵乘以先前的Ritz向量生成，并将结果用作新静态解的载荷向量[23,24]。
3.1.第一级动态子结构分析
用有限元法建立的曲轴动态平衡方程如下：
（1）
其中，、、和分别是质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和荷载向量。荷载和位移（或响应）向量是空间（s）和时间（t）的函数，式（1）可求解位移矢量。
通过在每个主轴承位置的中间将曲轴拆分为若干子结构，将式（1）的初始位移矢量{U}分为内部位移和保留位移。矢量包括子结构公共界面的所有位移加上每个主轴承两端曲轴中心线上各点的位移（图1），后一点用于确定每个主轴承轴颈的坡度，包括中的所有其他置换。基于这种划分，公式（1）中的初始位移矢量和质量矩阵重写如下：
(2)
(3)
类似的表达式适用于和矩阵以及负载向量。零表示适当维数的零矩阵。下标i和r分别表示内部自由度和保留自由度，上标表示矩阵的子结构数或转置。
第个子结构的内位移矢量表示为:
(4)
曲柄中心线上的栅格
下部结构界面
飞轮
主轴承
滑轮
图1 关于曲轴子结构的一些定义
保留D.O.F向量
内部D.O.F向量
变换矩阵由一组基于第个子结构的矩阵、和的表1算法计算的方法正规Ritz向量组成。矩阵仅由两个空间载荷矢量组成（表1中的k=2）。广义位移矢量比小得多。矩阵是内部位移矢量和保留位移矢量之间的静态变换矩阵。
基于式（4），初始位移矢量变换如下：
（5）
将式（5）变换应用于式（1）可得到以下简化动态系统：
（6）
其中
（7a）
(7b)
(7c)
(7d)
类似的表达式适用于和。减少的负载向量由下式表示
(8a)
其中
(8b)
和
(8c)
有关曲轴动态子结构过程和与载荷相关的Ritz矢量变换的更多信息，请参见参考文献[23]。
3.2.二级动力子结构分析
式（5）中的约化位移矢量包含可相当大尺寸的保留位移矢量。为此，执行第二级子结构，进一步减少保留自由度的数量。
向量被划分为
(9)
其中左下标表示子结构分析的级别。包含曲轴中心线上每个主轴承左端、中端和右端三个点的位移。包含子结构界面的所有其他位移，这些位移保留在子结构的第一层中。由于等式（9）的划分，重新引入的位移矢量变成
(10a)
其中
(10b)
子结构第一级的约化矩阵、、和荷载向量根据方程（10a）和（10b）进行划分，重复上段所述的过程，再次利用表1的算法计算了一个新的Ritz变换矩阵，并形成了一个类似于式（6）的新的简化系统。
通过将该方法应用于各种汽车曲轴，发现20个Ritz矢量足以满足两个层次的子结构。虽然Ritz矢量的数目是任意的，但是15-20个Ritz矢量通常足以获得计算曲轴动态响应的良好精度。在计算出的动态响应没有改善之前，也可以尝试较大的数值。
在两次缩减之后，简化的模型只包括大约50-100度的自由度。这意味着在执行曲轴动态分析时节省了大量的计算量。当曲轴动态分析与主轴承流体力学耦合以寻找组合系统响应时，计算量的节省变得更加重要。
两级动态子结构分析和查找Ritz向量的算法（表1）已在通用程序MSC/NAST RAN[28]中使用DMAPALTERS[29]实现。由于MSC/NASTRAN具有优良的数据管理能力和高效的矩阵运算能力，因此可以非常有效地处理潜在的非常大的刚度和质量矩阵以及各种其它辅助大矩阵。最初，MSC/NASSTRAN计算模型的质量和刚度矩阵。然后两个独立的DMAP改变，指示MSC/NASTRAN实现表1中两级子结构的Ritz矢量算法。在这个过程中，DMAPALTER执行了大量的数据操作任务，如大矩阵的划分和乘法、不同子结构的数据集合、线性方程组的求解等。这不仅解决了管理非常大的矩阵的问题，而且还减少了总体的计算工作量，因为MSC/NASTRAN可以非常高效地执行大部分计算。
表1 一种计算负荷相关Ritz矢量的子空间算法
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1 |
给定输入矩阵 ：质量矩阵 ：刚度矩阵 ：k独立空间载荷矢量块 |
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2 |
三角形化刚度矩阵 |
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3 |
求解初始静态块 a.求解块 b.向量的正交化得到块，j=1，2，hellip;，k c.中向量正交化得到块. 重复j=2,3,hellip;,k: d.归一化块 |
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4 |
求解后续区块，i=2，3，hellip;，p a.求解块 b.通过对所有先前块的正交化得到块 c.根据步骤4b，通过对所有先前块的的正交化来获得块 d.根据步骤3c和3d，通过块的M正交化得到块 |
3.3.曲轴负荷
曲轴主要由气缸燃烧产生的发动机工作负荷来承载。该载荷通过活塞和连杆传递到曲轴的曲柄销上。将活塞和连杆视为刚体，计
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