莱顿弗罗斯特效应：从准球形液滴到液坑
武汉理工大学 唐琪春 译
摘要
在近似润滑的框架下，我们推导了一组描述莱顿弗罗斯特液滴稳定的底部轮廓与蒸汽压力相匹配的方程。这让我们能够推导出液滴和热平面之间密封的凹陷气泡的几何规律。结果与实验中半径小于毛细半径的液滴以及半径大于的液体的观察值都符合。
关键词 莱顿弗罗斯特效应
1.介绍
能够为Paul Clavin撰写这篇学术论文是我的荣幸。过去的日子里他在各方面都给了我们鼓励。我们选择的方向混杂了非均衡科学、流体力学和热力学的内容。我们也预测了多种与实验观测结果匹配的特性。我们希望paul会觉得这篇论文足够实用。
莱顿弗罗斯特效应是以J.G Leidenfrost命名的。他观察到液滴由于不直接与热表面接触而存在的时间比正常预期更久的现象并在这一现象基础上以拉丁文写了一篇文章[[1]]。这个现象的原理在19世纪被Tyndall[[2]]所解释为：蒸汽逸散在液滴和热平面之间的缝隙中从而托起液滴并切断了液滴与热平面的直接接触，由于蒸汽和热平面之间的热阻相比之下大得多，所以这延长了蒸发液滴所需的时间。但这只在液滴较轻的情况下才发生。我们最近讨论了小的莱顿弗罗斯特液滴的规律[[3]]。这说明一个重要的事实：半径小于
的液滴会在一边蒸发一边变小的过程中逐渐脱离平面，越升越高。
：热平面温度与液体沸点温度之差
：蒸汽的剪切粘度
：导热系数
：重力加速度
：潜热系数
，：液体与蒸汽的质量密度
是几十微米，比毛细半径小很多。
：液体与蒸汽之间的表面张力
对于400℃的平面上的一滴水，取, ,, , ,, ,,我们得出，，比大几个数量级，所以我们设想远小于。
Ref.[3]对于半径在的液滴进行了实验。在这个范围预测并且观察到随着半径的减小，液滴下缝隙的高度（也是液滴与热平面之间蒸汽膜的厚度大小）增加，与常识相反。当液滴半径远大于时，随着其蒸发，增加至远大于平面缝隙，然后液滴由于蒸气压力大于重力而自发上升离开底面。由于这种上升，液滴与平面之间摩擦减小至近似光滑（由于液滴与平面之间温度场和间隙的影响）。
我们下面看大到足够保持与平板距离的液滴，这样近似光滑就适用。我们首先建立了2组方程来耦合液滴地面高度和当地气压。根据半径的不同[，，，]，我们得出4组结果。近似球形液滴半径远大于，但是远小于，它们与半径远大于、接近与的液滴一致。这种情况下间隙中的压力远小于拉普拉斯压力，所以在间隙中可以采用一个“统一近似”的方法，而且液滴底部可以近似看为球形。在第5部分我们研究更大的液滴，半径大于，接近。这要求更复杂的研究，因为当间隙被分为一个气泡和连接气泡与外界的狭长通道这两个部分的时候就不能采用相似法。虽然近似光滑在两个部分仍然适用，但是需要采用不同的规律。最终在第7部分我们考虑半径远大于的气泡。我们得出所有半径大于的情况下，近似光滑可以很好地描述间隙中的液体流动与温度场。
对比近期相同课题的文献[[4]][[5]]，本次实验应该是最早通过讨论液滴与黏性蒸汽在液滴与热平面的间隙中的流动蒸发之中的共同点给出莱顿弗罗斯特效应作为物理量参数的评估的。这让我们对于本文的中心，，的标定更为重视。为了解决这类问题，我们第一次使用了方程（9），（17）和（19）。我们注意到在别的情况下观察相似的液滴形状已经被描述过了[5]。在后者情况下，液滴被多孔模型上的气流冲起。他们显示为一个孤立的气泡通过一段通道与外界相连的形式。在我们的结论中，流动是受缝隙中的蒸发与温度梯度影响的，不像[5]中是固定的，导致与其我们的结果不同。
2.公式
2.1速度场，界面压力和温度场
间隙中的近似润滑依赖于以下三种成分
2.1.1间隙中流动的斯托克斯方程
间隙主要沿着水平方向(,)延伸,流体的速度分量为（，，）三个方向的垂直速度。边界条件为对于热板的笛卡尔方程。其他边界条件为:在液滴表面，高度。在润滑极限下，此表面接近水平面，边界条件为对于，。的边界条件是史蒂芬条件，记为
其中是计算在蒸汽侧的液滴表面温度对的导数，记为。史蒂芬条件表示能量守恒：液滴表面的热流平衡了液体汽化的速率乘以潜热。
斯托克斯方程
（1）
（2）
与
（3）
P代表压强，速度场是发散的，所以
（4）
2.1.2表面力的平衡
考虑到半径远大于的情况,对于间隙中液体表面的形状还有另外一个方程,取决于蒸发流在间隙中产生的压力是大于还是小于拉式压力，在液滴中，表面方程可以忽视（第3部分）或者不忽视（下一部分）。
如果间隙中压力远小于拉式压力，可以假设液滴是近球形。服从
（5）
是球面上距离热平面最近的点，是到这个点的水平距离。在在润滑极限下，的抛物线近似是有效的，。它是从圆的笛卡尔方程（）得来的。
如果间隙中流体压强与拉式压力是一个数量级，就需要另一个方程。这个方程是由液滴表面法向力的平衡得到的。液滴内部的压力由拉式压力决定(回想一下，我们假设比毛细血管半径小得多)，蒸汽一侧的正应力是。所以间隙内外表面的平衡方程写为
（6）
在轴对称的情况下：
（7）
如果间隙内压力对于拉式压力来说可以忽略，那么这个条件显然满足准球形剖面方程(5)。
2.1.3温度场的拉氏方程
写为我们假设佩克莱特数足够小并且忽略流动中的对流部分。这个温度场适合两个边界条件：热平面和液滴表面，。在润滑条件下，拉氏方程的解为：
所以液滴表面垂直速度是,(,)
2.2蒸汽流中的压力
使用到上面的关系，我们为间隙中流动的压力建立方程。通过从到的积分的不可压缩性条件得到
（8）
其中。斯托克斯方程中，以润滑极限中最短长度的二阶导数为主导。所以接近泊肃叶定律,
或者。带入方程（8）得到
（9）
其中,是方向的单位向量。
方程（9）适用于近似润滑的所有情况，给定可以写成关于变化的最小雷诺数的欧拉-拉格朗日条件
（10）
对于轴对称几何图形方程（9）也适用，
（11）
可以用二重积分解出
（12）
其中是边界条件确定的积分常数。注意，这个表达式是对任意都有效的，并且要求只在间隙的水平方向大小远远大于其厚度。
让我们按比例放大引入的各种物理量，易选择
（13）
作为，和。对于准球形液滴，这个选择很容易从液滴的重量与压力产生的向上的力得到。我们也会看到，它也适用于扰动表面的描述（半径小于的水滴）另一种尺度将用于描述形成的莱顿弗罗斯特水坑，见第7节。
有了这样的标量，在没有任何物理参数的情况下可以选取间隙中的流动方程，在轴对称的情况下，
（14）
方程（12）变为
（15）
由于这个积分解，我们可以看到，给定，在趋向于零，趋向于无穷大的情况下，积分常数是确定的。与有关：
（16）
液滴上垂直力的平衡导致了另外一种关系。液滴的质量需要由蒸发流产生的垂直力来弥补，其是通过在间隙中球体表面压力的积分得到的
（17）
垂直力平衡变为无量纲，
（18）
2.3压力与曲率
从可知比粘性力大一个系数，为水平方向的范围。因此，采取润滑近似时，可以忽略粘性应力对垂直力平衡的作用，方程（6）就得到
（19）
在轴对称的情况下写为，
（20）
用方程（13）中的单位表示后，方程变为
（21）
所有的变量都被缩放，出现无量纲的数字
（22）
为蒸汽流中压力与拉式压力之比。比例耦合方程组（14）–（21）再加上适当的边界条件，构成我们今后要考虑的模型。我们记得，它们是根据第3-5节中研究的适用于半径小于的方程（13）得出的，而对于较大的液滴（水坑），将推导出另一组标度，得出相同的无量纲方程组。参见第7节。
3.未受扰动表面的问题
在这一节中，我们解了液滴几乎保持球形的情况下的极限润滑的方程，这意味着在方程（21）中忽略。这样就不需要适用法向力的平衡来推导凹槽表面的形状。目前的情况（未扰动球）是一个相当标准的应用润滑的理论。我们开始使用方程（13）中的原始变量，并证明采用之前的标量建立的方程。
结果为
其中的数值定义为
趋向于无穷时为了使压力趋向与0，取
结果为
（23）
方程（17）中由蒸发流产生的垂直力
通过这个力平衡了球体的重量，
（24）
我们发现间隙高度与方程（13）相符合。当液滴表面接近于一个抛物柱面时，方程（5）关于的变量方程成为：
（25）
当趋向于无穷时趋向于0，所以是一个纯粹的数字，方程（25）中的也是一个被方程（18）中液滴垂直力平衡定义的纯数字。
如果润滑近似适用，近似球形的问题就被这一系列方程解决。这需要假设高度远小于也就是。还需要假设，与相比，间隙中的压力可以忽略不计，因为我们假设了关系（5），这要求
（26）
且，或者。
对于在400℃加热的板上的水来说，约为。否则，必须确定间隙中液滴的形状。
即函数，如下所述。
4.扰动面情况下的解
这种情况下，液滴在间隙中的表面由于流体运动产生的压力相对于液滴内部的拉式压力是不可忽略的，与前一种情况相比，我们需要求解方程（9）中的.但由于剖面未知，我们还需要利用方便的边界条件求解方程（6）。第二个方程是由法向力的平衡导出的。假设方程（9）中已知。
在的范围内，新方程为间隙内液滴曲率的方程，其应该代替第3部分中描述未扰动球形液滴sect;远小于1的简单关系式(5)。最终，如果sect;值不小，则公式（9）与（19）或者它们的缩放（14）与（21）组成另一对方程，可以得
英语原文共 15 页
资料编号：[4912]
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