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1.运动方程
在这一章中, 我们建立了流体力学的基本方程。这些方程由质量、动量和能量守恒定律导出。我们从最简单的假设开始, 推导出理想流体的欧拉方程。这些假设在第三章被放宽, 以考虑由动量分子传输引起的粘性效应。贯穿全书, 我们强调直觉和数学方面的涡度；这项工作在本章的第二节开始。
1.1 欧拉方程
令D为二维或三维空间中充满流体的区域。我们的目标是描述这种流体的运动。设为D内的一点, 考虑时刻t通过点处的流体粒子。参考空间中的标准欧几里德坐标, 我们把的坐标写为。假设流体粒子沿明确的轨迹运动, 设为流体粒子在时刻t通过点时的速度。因此, 对每个固定时间, 是D上的向量场, 如图1.1.1所示, 称为空间流体速度场。
图1.1.1 流体粒子在区域D内的流动
对于每个时间t, 假设流体有确定的质量密度。因此, 如果W是D的任意一个子区域, 时刻t, W内流体的质量为
其中, 表示平面或空间中的体积元。
在接下来的内容中, 我们将假设函数和（以及后面将要介绍的其他函数）足够平滑, 因此可以对它们执行微积分的标准操作。这种假设容易被反驳, 我们稍后会详细分析它。
关于函数存在的假设是一个连续的假设。很明显, 如果把物质分子的结构考虑进去, 这个假设就不成立了。对于自然界中发生的大多数宏观现象, 我们认为这一假设是很正确的。
我们对于欧拉方程的推导基于以下三个基本原则：
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I |
质量既不会被创造, 也不会被毁灭； |
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II |
流体的动量改变率等于施加在该部分流体上的力（牛顿第二定律）； |
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III |
能量既不会被创造, 也不会被毁灭。 |
让我们依次来谈论这三条原则。
I 质量守恒
设W为D的一个固定子区域（W不随时间改变）, 则区域W内质量改变率为
用表示区域W的边界, 并假设是光滑的；用n表示上的点的单位外法向量；用dA表示上的面积元。于是, 流过每单位面积的流体的体积为, 每单位面积的流体质量的变化率为（如图1.1.2所示）。
图1.1.2 每单位时间流过边界的流体质量等于在上的面积分
质量守恒定律可以更精确的表示为：W内质量的变化率等于通过区域W的边界流入W内的质量的变化率, 也就是说：
这是质量守恒定律的积分形式。由散度定理, 这个陈述等价于
由于上式对任意的W都成立, 所以
上个方程是质量守恒定律的微分形式, 也称为连续性方程。
如果和不足够光滑, 不足以证明推得质量守恒定律微分形式的步骤, 这时就可以使用积分形式。
II 动量平衡
设为流体粒子经过的路径, 那么速度场可以表示为
即
这和下面的计算在空间中明确使用了标准的欧几里德坐标(对于平面只需要删除z)。
流体粒子的加速度由下式给出：
由链式法则,
使用记号
以及
我们得到
上式也写作
其中
我们称
为物质导数, 物质导数把流体的运动以及流体粒子随时间运动引起的位置变化都考虑进去了。事实上, 如果f(x,y,z,t)是一个关于时间和位置的函数, 那么由链式法则：
对于任何连续体, 作用在一块材料上的力有两种类型。首先, 存在应力, 通过应力作用于材料表面的力, 通过其余连续体作用于材料表面的力；第二, 有外力或体积力, 如重力或磁场, 它是对连续体施加单位体积的力。连续体上的表面应力的明显隔离通常归因于柯西。
之后, 我们会考虑更一般的压力, 但是现在让我们定义一个具有以下性质的理想流体：对于流体的任意运动, S是流体中的一个表面, 单位法向量为n, 存在函数, 称为压力, 使得时刻t在点处通过S作用在每单位面积上的力为, 也就是
通过S每单位面积的力
注意, 力的方向是n, 力与曲面S正交；也就是说, 没有切向力(见图1.1.3)。
图1.1.3 表面S上的压力
当然, 理想流体的概念作为一个数学定义是没有争议的。然而, 这个概念(或我们从中推导出的数学定理)的物理相关性必须通过实验来验证。我们将在后面看到, 理想流体排除了许多有趣的真实物理现象, 但仍然构成一个更完整理论的重要组成部分。
直观地说, 切向力的缺失意味着旋转无法在流体中开始, 如果在流体中开始旋转, 也无法阻止。这一想法在下一节将进一步阐述。然而, 即使在这种情况下, 我们也能发现理想流体的物理问题, 因为在真实的流体中(在划艇桨附近, 在龙卷风中, 等等)存在大量的旋转。
如果W是时刻t流体中的一个区域, 则W内部通过其边界上的应力作用于流体的总力为
{在W上的力}
(负号是因为n是外法向量)。如果e是空间中任意确定向量, 由散度定理可得：
因此,
如果表示每单位质量的体积力, 总体积力为
因此, 在任何一部分流体上,
每单位体积上的力
由牛顿第二定律（力=质量times;加速度）, 我们可以得到动量平衡的微分形式
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（BM1） |
接下来, 我们将从两方面推导出动量平衡的积分形式。我们首先从微分形式推出它, 然后从基本原理推出它。
由动量平衡的微分形式, 我们有
所以, 使用连续性方程,
如果e是空间中确定的向量, 可以得到
因此, 如果W是空间中确定的区域, 由散度定理可以得到W内动量在方向e上的改变率为
因此, 动量平衡的积分形式可以写为
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(BM2) |
量为通过的每单位面积动量通量, 其中n为正交于的单位外法向量。
对动量平衡积分形式的推导是通过微分形式进行的。为了尽可能少的假设可微性, 直接从积分定律出发是有用的, 就像质量守恒定律一样, 从积分形式导出微分形式。为了做到这一点, 我们需要引入一些有用的概念。
如前面所述, D表示流体流动的区域, 设, 为时刻在点x处的粒子的运动轨迹。我们假设足够光滑, 以至于下面的操作是合理的, 以及对于固定的t, 是一个可逆映射。用表示映射；也就是说, 对于固定的t, 这个映射将每个流体粒子从t=0时刻的位置推进到t时刻的位置。这里, 下标并不表示微分。我们称为流体流动映射。如果W是D中的一个区域, 那么是随流体运动的W的体积。如图1.1.4所示。
图1.1.4 W内的流体粒子流动t时间后是W的像
动量平衡的“原始”积分形式说明
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（BM3） |
也就是说, 运动的流体的动量变化率等于作用在它上面的总力(表面应力加上体积力)。
（BM1）和（BM3）这两种形式的动量平衡是等价的。为了证明这一陈述, 我们使用变量代换定理
其中表示映射的雅可比行列式。因为初始位置的体积是固定的, 所以我们可以在积分符号下微分。注意
是物质导数, 正如我们之前展示的那样。接下来, 我们要学习如何对进行微分。
引理
证明：的分量写为。首先, 通过流体速度场的定义观察得到
通过回忆矩阵的行列式在列（或行）上的多线性, 可以对行列式J进行微分。因此, 保持x不变, 我们有
其中
速度场u的分量u, v, w都是关于x, y, z的函数, 因此
当这些被代入到上述的表达式后, 可以得到相应的
证毕。
由上述引理, 我们得到
其中变量代换定理又一次被使用到。由质量守恒,
因此
事实上, 这个论证证明了以下定理。
传输定理 对于任意关于x和t的函数f, 我们有
用相似的方法, 我们可以导出不包含质量密度的传输定理的一种形式, 即
如果W和是任意的, 被积函数是连续的, 我们已经证明了动量平衡的“原始”积分形式等价于微分形式（BM1）。因此, 所有三种形式的动量平衡：（BM1）、（BM2）和（BM3）是相互等价的。作为练习, 读者可以直接从对方推导出两种动量平衡的积分形式。
引理在理解不可压缩性上也很有用。根据前面介绍的符号, 我们称一个流动为可压缩的, 如果对任意流体的子区域
的体积常数（对时间而言）.
因此, 不可压缩性等价于
对所有移动的区域都成立。因此, 下面的陈述是等价的：
（1）流体不可压缩
（2）
（3）
由连续性方程, 我们得到
由于, 所以流体不可压缩当且仅当, 也就是说, 流体的质量密度是恒定的。如果流体是均匀的, 也就是密度在空间上是常数, 这种情况下也满足流体不可压缩当且仅当质量密度在时间上是一个常数。非均匀不可压缩的流动也会发生, 例如在海洋学里出现的一些问题。
我们应该解连续性方程, 通过用在时的值, 映射以及它的雅可比行列式来求解。确实, 在传输定理中令, 概括质量守恒的等价条件, 可以得到
因此,
改变变量, 我们得到
由于是任意的, 所以有
作为质量守恒的另一种形式。作为推论, 时的均匀且可压缩流体一般不会保持均匀性。然而, 如果流体是不可压缩的, 那这种均匀性可以得到保持。如：, , 所以流体不是不可压缩的；然而对于, 一直都可以保持质量守恒和均匀性。
III 能量守恒
到目前为止, 我们建立了以下方程
（动量平衡）
和
（质量守恒）
如果我们在三维空间中来处理问题的话, 目前我们已经有了四个方程, 因为关于的方程是一个由三个标量函数组成的向量方程。然而, 我们有五个函数：和p。因此, 人们可能会怀疑, 要完全的确定流体的运动, 还需要一个
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