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最大化双层网络的同步性
Xiang Wei, Jeffrey Emenheiser, Xiaoqun Wu, Jun-an Lu and Raissa M. Drsquo;Souza
我们研究了由两个随机生成的网络层（具有不同的层间节点连接模式）形成的双层网络的同步性。根据主稳定函数，我们使用非零最小特征值和Supra-Laplacian矩阵的最大特征值与第二最小特征值之间的特征比来表示各种双层模型的同步性。我们发现层间链接权重和链接分数对双层网络的同步性具有深远的影响。越来越大的层间耦合权重会导致不同类别的网络动态性降低或持续同步。另外，当存在大多数层间链接时，跨层间链接的负节点程度相关性优于正程度相关性。如果存在一些层间链接，结果则相反。基于这些具有代表性的双层网络的数值计算结果和理解，对于建立更真实的多层网络的最大同步性的见解具有说明和指导意义。
对许多学科中复杂网络的研究使我们能够更好地理解无数复杂的现象[1-4]，包括疾病在人际交往网络上的传播、复杂的生物途径和基因回路的功能，以及为工程师控制或优化人工交互系统提供理论支持。然而，尽管过去20年取得了重大进展，但我们也开始看到，如果我们的目标是了解更复杂的现象，就需要远远超越我们的现状。原因很简单：许多现实世界的网络并不孤立。相反，它们是相互联系的，形成了一个更大的复杂系统的组成部分。这种网络的例子很普遍。例如，在一个社会系统中，一组个体在同一个人之间以不同的社会互动模式相互作用：个体通过在线社会系统（如Facebook或Twitter）和离线系统（如专业或个人圈子）与他人进行互动。网络传言有多种形式，如博客、“推特”和电子邮件，每种形式都在各自的网络上传播。物理运输依赖于不同的网络，如航空、铁路和公路网络。在单一孤立网络环境下获得的观测和分析结果，一旦与其他网络的相互作用被纳入，就会发生显著变化。因此，对“多层”网络的概念和研究已成为必然。近年来，同步在多层网络中受到了广泛的关注。本文研究了具有不同层间节点连接方式的双层网络的同步性，发现层间连接质量和连接分数对双层网络的同步性有着深刻的影响。
Ⅰ.介绍
近来，科学界对多层网络的兴趣激增。为了分析在相互作用的网络中发生的动态过程，Lee等人提出了一种表示多层网络分析的数学框架[5]。主要思想是描述由一组具有不同和特定功能的耦合网络层形成的交互网络。后来，多层网络吸引了越来越多的关注。在多层网络或交互网络上研究了许多相关主题，例如增长模型[6,7]，扩散和同步[8-12]，串联[13]，进化博弈[14,15]，流行病传播[16]和结构识别[17]等。
作为多层网络和独立网络上典型的动态过程，同步[18-22]已引起众多领域的广泛关注。意见形成是社交网络中发生的典型同步过程[18]。具体而言，不同社交网络中的每个用户可能具有改变他或她自己的意见的不同自然倾向。随着时间的推移，各种社交网络中的所有人都可能与统一意见同步 意见形成过程及其机制已成为多重或多层网络背景下活跃的研究课题。显然，不同层之间的交互对多层网络的动态具有至关重要的影响。通过使用Pecora和Carroll最初引入的主稳定性函数（MSF）方法[23],Park等人[24]在2006年表明，多个网络之间的随机连接可以增强同步性。他们还证明，多个网络之间的随机连接可以在具有更均匀度分布的网络中产生更强的同步性。2013年，Gomez等人[25]研究了与通过互连层连接的一组网络上发生的扩散过程相关的时间尺度，并提出了用于分析多层网络的Supra-Laplacian矩阵的构造。2014年，Aguirre等人[26]研究了具有层间链路的节点在仅具有一个层间链路的整个系统的同步性中所起的作用，并发现连接成对的最大节点将得到最佳同步性。2015年，Li等人[27]研究了由两个层间互连的两个星形网络组成的网络的同步性，分析和数值结果表明，两个节点之间的正相关性会得到双层星形网络的最佳同步性。同时，Xu等人[28]研究了具有一对一层间连接的两层Barabasi-Albert网络的同步性，发现对于足够强的层间连接，负度相关模式会产生最佳的同步性，其次是随机节点相关，而正相关（PC）模式产生的效果最差。最近，Kang等人[29]研究了节点交互群集的同步，发现如果每个群集的基础拓扑中都存在一个生成树，则不同的群集将与给定的模式同步。Chen等人[30]研究了如何通过最佳地连接k个层间链接来最大化相互依赖网络的频谱半径。
现有的许多工作表明，一方面，层间链接的数量及其权重对同步性具有深远的影响。另一方面，层内的不同模型对多路复用网络的同步性具有不同的影响。同时，层之间的层间相关性在确定同步性中起关键作用。因此，我们的工作目标是解决以下有关多层网络同步性的问题：（i）层间链接权重如何影响同步性;[26]（ii）层间连接部分如何影响同步性；[29,30]（iii）层间度相关模式如何影响同步性。[27,28]
本文的其余部分安排如下：II中回顾了一个多层网络模型和两个基于主稳定函数的网络同步性量词。 III中详细说明了具有不同层内拓扑和层间连接的两层网络的同步性。 最后，在IV中得出一些结论。
Ⅱ.预备知识
对于由层组成的多层网络，每个层由个节点组成，维节点（第层中的第个节点）的动力学可以通过以下微分方程描述：
(1)
其中，是第层中第个节点的状态变量；是该节点的动力学方程，是用于定义任何特定层内节点之间的交互作用的层间内联函数。是用于定义单独层上节点之间的交互的层间内联函数。为了将主稳定框架应用于多层网络，必须确定相同的节点动力学和相同的内联函数：，。当且仅当第层中存在从节点到节点的链接时，层内链接权重为正，不然则为0。当且仅当层中的节点与层中的节点之间存在链路时，层间链路权重类似地为正，不然则为0。注意，在层上的节点和不同层上的不同节点之间没有链接。
我们考虑多层网络中最简单的两层网络，也就是说，.我们可以定义维的列状态向量，取两层个节点，每个节点具有个维度。然后，对每个节点遵循相同节点动力学解的特定轨迹进行线性化，也就是说，
，
我们以矩阵形式写出式（1）如下，
（2）
其中，是单位矩阵，和分别是在处计算的f和的雅可比矩阵， 是Supre Laplacian矩阵，定义如下。当然，这只适用于所有节点都接近的轨迹，但这个条件正是用来定义同步性的条件。 假设两层之间的每对链接节点的层间链接权重都相同，即对于不同层之间的连接存在。两层网络的Supre Laplacian矩阵为：
（3）
其中，是层的Laplacian矩阵，由给出的层内邻接矩阵定义。
是描述层之间链接的对角矩阵：如果两层中的节点之间存在链接，则，否则，。的所有非对角项都是0。我们将层间连接分数定义为非零对角线元素的分数。 举个例子，表示两个断开连接的层，其中的所有元素都为零，表示沿其整个对角线最大为1的最大连接层。此外，我们对节点进行排序，使得对于0 lt; lt;1，对角线的所有非零元素都分组在一起，并位于零元素之前。
和的多层网络如图1所示。在我们的两层网络模型中，一层的拓扑结构与第二层的拓扑结构无关。任何节点关联都是由层间连接引入的。
图1.双层网络模型。虚线和实线分别表示层间和层内链接。
对角化Supra-Laplacian方程，等式（2）可以重写为一组非耦合方程，每个方程对应于Supra-Laplacian方程的特征式。这些维方程中的每一个都有一个特征值来代替矩阵。主稳定性函数（MSF）[23]是这种特征式的稳定性确定，取决于该模式的特定特征值。这将判断由个耦合的相同动态节点组成的网络的可同步性转换为判断其（加权）Laplacian矩阵的所有个特征值是否落入网络的同步区域的问题。同步区域完全由节点动力学，节点之间的耦合函数以及节点可能同步到的轨迹决定。 重要的是，同步区域与网络结构本身无关。根据MSF的说法，复杂的系统可能具有各种典型的同步区域集，例如有边界区域，无边界区域，空区域以及多个断开区域的并集。[31]我们将重点关注两种常规方案。[32]在这两种情况下，我们都忽略了最小的零特征值，因为在此模式下的扰动会同等地影响所有节点。
A类系统具有无界的同步区域，这意味着特征值高于某个有限阈值的所有模式都是稳定的。 因此，我们通过网络拉普拉斯算子的第二最小特征值来量化A类系统的同步性。 如果此最小的非零特征值大于MSF给定的阈值，则所有较大的特征值也将落在无界的同步区域内，因此，较大的值对应于较高的同步性。
B类系统具有有界的同步区域，这意味着特征值在两个有限阈值之间的所有模式都是稳定的。 因此，我们通过其网络拉普拉斯算子的本征比来量化B类系统的同步性。 （是拉普拉斯矩阵的最大特征值。）如果该比率小于MSF给定的稳定性阈值的比率，则所有非零特征值都可以落在有界的同步区域内，因此，较小的表示较高的同步性。
这些类别中的任何一个系统的同步性都不再涉及式（1）或（2）的精确动力学，并且已被简化为研究式（3）中定义的多层网络结构的频谱特性。对于一般的多层网络，不存在和的代数表达式[33]，因此我们需要使用数值计算。注意到计算高维矩阵的特征值很费时，我们将采用Kelner等人[34]提出的算法。其中，作者提出了一种简单的组合算法，可以在接近线性的时间内求解对称的对角占优线性系统，这对于计算大规模矩阵的特征值是可行的。
Ⅲ.结果
为了更清楚地了解多层复用网络的同步性，我们考虑了由两层组成的网络（双层网络）。 每层的大小为500，每个独立层的平均节点度约为16。考虑了以下三种拓扑：
- ER-ER双层：每层均由Erdoacute;os和R enyi[35]提出的用于生成随机网络的算法独立形成。 包含每个链接的概率为0.032。 这些网络的集合的平均期望度为16，但是各个实例会有所不同。
- WS-WS双层：每层都是由Watts和Strogatz[36]提出的用于生成小世界网络的算法独立形成的。具体来说，从500个节点的环开始，每个节点通过无向链接连接到其16个最近的邻居。然后以0.2的概率重新连接每条链路的一端，以连接新的从网络中随机选择均匀的节点。这些网络的平均程度正好为16。
- BA-BA双层：每层均由Barabasi和Albert[1]提出的用于生成大型，自由规模网络的算法独立形成。具体来说，从一个包含20个节点的完全连接的网络开始。依次添加其余节点，每个节点连接到8个现有节点的概率与现有节点已经具有的链接。这些网络中的每一个平均精确度为16.12。
对于双层网络，如果一层中的大的度节点倾向于将另一层中的大的度节点连接起来，则这些网络称为正相关（PC）；如果一个大的度节点倾向于将另一层中的小的度节点连接起来，则网络工作称为负相关（NC）。我们考虑了三种层间连接模式：正相关（PC）、负相关（NC）和随机相关（RC）。在PC和NC情况下，第一层中的节点通过降低度数来排序，第二层中的节点通过降低度数（在PC情况下）或增加度数（在NC情况下）来排序。这将最大程度地关联跨层链路的节点度。当并非所有层间链路都存在（lt;1）时，仅包括可能层间链路的第一部分。因此，相应地，第一网络的最高阶节点连接到第二网络的最高度或最低度节点。在RC情况下，两层中的节点都是随机排列的；节点度对存在层间链路的节点没有影响。
对于每一组网络参数，我们生成50个双层模型实例。记录50次运行中每一次的最小非零特征值和特征比。此外，由于弱连接层的特征比太高可能发散，我们将使用而不是来更清楚地说明，这允许特征比进行数量级比较。
这些结果显示了三种层内拓扑（ER-ER、WS-WS和BA-BA）的两个同步性量词（和）的平均值和标准偏差，它们具有不同的层间连接模式（PC、NC和RC）、权重（）和分数（）。
- RC连接模式
在本小节中，我们重点研究RC层间连接模式，并考察层间连接重量和层间连接分数对A类和B类系统同步性的影响。在图2和图3中，黑色正方形表示ER-ER双层的Supre Laplacian矩阵的和，红色圆圈表示WS-WS双层的，蓝色三角形表示BA-BA双层的。
- 同步性与层间连接权重
首先，考虑层间连接权值对网络同步性的影响。我们假设层间连接部分，即一层中的每个节点连接到另一层中的对应节点。层间连接重量在0到20之间变化。我们计算50个随机生成的双层网络的Supre Laplacian矩阵的最小非零特征值和对数特征比，并在图2中绘制平均和标准偏差。
图2的左侧显示关于层间连接重量的变化值的平均。最小特征值的高值对应于具有无界同步区域的A级系统的良好同步性。的低值表示网络中存在几乎断开的区域。很明显，对于相对较小的值，从零迅速增加，然后缓慢增加，最后几乎在某个上限值处趋于平稳。换言之，对于A类双层网络，当该权重较低时，同步性几乎与增加的层间连接权重成线性关系地增强，并且当该权重较高时，同步性几乎与层间连接权重不变。如果存在与层间连接权重增加相关的成本，则将设置为某个最佳值以最大化网络同步性，同时最小化所需成本是可行的。
图2.三个双层模型的最小非零特征值（左）和对数特征比（右）相对于层间连接权重，层间连接分数和RC连接模式。
图2的右面板绘制关于增加的层间
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