约束哈密顿系统的投影龙格-库塔方法外文翻译资料

 2022-01-17 21:55:42

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应用.数学.应用数学。英语版本.， 37(8)， 1077-1094 (2016) 数学与应用数学（英文版）

DOI 10.1007/s10483-016-2119-8 c

上海大学和柏林海德堡大学2016

约束哈密顿系统的投影龙格-库塔方法

李伟，邓子辰，李庆军，王博

  1. 西北工业大学应用数学系，西安710072 中国
  2. 西北工业大学应用数学系，西安710072 中国
  3. 机械与航天工程，俄克拉荷马州立大学，斯蒂尔沃特74074，美国。

摘要 提出了约束哈密顿系统的投影龙格-库塔(R-K)方法。在拉格朗日乘子的框架下，建立了系统的动力学方程，即指数-3微分代数方程(DAEs)。然后采用R-K方法结合投影技术求解DAEs。投影的基本思想是通过修正位置、速度、加速度和能量的变量，消除位置、速度和加速度对约束的破坏，保持受约束哈密顿系统的总能量。数值结果验证了该方法的有效性，并与文献结果进行了比较，表明该方法在保持三层约束和总能量方面具有较高的精度。

关键词 投影龙格-库塔(R-K)法，微分代数方程(DAE)，约束哈密顿系统，能量与约束保持，约束违背

中图分类号O302, O242 2010

数学学科分类号74H40, 70G45

  1. 介绍

约束哈密顿系统有很多应用[1-4]，如多体动力学，经典力学，电路，分子动力学，化学和流体动力学。 约束哈密顿系统的动力学方程通常是非线性代数方程（DAEs）。 许多数值方法可用于解决DAE，例如经典Runge-Kutta（R-K）方法，线性多步骤方法和广义-alpha;方法。 然而，哈密顿系统的性质，如辛，能量，约束，都无法保留。 因此，越来越多的学者研究了结构保持算法。

* 2015年7月26日收到/ 2016年4月4日修订

项目由国家自然科学基金（No.11432010），中国教育部博士研究生基金（No.20126102110023），中国111项目资助项目 （No.B07050），中央大学基础研究基金（No.310201401JCQ01001），西北工业大学博士论文创新基金（No.CX201517）

dagger;通讯作者，电子邮箱：dweifan@nwpu.edu.cn

对于DAE，来自位置，速度或加速度约束流形的计算解的漂移可能在模拟期间发生[5-6]。克服这种困难的流行技术之一是约束反向消除技术，其主要思想是投影法[5,7]。已经证明投影方法对于与DAE相关的大量问题是有价值的[8]。 Ascher和Petzold [9]首先提出了投影隐式R-K方法，用于求解DAE初值和边值的指数-2 Hessenberg系统，并证明了相应数值近似的存在性，稳定性和超收敛性。然后，Ascher和Petzold [10]将这些方法扩展到更高阶的高指数Hessenberg系统，并提出了DAEs的高阶普通微分方程（ODE）部分的投影配置方法和高指数问题的预测不变方法。 Schropp [11-12]提出了用于解决Hessenberg形式的指数-3 DAE的预测RK方法，并给出了相应的收敛定理，并分析了这些方法在平衡，周期轨道或渐近稳定不变集。 Chan等人[13]开发了后投影R-K方法，数值近似仅作为指数-2 DAE输出过程的一部分进行预测。与标准投影相比，这些方法在稳定性上是严格稳定的，并且收敛的顺序是不受影响的。

上述DAE的数学研究主要涉及对可用集成方案的反向约束。考虑到之前的预测无法保留能量，Hairer [14]开发了对称投影方法，用于强化Ascher和Reich对高振荡哈密顿系统的能量守恒[15]。 Andersen [16]提出了一种着名的拨浪鼓算法，该算法是对称的，辛算法，并且通过添加投影步骤[17]几乎保留了哈密尔顿主义用于分子动力学计算。但它只是二阶，因此不能满足高精度要求。因此Console等人[17]提出了对称线性多步投影方法，将二阶优秀的拨动算法扩展到任意高阶算法。他们证明了对称线性多步投影方法具有与拨浪鼓算法相同的定性行为。卡尔沃等人[18]使用R-K方法和投影技术来保留ODE的任何给定Lyapunov函数。卡尔沃等人[19]通过将R-K公式与适当的投影相结合，提出了嵌入式投影方法。这个预测的目的是保留数值积分中的一些第一积分。 Laburta等人[20]通过将标准数值积分方法与某些投影技术相结合，研究了非保守扰动系统的数值积分。 Hairer和Lubich [21]通过增加能量保留投影，为指数-1或指数-2 DAE提出了一种能量保持R-K方法。 Terze等人[22]最近提出了一种用于状态空间中约束多体系统的李群积分方法。多体系统动力学的数学模型被形成为指数-1 DAE。为了消除积分过程中广义位置和速度的数值约束违规，他们引入了基于约束最小二乘最小化算法的约束稳定投影算法。

上述投影方法主要用于研究在位置和速度上反向约束或能量保守的问题。但是，在加速度上上反向约束被忽略了。基于增广拉格朗日公式（ALF），Bayo和Ledesma [23]提出了完整系统的质量正交投影方法，它在三个级别（即位置，速度和加速度上）不产生约束误差。 Tian等人[24]使用质量正交投影法将ALF扩展到基于绝对节点坐标公式的灵活多体动力学。 Dopico等人[25]将ALF扩展到非完整系统并讨论了约束反应及其评估的速度和加速度预测的影响。 Malczyk和Fracedil;zek[26]提出了一种用于一般多体系统动力学仿真的新并行算法。具有质量正交投影的ALF用于防止约束违规错误。对于正交投影，Garc#39;ıa-Orden [27]分析了速度坐标投影与机械能平衡之间的关系。该分析的结果为矩阵选择提供了实用标准。通过将修正的广义alpha;方法与投影相结合，Ding和Pan [28]开发了广义alpha;投影方法，该方法保留了三个层次的约束和能量约束。虽然这种数值方法在三个级别的约束下保持了高数值精度，但能量误差会漂移。由于上述投影方法的优点，在本文中，开发了一种投影R-K方法，该方法通过将R-K方法与投影技术相结合来保留三个级别的约束和能量。本文的结构如下。在第2节中，导出了约束哈密顿系统的运动方程，即DAE。在第3节中，建立了一个预测的R-K方法来解决DAE。数值结果的拟议方法的有效性在第4节中给出，结论性的评论在第5节中给出。

  1. 约束哈密顿系统的控制方程

约束哈密顿系统由n个广义坐标 在l个完整约束下建模，即

这些被称为位置级别[29]上的约束。拉格朗日函数可以写成

其中U（q）是约束哈密顿系统的势能，lambda;isin;是拉格朗日乘子的数组， 是动能，被认为是的二次形式

注意，在等式（3）中，是对称的正有限质量矩阵。 通过使用变分原理，第二个拉格朗日方程可以写成

其中是的第i个分量。 将方程（2）和（3）代入方程（4）得到约束哈密顿系统的运动方程[17]，即

其中nabla;U（q）是势能U（q）相对于q的导数，而是约束方程的雅可比矩阵。 通过引入速度v =的新变量，方程（5）可以转换为一阶DAE。 另外，为了投影，引入加速度变量w =，并且方程（5）可以重新排列为

对于方程（6），有许多结构保留算法，如辛R-K方法，李群方法，广义alpha;方法，变分积分器，以及这些方法的组合[2,30-33]。 然而，使用这些方法不能同时保持三个级别的约束和能量，这导致数值模拟的无效。 为了保持三个层次和能量的约束，预计的R-K方法将在第3节中介绍。在此之前，必须引入一些概念。 通过相对于时间对方程（1）进行一次和两次计算，在速度上上的约束

以及加速度上的约束

可以定义[29]。 应该保守等式（7）和（8），因为等式（1）在任何时间都被保持。 哈密尔顿系统的另一个不变量是总能量，

方程（6）的积分结果也应该在理论上满足方程（7），（8）和（9）。 然而，由于不可避免的积分误差，在计算过程中将违反三个级别的约束和系统总能量的守恒。 因此，必须实施预测以消除或尽量减少这些误差。

  1. 投影的R-K方法

3.1 R-K方法

对于无约束系统，R-K方法可以直接用于求解一阶ODE。 然而，当系统有约束时，并非所有的状态变量都是独立的[34]。 在这种情况下，在使用R-K方法之前，必须将系统的DAE转移到存储器ODE中。 但是，这样做很麻烦。 对于指数-3 DAE（如方程（6）），R-K方法的公式可以在参考文献[12]中找到，方程（6）可以通过以下s阶段R-K方法解决：

且满足下列非线性方程：

其中 h是时间步长，（and;）表示没有投影得到解，和是 权重向量和RK方法的系数矩阵分别为定义为

如果没有进行投影，我们只需简单的让

具有Butcher型的R-K方法的系数A和b可以写成

高斯型的s-stag R-K方法是辛的，并且基于用于ODE的高斯节点具有最高阶2s [35]。 因此，采用高斯型的3-stag R-K方法。 具有Butcher型的系数A，b和c可写为[33]

注意，当将算法（10）应用于等式（6）时，必须在每个步骤处求解非线性等式（11）。 许多方法可用于非线性方程，例如Newton-Raphson迭代。 考虑到算法（10）的数值解不满足约束，导致收敛性差[36]，我们在下一小节中提出了以下投影的R-K方法。

    1. 投影的R-K方法

算法（10）获得的数值结果不保留三个级别的约束和能量。 通过使用投影技术，可以获得一组新的位置，速度和加速度的数值解，并且这些解满足三个层次的约束和总能量的守恒。

      1. 正交投影到位置上的约束

位置解不完全满足位置级别的约束，即等式（1）。 为了满足处的方程（1），我们执行解到位置约束流形的正交投影并得到。 它成为以下约束优化问题

方程（16）提出的问题可以通过引入拉格朗日乘数mu;=（mu;1，mu;2，...，mu;l）T来解决，拉格朗日函数是

为了根据约束优化理论最小化方程（16），我们将Phi;n 1与qn 1相区分并等于零，得到

将方程（18）与方程（16）相结合，可以实现投影公式

求解非线性方程（19），得到投影位置解qn 1，并准确地满足位置上的约束。

      1. 正交投影到速度上的约束

类似地，速度解并不完全满足速度上的约束，即在tn 1处的方程（7）。 解与速度约束流形的正交投影等价于以下约束优化问题：

其中可以通过方程（13）或方程（19）获得，这取决于是否需要的投影。 引入拉格朗日乘数来处理这个优化问题，相应的拉格朗日函数是

相对于vn 1而言，相对于零的收益率来确定

将方程（22）与约束方程（20）相结合，可以将速度的投影公式表示为

      1. 正交投影到加速度上的约束

相同的方法可以应用于加速度解决方案。与加速度约束流形的正交投影等效于以下约束优化问题：

其中G（q）在方程（7）中定义。 通过引入拉格朗日乘数的数组，可以实现加速度的投影公式：

      1. 正交投影到总能量

由于没有消失能量状态变量，对总能量的投影有点不同。 能量的消失可归因于位置和速度的整合误差。 因此，应该校正位置和速度，以便保持总能量。 通过使用相同的过程并引入拉格朗日乘数eta;，可以导出总能量的投影公式。 但是，有两种不同的能量投射策略。 第一篇文章被广泛用于以前的论文[21,28]，可以写成

lt;

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资料编号：[1147]

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