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基于小波变换的导弹颤振实验及数据分析
于开平 叶继元 邹经湘 杨炳渊 杨华
摘要
本文给出了一种基于调频高斯小波变换的脉冲响应函数的模态参数识别方法，同时讨论了影响识别精度的因素及使用该参数识别方法的必要条件，并通过几个二自由度的实例实现了该方法的数值验证。文中介绍了导弹机翼模型的风洞颤振实验，通过使用所提出的小波变换方法分析了来自颤振测试的数据集。首先确定了机翼模型的两阶模态函数，然后采用颤振稳定性参数法预测临界动应力，最后将所得结果与FFT分析得到的结果进行了比较。
1引言
导弹颤振分析主要涉及到防空导弹的侧翼颤动，由于机翼控制系统的刚度较小，而且机翼的两阶模态主要是翘曲和扭转，它们之间的耦合很可能引起误差。此外，还有许多不可控的因素会影响到实验的分析，而进行分析时需要作大量前置假设，这样会导致结论的可靠性有限，因此通过实验来验证结论是很有必要的。目前，导弹设计的实验方法主要是风洞实验。该实验基于亚临界状态下的模态结构，通过模态参数来识别预测颤振临界点。实验常用方法是通过随机递减技术得到结构的自由减量信号或脉冲响应，然后再由一些常规方法得到模态参数，如最小二乘法、ITD方法和复指数法[1]。然而，这些方法对噪音十分敏感。近年来，许多科学家提出了运用小波变换方法来识别结构系统的模态参数的理论。Staszewski和Cooper[2]将这种方法应用于飞机颤振实验数据的分析中，Lamarque等人[5]在分析桥梁的振动实验数据时也采用了此方法。但是，目前该方法尚未应用于风洞颤振试验的数据分析。
本文介绍并分析了基于调频高斯小波变换的模态参数识别方法，然后讲解了防空导弹机翼的颤振实验。论文中心部分，分别应用基于调频高斯小波和频繁响应分析的小波变换方法来识别实验数据。根据确定的模态参数，临界动态压力也能随之确定。最后，比较了这两种方法的最终结果。
2.一般Morlet小波
Morlet小波的一般形式是[1]：
（1）
在本文中，广义的Morlet小波可写作：
（2）
其中c是一个非零常数，是调制频率，是高斯常数。也被称为具有可调参数的Morlet小波，它的傅里叶变换可以写成：
（3）
它是一个非正交的冗余小波。通常，我们需要使减少冗余来提高分析的准确性。容易验证，该小波有如下一些特点：
（4）
（5）
（6）
一般情况下，我们取c=1，并且常直接忽略到方程式（1）和（2）中的第二项，因为当时它们是远小于第一项的。因此，它的小波基函数和傅里叶变化可以由下式给出
其中a是时间参数，b是时间位置参数，它们的时间频率窗口为：
和分别是调频高斯母波的时间和频率窗口的半径。可以看出，这个小波基函数可以自动通过改变频率参数来调整时间频率分辨率。一旦频率窗口的中心固定，窗口的宽度以及该子波的时频分辨率可以通过选择高斯参数来调整。当=1时，所研究的小波即是Morlet小波，它也具有良好的带通特性。如参考文献[2]所示，当小波变换方法用于识别结构系统的模态参数时，其精度与小波的时频分辨率密切相关。出于这个原因，在本文中我们使用具有可调参数的Morlet参数。
3.模型参数的识别
3.1 单一自由度系统（s.d.o.f）
结构系统的脉冲响应函数包含其自然特征。s.d.o.f系统的脉冲响应函数可以写成：
他的小波变换是：
在式（11）中，我们定义然后使用余数定理可得：
其中
也可以写作
从式（14）中，我们可以得到，因为，是无限趋近于0的，即可被忽略。因此，可以从式（12）推出：
模块的对数和小波变换的相位成为了时间参数b的线性函数。它们可以用两条半对数函数的直线来刻画。我们可从这两条直线的斜率得到模态频率和模态阻尼。对于s.d.o.f问题，这种方法具有较高的识别准确性。
3.2 多自由度系统（m.d.o.f）
一点中的脉冲响应可以表示为结构的N个最相关模式的叠加：
其中Aj是残余量，xj是模态阻尼比，onj是无阻尼角频率，odj是阻尼角频率，而f0j是第j个模式的初始相位.从方程（12）-(14），我们可以定义一个线性变换为WT：方程（17）中的WT为：
3.3 小波分析基本理论
设Psi;(t)isin;L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Psi;(t)。当Psi;(t)满足条件[4,7]：
（19）
时，我们称Psi;(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Psi;(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列：
（20）
其中a为伸缩因子，b为平移因子。
对于任意的函数f(t)isin;L 2( R)的连续小波变换为：
（21）
其逆变换为：
（22）
小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a和平移因子b来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。
高空长航时飞机近年来得到了世界的普遍重视。由于其对长航时性能的要求，这种飞机的机翼往往采用非常大的展弦比，且要求结构重量非常低。大展弦比和低重量的要求，往往使得这类结构受载时产生一系列气动弹性问题，如机翼结构的静气动弹性发散、颤振等等。这些问题构成飞行器设计和其它结构设计中的不利因素，甚至极为有害，解决气动弹性问题历来为飞机设计中的关键技术。
气动弹性问题又分为静气动弹性问题和动气动弹性问题。在动气动弹性问题领域中最令人关注的是颤振问题。颤振现象是气动力、结构弹性力和惯性力三者耦合的结果。所以颤振的发生与机翼结构的振动特性密切相关。
在对机翼进行颤振特性的数值计算时，颤振计算结果的正确性和精确性取决于机翼各阶固有振动模态的精确性。真实机翼的固有模态可以通过模态试验测得。
根据颤振数值计算过程的需要，参与计算的各阶模态必须正交，而试验测得的模态并不严格正交，且因为结构阻尼的存在，模态通常为复数。有一种处理方法是通过取幅值，把各阶模态变为实模态，然后对求得的广义质量阵、刚度阵进行修正，使其变为对角阵从而方便数值计算;另一种方法是直接建立机翼的有限元模型，通过数值计算求得固有模态(满足正交性)，但是计算所得模态的正确性需要通过模态试验进行验证。在实际工程中，通常采用第二种方法，本文也采用这种方法的思路。
本文研究对象为一个大展弦比平板机翼模型：一块半展长 1 米，弦长0.12 米，厚度1.8毫米的铝板，边界条件为根部固支。
有限元模型作为颤振分析的基础，也是试验模态结果正确性验证的重要参考。另外根据计算所得的各阶主要模态的节线位置，可以确定传感器测量点和激振点的布放位置(尽量将激振点和测量点放置在远离各阶节线的位置，如果正好在某阶节线上，则该阶模态无法激励出或测量不到)。所以在试验前须根据实际结构建立一个能够充分反映结构质量、刚度特性的有限元模型。模态试验及模态参数的识别是用试验的方法，在结构上施加某种激励，利用测量的激励和响应数据，采用各种数据处理和数学分析方法，获得表征结构动力特性的模态参数。这称为结构动力学的第一类逆问题。
模态参数识别的方法有很多，按照分析域可分为时域法、频域法，按照输入输出又分为单输入单输出法(SISO)、单输入多输出法(SIMO)、多输入多输出法(MIMO)。识别得的参数包括：固有频率模态参数、阻尼比、模态振型、模态质量、模态刚度、模态阻尼。这些模态参数可以用于直接评价结构的动力特性或通过与数值计算结果比较，进行模态验证或修正等等。在模态试验时，振动激励源有不同的选择，包括稳态正弦激励(单频或步进)、正弦扫频激励、随机激励(纯随机、伪随机、触发随机)和锤击激励。根据需要和试验条件可以选择不同的激励方式。
4 小波降噪的原理和方法
4.1 小波降噪原理
从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]：
特征提取
低通滤波
特征信号
重建信号
带噪信号
小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式：
k=0.1hellip;hellip;.n-1
其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。
假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。
4.2 降噪方法
一般来说， 一维信号的降噪过程可以分为 3个步骤进行[5,6]：
1）一维信号的小波分解，选择一个小波并确定一个小波分解的层次N，然后对信号进行N层小波分解计算。
- 小波分解高频系数的阈值量化，对第1层到第N层的每一层高频系数， 选择一个阈值进行软阈值量化处理．
- 一维小波的重构。根据小波分解的第 N层的低频系数和经过量化处理后的第1层到第N 层的高频系数，进行一维信号的小波重构。在这 3个步骤中，最核心的就是如何选取阈值并对阈值进行量化，在某种程度上它关系到信号降噪的质量．在小波变换中，对各层系数所需的阈值一般根据原始信号的信号噪声比来选取，也即通过小波各层分解系数的标准差来求取，在得到信号噪声强度后，可以确定各层的阈值。这里着重讨论了信号在两种不同小波恢复后信号质量的不同和对信号中的信号与噪声进行分离。
5 仿真实验
本文采用Mtalab本身程序提供的noissin信号函数及初设原始信号f（x）为例进行Matlab分析[1,3],其中：
e = noissin 0.5*randn(size(e1));
在风洞实验中，由于气流噪声带的限制，结构响应太弱而无法分析。 出于这个原因，我们在实验结构上安装一个激励器，并给予机翼表面随机激励以增加带宽。 激励位置如上图所示。随机激励包括磁激励器和功率放大器。 白噪声信号由动态信号分析仪生成。
首先对noissin函数上叠加上随机噪声信号得到e，分别对比采用db10小波和sym8小波对信号e进行5层分解，并且细节系数选用minimaxi阈值模式和尺度噪声（db10）以及选用sure阈值模式和尺度噪声(sym8)。在进行噪声消除后，还对原信号进行进一步分析，好 EN R2007a)将原始信号和噪声信号分离开来，仿真结果如图所示：
图1
图2
图3
图1-1为原始信号图形，1-2为叠加随机噪声后的图形，而1-3和1-4为利用db10和sym8小波默认阈值降噪后的信号图形。从图1-3和1-4可以看出利用db10和sym8小波降噪后的信号基本上恢复了原始信号，去噪效果明显。但是滤波后的信号与原始信号也有不同，从图中可以很直观地看到采用阈值消噪后信号特征值较少无法准确还原原始信号 这是由于为降噪过程中所用的分析小波和细节系数的阈值不恰当所致，如需要更好的恢复信号，还可以采用其它种类小波对其进行分析，通过选取不同的阈值，分析结果，得到一个合适的阈值。
从图2和图3中看出，在经过用db10对信号进行5层分解，然后分别对分解的第5层到第1层的低频系数和高频系数进行重构。可以得出其主要基波函数和高频噪声函数的图形，其中小分波分解的细节信号是有白噪声分解得到的，而正弦信号可以在图2中的近似信号a5得到。因为在这一层的影响
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