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5. 实证研究
在本章中，我们将拟合上述模型和方法，并计算真实数据集的并评估其性能。计算是通过前面第2章提到的由和波动率估计参数方法完成的，他们的表现评估将通过第四章中介绍的几个后测的统计值来完成，分析将在样本内和样本外两个数据子集上分别执行。稍后会提供更精确的性能评估的某些模型，然后在其他样本上进行计算评估。
本章内容如下，首先我们对数据进行分析，其次，我们使用我们的两组模型来制作两个子样本的波动性预测及其诊断，然后我们计算并回溯测试结果。最后一节是得到模式的总体表现和他们的总结结果。我们尝试得出我们的假设，即具有分布的模型如果在预测风险价值测度方面不优于模型，这可以是一个好的选择去应用。
5.1 数据分析
我们将分析包含5个不同财务指标从雅虎财务获得的数据集。 每个系列涉及每日1000次观察的收盘价格并分为两个子集。指数、、、和是具有市值价值的指数和衡量指标变化市场价格，而也考虑股息支付并反映股息再投资的影响。当价格可能包含不是由实际价格变动造成的不连续跳跃，这可能会偏离我们对DAX指数的分析。
bull; 500 (): 5/14/08 - 7/18/11 - 5/1/12
bull; (): 5/14/08 - 7/18/11 - 5/1/12
bull; 100 (): 5/19/08 - 7/19/11 - 5/1/12
bull; 40 (): 6/10/08 - 7/21/11 - 4/30/12
bull; 30 (): 6/9/08 - 7/20/11 - 4/30/12
每日收盘价格在时刻，我们的目标已转化为每日连续复利收益。从论文的准确性做考虑和避免这些全球知名的区域特征指数，我们选中两个美国的指标和三个欧洲的指标。只要交易日期不是国际标准化的所有样本的开始日期各指数有所不同。 这不会对我们构成问题，而我们不会将指数组合成投资组合或者我们不研究它们的相对相关性。
选择合适的数据集的重要部分是选择合适的数据集长度。 虽然，通常持有的时间越长，效果越好，我们不得不满足只有3年以下的时间。 原因是数值检验时参数经验计算的不确定性。
正如我们已经提到的，为了更精确地评估模型，我们将系列划分分成两个子数据集; 样本内（前800个观察）和样本外（剩余200个观察结果）。 前者将用于参数，可能性和波动率估计，然后两者都将用于评估其表现。 对于某些模型的超出样本子集的参数每20个观测值重新计算一次，并在前一日收到波动预测。由于这种情况的与真实的环境类似，这将使我们能够对模型做出更好的决策。 在这里，我们能够测试模型的预测能力向后200次真实观测。
在图5.1中，我们可以看到所有指数的收盘价格。在第800次观察中，虚线垂直线将我们的样本划分为样本内子集和样本外子集。由于我们可观察期的开始时间是中点，因此指数表现相同2008年所有价格因当代经济和金融危机而呈下降趋势。首先要经过200多次观察强化和价格开始再次上涨。 因为所提到的危机的影响渐渐消失，整个样本的所有指数都非常不稳定。 从图中我们无法捕捉到任何信息指数之间更强的相关性。 虽然，第一个子集FTSE和DAX指数有类似的演变，外部样本FTSE和CAC之间有一些关联，甚至CAC指数也低得多价格（整个指数一直下降）。
图 5. 1
图 5. 1
我们要使用和分析的是上述的对数回报的收盘价格和他们的财产。 由于收盘价格的演变是非平稳，对数回报通常会将系列转换为平稳。图表5.2显示了整个期间CAC指数的对数回报。 我们选择的例子CAC平均波动似乎是来自所有指数的。 在这上面我们可以比较两个子集的波动性。 样本内子集似乎已经达到较高的波动率并且波动率聚类可以很好地观察到。后面的子集整体来看更具波动性，即使它并没有达到如此之高波动性。波动率聚类也很明显，但形式较为薄弱。
现在，我们将研究子样本及其特征只有分开。 每日对数回报在附录图B.1中描述。对于主要时期的所有指数来说，波动率聚类非常明显一个时期集中在2009年左右，其次是波动较小的2010年的中期。所以，从图形分析我们可以推导出这个子集异方差性。进一步的图B.2和B.3，对数回报和直方图、qq图的反正态分布分别意味着对数收益分布的非正态性。在表A.1中这通过系列的描述性统计来验证。每个系列的峰度高出正态分布的峰度约三倍。标准普尔存在负偏态，纳斯达克和富时指数约为-0.2，其余两个正偏度在0.28左右。前面提到的B.2与直方图一起提出了关于金融时间序列的肥尾的假设以及尖峰(leptokurtic)分布。系列的正态性也由Jarque-Bera检验统计检验，对每个序列的任何显著性水平下，我们可以拒绝正态性的无效。所有指数的最大值和最小值都非常相似，并且落在高度的索赔中不稳定期。我们通过两个不同的测试来调查我们系列的平稳性。熟悉的Augmented Dickey-Fuller测试（ADF）拒绝所有的单位根系列。同样，不太清楚但更严格的Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin测试（KPSS）不能拒绝所有系列的趋势平稳性原假设。从这两个测试中，推测了样本内子集的平稳性。
与样本内相比，样本外子集将会有很大的不同特点。首先，主要的可能性就是那个序列看起来像正常分布。一个合理的解释是，子集只有200个观察点，对于程式化的事实来说不够长金融波动将变得明显，并为我们做出准确的判断。此外，如图B.6对数回报所示，波动率聚类的结果非常勉强。看看我们指数的直方图和qq图，B.7和B.8，我们看到正态分布t更接近实现返回的样本内子集的情况。描述性统计表A.2接近我们的正常假设。CAC和DAX确认Jarque-Bera检验无效的指数在5％显著水平不能被拒绝DAX也没有达到10％的水平。他们的峰度非常接近3并且有非常小的负偏态。标准普尔，纳斯达克，富时指数有峰度大约5，也表现出负面倾斜和肥尾。对全部指数ADF和KPSS测试证实平稳性。
基于上述的分析，我们为我们的研究选择的学生t分布假设是错误的。这种分布是对称的并且是肥尾的。参数v，自由度，将由两个子样本的模型估计和所有指数。参数v，自由度，将通过两个模型对子样本和所有指数进行估计。 这些估计也将肯定一些指数已经非常接近正态分布。V被认定为显著性水平较高，大约有20，30或40的自由度。
对数回报中的依存结构分析点到我们以前的结论。样本内和样本外子集的自相关函数（ACF）B.4和B.9除了第一次滞后，在30天里都不表示强自相关。由于财务时间序列通常以平方观测中的高持续性为特征，所以它在我们的观测中平方图回报ACF，B.5和B.10，其中只有很慢的衰变。
5.2 模型应用
此后，我们应用我们的两个可比较的模型来估计参数和样本内和样本外数据集的波动性。为了比较随机波动率与GARCH模型，我们选择了两种模型的基本形式，即SVAR（1）和GARCH（1,1）。对于GARCH（1,1）的选择，首先，通过我们自己的计算和比较Akaike信息标准对于GARCH（p，q），如表A.3所示,其中p = {1,2}和q = {1,2}。即使GARCH（2,2）有两个指数降低AIC，我们也考虑简约性规则并选择更简单的模型。其次，通过普遍的做法和有利的许多研究论文的结果和第三，关于ARSV（p）的选择。由于SV难以计算数值，唯一需要考虑的是我们论文的ARSV（1）模型。正如我们在上面的章节中总结的那样，所有指数的样本集都是肥尾和尖峰(leptokurtic)的我们将假设学生t分布是错误的。对于GARCH（1,1）-t我们将通过3.3节中描述的最大似然估计来估计参数, , , 。我们用过Matlab,可得GARCH-t模型的ML的结果在表5.1。 每个参数都有显著的估计值且自由度大约在每个索引值8.5附近。我们能够立即计算出GARCH波动率。
对于SVAR（1）的计算，我们用高效重要的抽样和蒙特卡洛数值方法估计参数 ， ， ， (详细说明在第3.2节）。下表5.2列出了SV-t参数的ML-EIS估计。同样对于这个模型，所有参数都是显著的，其中显著性最低的是参数rho;。然而，对于所有指数来说，它仍然足以达到95％的置信水平，自由度高于GARCH
模型。估计移动大约40个自由度，表示更近似于高斯分布形状。
表5. 1 GARCH（1,1）-t模型的ML估计结果
标准误差在括号内计算。
表5. 2 ARSV（1）-t模型的ML-EIS估计结果
MC数字标准错误在括号内。
在这个模型中，我们仅使用经过过滤后的参数 ，我们得到波动率为 。当估计模型参数并预测特定波动率时，我们可以预测样本外子集。对于前20个观测值，我们提前一天预测时间（t），我们使用样本子集中估计的参数，并在(t-1）上观察到返回值。对于接下来的20个观察，我们重新计算参数，并再次提前一天进行预测一天后面的观察。 这个程序重复了十次，直到我们预测了第200次观察。
在图B.11中描述了样本内集合的特定指数的估计波动率。我们可以看到SV计算的波动率超过了所有指数的GARCH波动率。 SV波动性唯一一次与GARCH波动率预测相交是当波动率处于峰值时，即2008年 - 2009年全球金融危机期间受到强烈冲击。但由于波动是不可观测的，我们可以不说这两种模型的适用性数据。因此，我们快速浏览归一化残差的分析和其平方。
表5.3总结了SV-t模型的诊断，并绘制成图B.12以及B.13中对N（0,1）的qq图。如果模型是正确的，则的分布应该是标准正态分布。我们提供具有其特定p值的偏度和峰度，Kolmogorov-Smirnov z-统计量KS（）和Ljung-Box Q-统计量Q20（），Q20（）的值。对于所有指数来说，残差都在3左右，正态分布的峰度和负偏度只是非常小的。残差的Q统计表明它们在20个滞后时间内没有自相关，尽管平方残差表现出连续的相关性，并且表明未能解释某些动态。另一方面，标准正态分布由KS（）进行检验，并且对于所有系列，在1％显著性水平下，不能拒绝残差为标准正态分布。
表5. 3 SV（1）-t模型归一化残差的诊断
括号内计算p值。
GARCH模型标准化残差的诊断见表5.4。附录中给出了绘制的残差和它们的qq图分别为B.14和B.15。与SV诊断相对应，峰度值非常接近3，而偏度与零比较接近。尽管在GARCH残差的情况下偏度更高。对于归一化残差和其平方值的Ljung-Box Q统计量表明，即使不是一种情况，也不存在残差自相关。另一方面，在所有显著水平下，KS（）检验在标准普尔和纳斯达克指数的情况下拒绝标准正态分布。其余三个指数null不能在1％的水平上被拒绝。
表5. 4诊断GARCH（1,1）-t模型归一化残差
括号内计算p值。
尽管如此，我们的兴趣点在于决定哪个模型更好地预测VaR度量的性能，因此我们继续进行VaR预测及其后续测试。
5.3 风险价值计算和回溯测试
这部分是我们实证研究的目的。 这里我们用上面的计算这两个子样本的波动率可以计算出一天前的参数VaR预测在3个置信水平下alpha; =（90％;95％;99％）。这个计算方法在第2章中说明。对于每个指标，我们分别比较两个模型的结果和基于回溯测试的程序，我们将为样本内和样本外子集定义更好的拟合模型。我们会考虑将样本外结果视为更确凿的结果，但是如上所述，样本外样本的测试结果为我们提供了更真实的结论。 这些结果的汇总在下一节中提供。
5.3.1 在样本内
为了图示，我们计算了一天前的95％VaR并将其绘制在图5.3中。当SV高于GARCH波动率时，结果似乎与图B.11绘制的波动率估计一致。由于我们仅考虑VaR的长仓，于是在GARCH模型计算的VaR下算出了SV模型的最大值。从第一眼看来，风险价值（SV）看起来夸大了风险，所以它更安全。 但对于金融机构来说，保留相应的储备金可能代价很高。 反之亦然，在危机期间，风险价值（SV）似乎低于负值收益和损失的特定风险，而不是风险价值（GARCH）。要更准确地评估它，我们必须使用第4章中描述的回溯测试方法。附录中的每个索引都有自己的特定回溯测试结果表。
我们分析第一个S＆P 500指数，其结果列于表A.4中，以90％的置信区间开始。这前一天的的VaR（GARCH）和VaR（SV）都位于交通灯的红色区域。根据巴塞尔协议II框架，这将表明需要重新计算两种模型，并使用特定的乘法器来更加有效地重新计算它们。考虑到错误的可能性，SV模型只有3.13％，在计算90％置信水平时的VaR时可能有点不严格。另一方面，GARCH的VaR有8.38％的失败率，推测更准确。但是超过VaR概率的事后损失的准确性是主体无条件覆盖。对于最关键的测试，我们因此考虑无条件和有条件的覆盖率和独立性测试。条件覆盖包含无条件覆盖率和独立性的似然比，因此它更一般地评估模型。对于这两种计算方法，90％的风险价值都被无条件和有条件的覆盖率所相当地拒绝，而风险价值的事后超额与其覆盖率alpha;不一致。作为补充测试，我们已经使用了TUFF测试，假设第一次失败出现在1/(1-alpha;)天。GARCH和SV模型一起进行TUFF测试与独立测试并选择模型。
对于95％的风险价值，VaR（GARCH）的4.5％失败率将更加准确，也被无条件覆盖所接受。 但根据巴塞尔II测试框架，只要模型仍处于红色区域，模型应该重新计算。比较所有的回溯测试的结果，VaR（GAR
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