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1.介绍
具有战略意义的排队系统的经济分析客户行为已经获得了相当大的兴趣因为Naor [8]和Edelson和Hildebrand [3]的作品是出版。 有关队列长度的信息是一个重要因素对于决定是否加入队列的客户或不。 具有战略客户行为的排队系统是通常分为两组：可观察和不可观察
队列。 在可观察的队列中，客户被告知到达时的队列长度，而在不可观察的队列中客户在抵达时不会被告知队列长度。 对于更多细节，请参阅Hassin和Haviv [6]。
重要的是要调查它是否对服务有效provider（服务器）提供有关队列长度的信息对客户而言，有意增加服务提供商的意愿自己的利润（收入）。已经进行了大量的研究关于信息水平对战略行为的影响客户以及服务提供商的利润。例如，Economou和Kanta [2]考虑了M / M / 1队列系统的等待空间被划分为隔间具有固定容量的客户。在进入之前，客户被告知他们将进入哪个隔间和/或隔间内的位置。郭和Zipkin [4]考虑过具有非线性等待成本函数的M / M / 1队列，也取决于客户的延迟敏感度。 HASSIN和Koshman [7]考虑了到达的M / M / 1队列客户无法观察队列长度，但仅通知如果队列长度高于或低于阈值（即，拥堵程度高或低。多布森和平克[1]开发了一个定制生产环境的随机模型客户对等待的容忍度不同。该公司（服务提供商）可以选择分享不同的金额有关客户可能产生的提前期的信息。为一个信息控制摘要，请参阅本书第3.5节哈辛[5]。此外，Shone等人。 [9]研究了条件有效抵达率（客户加入的比率）相等可观察和不可观察之间的服务队列M / M / 1队列。
本文的目的是找到最佳信息服务提供商应采用的披露政策最大化自己的利润。 我们假设服务提供商每个加入队列的客户都有固定收入，所以服务提供商应最大化有效到达率最大化自己的利润。 也就是服务的目标提供者是为了最大化系统的吞吐量。Simhon等。 [10]研究了最优信息披露政策M / M / 1队列。 他们证明了告知客户的政策关于队列长度低于时的当前队列长度指定的阈值并在队列时隐藏信息长度超过阈值，永远不是最佳的。
在本文中，我们将找到最佳信息披露M / M / 1队列中的策略。 我们的最优政策如下：服务提供商在何时通知所有客户队列长度队列长度高于指定的阈值，而不是队列长度低于阈值时通知他们。
本文的结构如下。 在第2节中，我们描述了模型并简要讨论客户的均衡策略根据服务提供商采用的政策。 在第3节中，我们找到最佳的信息披露政策。
2.模型
我们考虑先到先得的M / M / 1队列学科。客户根据泊松过程到达速率lambda;，允许他们决定是加入还是拒绝抵达时。服务时间是独立的，并且是指数级的以平均分布。留住客户的成本系统（等待或服务）是每单位时间的C.所有客户在完成服务时都获得相同的奖励R，其中（如果，那么客户没有动力加入队列）。我们用表示提供的系统负载。
我们考虑依赖于州的信息披露政策u，它由从到[0,1]的映射表示。价值u（i），，是服务提供者给出的概率当有i个顾客时，给到达的顾客的信息系统（包括服务的客户）。 LetUbe套装所有信息披露政策。如果对于所有ige;0，u（i）= 1，那么该信息披露政策用u 表示。在这种情况下正是Naor [8]提出的可观察模型。如果你（i）= 0对于所有ige;0，该信息披露政策用u-表示。在这种情况下，它是由埃德尔森和埃德尔森提出的不可观察的模型
希尔德布兰德[3]。
到达的客户决定加入或拒绝取决于她的预期等待成本和奖励。假设客户在选择服务提供商时了解服务提供商的政策策略。如果预期等待，客户将加入队列考虑到可用的费用（包括她的服务费用）有关队列长度的信息小于奖励，并且如果它大于奖励，将会犹豫不决。我们考虑客户加入s的策略，由映射表示Z cup;{Delta;}至[0,1]。具体而言，s（i），iisin;Z ，是a的概率当该客户被告知时，到达的客户加入队列系统中有i个客户，s（Delta;）是概率当该客户到达时，到达的客户加入队列没有告知队列长度。设N（t）是时刻t系统中的客户数。如果策略u由服务提供商采用，策略是由客户采用，然后随机分布过程{N（t）：tge;0}被确定。如果N（t）有静止在（u，s）下分布，则静止分布是唯一的。设pi;u，s（i），iisin;Z 表示N（t）的平稳分布（u，s），如果存在的话。对于给定的策略u，策略s是均衡的策略当且仅当N（t）具有静态分布和以下条件成立：
若，则；（1）
若，则；（2）
若，则
若
式（1）意味着如果知情的客户将加入队列留在系统中的预期成本低于奖励R，即，式（2）意味着知情的客户会犹豫不决如果她的预期成本大于R，即如果，然后，知情的客户在加入和加入之间无动于衷跟踪，所以s（i）可以在[0,1]中取任何值。式。 （3）意思是如果预期成本不合格，则不知情的客户将加入队列小于R. Eq。 （4）意味着不知情的客户会犹豫不决她的预期成本大于R.如果，然后，不知情的客户在加入和加入之间无动于衷跟踪，所以s（Delta;）可以取[0,1]中的任何值。请注意（3）和（4）的条件要求.因此，如果，则s（Delta;）可取任何值[0,1]。在这种情况下，如果pi;u，s（i），iisin;Z 是稳态分布然后，服务提供商通知N（t）所有到达的客户队列长度。因此，客户不需要使用概率s（Delta;）。
服务提供商的目标是最大化自己的利润从服务完成生成。 让涂，s是长期的（u，s）下的服务完成情况。 然后Tu，s给出Tu，s =mu;（1 - pi;u，s（0）），如果服务器在稳定状态下处于空闲状态的概率是pi;u，S（0）。 对于政策uisin;U，让苏成为所有均衡策略的集合关于你。 可以证明，对于每个uisin;U，Su̸=phi;。证据可以在附录A中找到。如果s是均衡策略对于u，即sisin;Su，则N（t）具有唯一的平稳分布，pi;u，s（i），iisin;Z 。 因此，如果s是平衡策略，则pi;u，s（0）gt; 0uuml;。 当且仅当，政策u *是最优的Tu *，s *ge;Tu，s表示所有uisin;U，sisin;Su，s *isin;Su*。在以下两个例子中，我们提出均衡策略和静止空闲概率，当两种类型政策，u 和u-，由服务提供商使用。
示例1（当采用政策u 时）。 假设一个到达的客户被告知我有客户系统（到达时刻）。 考虑两种情况的不是整数且是单独的整数。 如果不是一个整数，然后sisin;Su 当且仅当
在u 和sisin;Su 下，N（t）是有限的生灭过程状态空间出生率lambda;从州i到州i 1表示所有0le;ile;[] - 1和死亡率mu;从i到i - 1为全1le;ile;[]。 这是标准M / M / 1 / []队列。 从而，如果是一个整数，然后sisin;Su 当且仅当s（i）= 1时才是全部对于所有和s（i）= 0。在u 和sisin;Su ，N（t）是有限状态空间的生灭过程出生率lambda;从州i到州i 1为0le;ile;和出生率lambda;s
对于。死亡率从i到i-1是对于所有，因此，。
总之，静止空闲概率由下式给出，因此，
示例2（当采用政策时）。考虑这两种情况当和分开。如果
，然后全部客户加入队列。这是因为预期成本较低即使所有客户都加入队列，也要等于或等于R.从而，当，策略s是一种均衡策略策略u-当且仅当s（Delta;）= 1，s(i)=1时，对于所有和s(i)=0对于所有。假设和令q = s（Delta;）。如果s是政策的均衡策略，因此很容易看出0 lt;q lt;1。有效到达率是lambda;q。自所有客户在加入和跟踪之间无动于衷（参阅（3）和（4）），（u-，s）下稳定状态下的平均客户数量，这是，等于。因此。总结一下，sisin;Su-当且仅当不知情的客户有可能加入队列时对于所有，s（Delta;），s（i）= 1和对于所有s（i）= 0。这里
我们注意到，如果sisin;Su-，则给出静止空闲概率如果，则为1-rho;如果，则为。 也就是说，如果sisin;Su-，然后
因此
3.最优政策
在本节中，我们确定最佳信息披露应由服务提供商采用的政策。 如果，然后所有客户在使用策略u时加入队列，如如果，则u-是最优策略。假设。 从现在开始，我们定义了一个阈值类型策略u，将在定理1中显示为最优策略。在策略u下，服务提供者隐藏队列长度当它低于阈值并在它高于时显示它阈。 更具体地说，你的定义是
(5)
其中将确定阈值D和概率p通过尽可能多地让不知情的客户获得并获得他们加入队列。 设sisin;Su和s（Delta;）= 1，即s是a政策的均衡策略u和所有不知情的客户在均衡策略下加入队列。 如果，然后在（u，s）下，N（t）是有限状态下的生灭过程空间，出生率lambda;从状态i到状态i 1对于ile;D，0le;ile;D-1和出生率lambda;（1-p）。 死亡率对于所有1le;ile;D 1，从i到i-1是mu;。 静止分布是由
因为，我们有，通过（4）
主题是为了让不知情的客户尽可能多到（7），我们将选择满足（7）的最大D （1-p）。 以来（7）的左侧在D （1 - p）中严格增加，我们选择阈值D和概率p使得相等（7）持有。 因此，我们应该分别定义D和p
(8)
(9)
以下引理表明阈值D和概率p由（8）和（9）明确定义。
引理1.假定
(i)由（8）给出的阈值是明确定义的并且它满足 (10)
(ii) 有一个独特的概率令人满意
证明：为了证明(i)，注意到
因此是明确定义。 为了表示（10），相反地假设，则
这与的定义相矛盾，因此（10）成立。接下来，为了证明（ii），让
则f在严格单调递减。此外，且.。因此存在一个特殊的解例如，即（9）
我们有以下主要结果。 证据最后给出这部分。
定理1：(i)若，则是一个最优决策。此外，当且仅当对于所有和对于所有，对，且。
(ii)若，则由（5）给出，是一个最优决策。此外，当且仅当对于所有和=0对于所有。对于
(11)
备注。 定理1表明了通知客户的政策关于队列长度很长并隐藏信息当它很短时，是最佳的。 有这样一个门槛服务提供商在何时通知客户队列长度队列长度高于阈值并隐藏信息当队列长度低于阈值时。 请注意如果，则阈值为，如果是，则阈值是无限的。
从定理1，我们得到以下推论比较静态空闲概率。
推论1.（i）如果，那么u-是最优的，u 永远不是最佳。
（ii）如果，然后u 和u-永远不是最优的。根据定理1，客户的战略行为是给出如下推论。
根据定理1，客户的战略行为是给出如下推论。
推论2.设u *由u-定义，如果和若果。 假设服务提供商采用最优策略U *。 遵循均衡策略的客户加入了如果没有告知到达的客户队列长度，则排队否则就是这样。 也就是说，对于sisin;Su*，对于所有i，s（Delta;）= 1并且s（i）= 0用u *（i）gt; 0。
现在我们将证明定理1.因为这个定理的第（i）部分是在本节开头解释，我们只证明第（ii）部分。为了证明这一点，我们需要以下引理。
引理2：若且,则。
其中Eu，s表示（u，s）下的期望，N表示处于稳定状态的系统中的客户数量。
证明：注意到
在（u，s）下，条件期望的数量在任意到达之前系统中的客户，鉴于到达的客户加入队列，是
通过将（2）应用于上述表达式的分子，我们得到了
可以由（4）注意到若，则。通过这个我们有。因此，
根据伯克定理，我与平均客户数相同在任意离开后立即在系统中。该系统中客户数量的概率在任意离开为k之前，是N = k-1的概率给定Ngt; 0.因此，系统中的平均客户数量在任意离开之前，等于Eu，s [N-1 | Ngt;0]。 因此，I = Eu，s [N - 1 | Ngt; 0]，完成了证明。
现在我们准备证明定理1的第（二）部分。我们只需要当时证明这一点，在整个过程中假设证明。
定理一的证明：我们首先证明当且仅当对于所有且对于所有。假定有一个决策满足，
对于所有， (12)
对于所有。 (13)
通过（6）和（9），
(14)
这意味着（3）和（4）都是真实的。 因此，
sisin;Su。
为了表明相反，假设sisin;Su。 通过（1）和（2），它就足够了显示s（Delta;）= 1.通过（2）和（10），对于所有i，我们有s（i）= 0u（i）gt; 0.在（u，s）下，N（t）是有限的出生和死亡过程状态空间{0,1 ,.。。 ，D 1}，出生率lambda;s（Delta;）从状态i到状态i 1表示0le;ile;D-1和出生率lambda;s（Delta;）（1-p）表示我= D. 对于所有1le;ile;D 1，从i到i-1的死亡率是mu;静态分布由以下给出
(15)
在附录B中，我们表明如果s（Delta;）lt;1，那么
。
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