李代数的扩张结构
作者：A.L.Agore·G.Militaru
国籍：比利时·罗马尼亚
出处：A. L. Agore，G. Militaru. Extending structures for Lie algebras［J］. Monatshefte fuuml;r Mathematik，2014，174：169-193.
中文译文：
摘要：设为李代数, 是一个向量空间且有子空间。该论文着重研究李代数的扩张结构问题，此问题要求分类 是的李子代数。 本文引入了名为统一乘积的一般乘积作为方法工具。设 是 在上的补: 统一乘积与一个系统 相关，此系统的 、 、 、 为映射。 上存在一个李代数结构且含作为李子代数当且仅当。 所有这类上的李代数结构都被明确构造的两个上同调类型对象分类。一个是 将对所有的李代数结构分类使得稳定同构，另一个是 从扩张问题出发提供分类。在一些例子中详细计算和。
关键词：扩张与分解问题；统一乘积；李代数相对（非Abel）上同调
- 介绍
李代数在不同的领域有广泛的研究与应用，例如微分几何、经典/量子力学或粒子物理理论。在微分几何中，李代数自然出现在流形上对称（李）群的切空间上。在哈密顿力学中，相空间是李代数的一个例子，而在量子力学中，海森堡假设存在无限维算子李代数：量子力学理论或多或少遵循李代数的性质。在粒子物理理论中，李代数起着关键作用。例如，玻色弦理论使用李代数来制定算子和状态空间。除了在上述领域的显着应用之外，李代数本身就是研究对象。 在这种情况下一个问题就自然而然被提出（贯穿了整篇文章, 即“李代数同构 ，它保持 稳定”意思是存在一个李代数同构，它在子空间上的限制是恒等映射）：
-
- 扩张结构问题
设为李代数, 是一个向量空间且有子空间 。在稳定于的李代数同构意义下描述和分类上所有李代数结构 使得其在上将 作为 的李子代数。我们在 [1] 中的群的层面以及 [2] 中更一般的 Hopf 代数层面研究了相同的问题。 即使问题的陈述是基本的，问题也证明是一个困难的问题。例如，如果 那么扩张问题就要求分类所有的向量空间 上的李代数结构，这是一个广泛的问题。为此原因, 从现在起我们将讨论 的情况。虽然扩张问题很困难，但是在定义 5.1 中我们称之为 到 的标志扩展结构的情况下，我们可以提供一个详细的答案。首先，我们将解释对扩张问题分类部分的回答是什么意思。考虑到我们想要将上的李代数结构扩展到更大的向量空间，通过分类我们总是意味着分类到李代数的同构 稳定,即 ,对所有。 因此，问题归结为从第一个角度实际构建分类对象：它将是一个相对上同调的“群”。 另一方面，正如我们将在下面解释的，扩张问题概括了扩展问题。因此，我们也可以从这个角度要求分类，即达到同时稳定 与余稳定 ,这是上的补集。 这将是第二个分类对象，将推广经典的二阶上同调群 。
扩张问题概括并统一了李代数理论中的两个著名问题：可追溯到 Chevalley 和 Eilenberg [9] 的扩展问题和源于 Levi 和 Malcev 经典结果的分解问题 [8，定理 5] 。 我们将简要解释这一点。 给定李代数 和 。 扩展问题要求对所有包含 g 作为理想的李代数 E 进行分类，使得。等价地，扩张理论要求分类所有李代数 ，其符合序列
现在, 如果我们替换扩张结构问题的条件“ 是的李代数” 为更严格的条件, 即 “是的理想”, 那么我们得到扩张问题的新表述： 任何一个上由作为理想组成的李代数结构是 通过李代数 的扩张。在这种情况下, 设是正则投影 而且 是的线性部分, 即 。 我们定义 和 式子如下:
对于所有的 和。 在几何语言中 被称为联络, 而是曲率: 有关微分几何中扩张问题重要性的更多详细信息，我们参考 [4, 章节 4] 和 [16]。 那么系统 是李代数和映射的交叉系统：
是李代数的同构（详见推论 4.1）。在这个典型的通过理想和商集重新构造的李代数 , 是 的理想从一开始就起了至关重要的作用: 它是证明 和 f 取值主要的组成部分。若我们放弃 是 的理想且只要求是的李子代数, 因为我们公式化了扩张问题, 那么上面的构造就不能再进行了，我们必须想出一个从给定的李子代数和另一组数据重建李代数 的方法。这就是第3章所做的工作。关于李代数的扩张问题的进一步参考，在阿贝尔或非阿贝尔情况下，我们参考[3,4,9,11,13,23]。分解问题是扩张问题的对偶问题。它要求在同构意义下描述和分类上的所有李代数结构使得能分解成两个给定李代数和的和: 即 包含 和 作为李子代数使得 且 。
分解问题也是扩张结构问题的一个特例，如果我们再附加条件:我们考虑 是 作为 的补集，且是中与同构的李子代数。 对于扩张问题，[17,19] 中独立证明了李代数 E 通过 和 分解当且仅当, 此处 是与对应李代数系统。 详细信息在第4章给出。 本文章由如下构成: 在第3章我们将会阐述抽象的统一乘积结构 : 它结合了, 向量空间 和扩张数据 其称为 通过的扩张数据。 定理 3.2 构建了一套公理其必须满足 使得 具有方括号积的二元运算。在这种情况下, 被称为 通过 的李代数扩张结构。现在设 为李代数, 是由作为李子代数以及为 在 上补集的李代数。 定理 3.4 提供了描述扩张理论的回答:在上存在一个运算 使得是 的子代数当且仅当存在同构 , 对某一李代数扩张结构系统 。
分类在稳定于的李代数同构意义下所有的李代数扩张结构问题在定理 3.7给予了回答: 我们构造了相对上同调群, 记作, 它分类了 到 上所有的李代数扩张结构。 并且我们也指出在 的元素间与所有的扩张结构构成的同构类之间建立了双射。 第二个分类对象记, 阐述于注3.8:它包含了所有的通过扩张成的的扩张结构。 这在两个对象上存在一个正则投影 。 我们指出 囊括了:后者是 的特殊情况如果 是平凡的且的扩张结构是可交换的即如果我们要求李代数 是统一乘积 的中心。一种特殊的情况在例 3.3中被称为扭曲乘积, 这是从 Hopf 代数理论借用的术语。两个李代数 和参与扭曲积的构造由经典的映射 并且在所有 6 维幂零李代数的分类中起着关键作用 [12]。除了扭曲积,我们在第4章展示了李代数的经典交叉积和双交叉积都是统一积的特例。 定理 3.7 为扩展结构问题提供了理论答案。我们要处理的挑战是纯粹的计算挑战：对于给定的李代数 是的子空间并且 是其补集，我们必须明确计算分类对象 然后列出 上所有李代数结构的类型集合，它们扩展了 上的李代数结构。考虑到 的构造非常费力。 在第 5 章我们将确定一种计算 的方法当 是有限维的情况: 即在定义 5.1 的意义上将 扩张到 上。g 扩张到 E 上若其为一维扩张时可以通过推理归纳完全描述。 这种情况在定理 5.7 中完全解决，其中 和 被完全描述: 这两个对象都是在定义5.2上引入的集合 。集合通过典范嵌入包含通常的导子李代数，当且仅当是完备李代数时。 最后，例 5.11 和 5.12 给出了两个具体的例子：在第一种情况下，所有 5 维完备李代数到 6 维空间的扩展结构都被分类，而在第二个例子中，我们列出了所有类型的从非完备李代数 到 5 维空间的扩张结构。
二、预备工作
在本文中， 将是一个域。所有向量空间、李代数、线性或双线性映射都在域上。两个向量空间之间的映射 称为平凡映射，如果 , 对于所有 。 设 是向量空间中的一个子空间; 的子空间使得 V 且 称为中 的补集。这样的补集在同构意义下是唯一的，其维数称为中 的余维数。我们简要回顾一下与李代数相关的基本概念； 对于所有没有解释的符号或定义，我们请读者参考 [8,10] 或 [14]。 一个李代数是一个向量空间 ,连同一个称为括号的双线性映射 满足以下两个性质：
对于所有的。 第二个条件称为雅可比恒等式。设 是一个李代数且 是 的导出代数; 若则称为完备的；若则称为交换的。 李代数 的表示将被视为 上的模; 此外, 我们将同时处理左右 -模的概念。 明确地，右 -模 是向量空间 和双线性映射 , 称为 对的右作用,满足：
对于所有的 和 。 左-模 是向量空间 和双线性映射, 称为 对的左作用,满足：
对于所有的 和 。通过任何右 -模是左 -模, 反之亦然，即右 -模的范畴与左 -模的范畴同构，并且两者同构为 的表示范畴。 表示 的所有导子的李代数，即所有线性映射 使得：
对于所有的。 是一个具有李括号 李代数，且映射
被称为伴随表示。那么, 是的中心, 被称为 的内导子并记作 。 是 的理想而且
被称为 的外导子李代数。 如果 是半单的, 那么 是完备的, 且 ([14])。 为了回答扩张问题我们需要介绍如下内容:
定义2.1：设是李代数，是向量空间，使得是的子空间，是中的补。对于线性映射，我们考虑下图：
(6)
其中是在 上的规范投影，而 是嵌入映射。若图的左方格（相应的右方格）是可交换的，则称 稳定（相应地也余稳定 ）。
设 和 是上两个李代数结构,都包含 g 作为李子代数。 若存在一个李代数同构映射 且稳定 ,则 和 是等价的, 记为。
和 被称为同源的, 如果存在李代数同构它稳定 并且余稳定 则记作 ,即 (6) 是可交换的。 和 是所有 包含 作为李子代数的扩张结构的两个等价关系记通过 (或 )的所有等价类的集合为）(或)。 于是 是扩张结构问题的分类对象: 通过显式计算 我们获得了稳定在上李代数结构的所有同构类的集合的参数化。 从扩张问题的角度给出了扩张结构问题的分类。 上的任何两个同源括号当然是等价的，因此存在规范投影
扩张结构问题的分类部分将通过明确计算两个分类对象来解决。 借用李代数上同调的术语，我们将看到 是由记为表示的上同调的对象参数化, 该对象将被显式构造并推广了李代数的经典第二上同调群 [9],然而 由一个被记为 表示的上同调的对象参数化，它是的商集。
三、李代数的统一乘积
定义 3.1： 设 为李代数，为向量空间。 到 的扩张数据是一个系统 由四个双线性映射组成，其中：
令 是一个扩张数据。 记 表示向量空间 与双线性映射定义为：
对于所有 和 。对象 被称为 和 的统一乘积如果李括号具有(7)式的形式。 在这种情况下，扩张数据 被称为 通过 的李代数扩张结构。 映射 和 是 的两个作用, 是的循环映射。 当都是平凡映射时，扩张数据是一李代数扩张结构的例子, 称为 通过 的平方扩张。设 是 通过 的扩张数据。 那么, 下面的的关系在计算时上是十分有用的:
对于所有 和 。
定理 3.2： 设 是李代数, 是域 上的向量空间, 是扩张数据。 则有下列命题等价:
(1) 是一个统一乘积;
(2) 和下列等式成立:
(LE1)；
(LE2) 是右 -模 ；
(LE3)；
(LE4) ；
(LE5) ；
(LE6)；
(LE7)；
在进入定理的证明之前，我们对定理 3.2 中的兼容性做一些说明。 除了 不是李代数这一事实之外, (LE3) 和 (LE4) 正是定义一对匹配的李代数 [20，定义 8.3.1] 的兼容性。 兼容条件 (LE5) 称为关于作用 的扭模条件; 在 是李代数的情况下，它测量 与左 -模的距离。 (LE6) 被称为扭曲余环条件: 如果 是平凡的作用并且 是李代数，那么兼容性条件(LE6) 正是李代数的经典 2-上循环条件。 (LE7) 称为扭曲雅可比条件: 它测量 距离 上的李代数结构有多远。 如果 或 是平凡的,那么 (LE7) 等价于 是 上的一个李括号。
证明 对于任意的和 我们有:
因此， 当且仅当(LE1)成立。从现在开始，我们将假设(LE1)成立。特别地，有 和 , 对于所有 因为 和 是双线性映射。 因此 是李代数当且仅当雅可比等式成立，即：
对于所有 和 。因为在 我们有 由此可知，(10) 成立当且仅当它对 的所有生成元都成立,即集合 。 由于(10) 在循环排列下是不变的，我们只剩下三个案例需要研究。 首先，我们应该注意到对于三元组成立 (10)成立，因为我们有:
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李代数的扩张结构
作者：A.L.Agore·G.Militaru
国籍：比利时·罗马尼亚
出处：A. L. Agore，G. Militaru. Extending structures for Lie algebras［J］. Monatshefte fuuml;r Mathematik，2014，174：169-193.
中文译文：
摘要：设为李代数, 是一个向量空间且有子空间。该论文着重研究李代数的扩张结构问题，此问题要求分类 是的李子代数。 本文引入了名为统一乘积的一般乘积作为方法工具。设 是 在上的补: 统一乘积与一个系统 相关，此系统的 、 、 、 为映射。 上存在一个李代数结构且含作为李子代数当且仅当。 所有这类上的李代数结构都被明确构造的两个上同调类型对象分类。一个是 将对所有的李代数结构分类使得稳定同构，另一个是 从扩张问题出发提供分类。在一些例子中详细计算和。
关键词：扩张与分解问题；统一乘积；李代数相对（非Abel）上同调
- 介绍
李代数在不同的领域有广泛的研究与应用，例如微分几何、经典/量子力学或粒子物理理论。在微分几何中，李代数自然出现在流形上对称（李）群的切空间上。在哈密顿力学中，相空间是李代数的一个例子，而在量子力学中，海森堡假设存在无限维算子李代数：量子力学理论或多或少遵循李代数的性质。在粒子物理理论中，李代数起着关键作用。例如，玻色弦理论使用李代数来制定算子和状态空间。除了在上述领域的显着应用之外，李代数本身就是研究对象。 在这种情况下一个问题就自然而然被提出（贯穿了整篇文章, 即“李代数同构 ，它保持 稳定”意思是存在一个李代数同构，它在子空间上的限制是恒等映射）：
-
- 扩张结构问题
设为李代数, 是一个向量空间且有子空间 。在稳定于的李代数同构意义下描述和分类上所有李代数结构 使得其在上将 作为 的李子代数。我们在 [1] 中的群的层面以及 [2] 中更一般的 Hopf 代数层面研究了相同的问题。 即使问题的陈述是基本的，问题也证明是一个困难的问题。例如，如果 那么扩张问题就要求分类所有的向量空间 上的李代数结构，这是一个广泛的问题。为此原因, 从现在起我们将讨论 的情况。虽然扩张问题很困难，但是在定义 5.1 中我们称之为 到 的标志扩展结构的情况下，我们可以提供一个详细的答案。首先，我们将解释对扩张问题分类部分的回答是什么意思。考虑到我们想要将上的李代数结构扩展到更大的向量空间，通过分类我们总是意味着分类到李代数的同构 稳定,即 ,对所有。 因此，问题归结为从第一个角度实际构建分类对象：它将是一个相对上同调的“群”。 另一方面，正如我们将在下面解释的，扩张问题概括了扩展问题。因此，我们也可以从这个角度要求分类，即达到同时稳定 与余稳定 ,这是上的补集。 这将是第二个分类对象，将推广经典的二阶上同调群 。
扩张问题概括并统一了李代数理论中的两个著名问题：可追溯到 Chevalley 和 Eilenberg [9] 的扩展问题和源于 Levi 和 Malcev 经典结果的分解问题 [8，定理 5] 。 我们将简要解释这一点。 给定李代数 和 。 扩展问题要求对所有包含 g 作为理想的李代数 E 进行分类，使得。等价地，扩张理论要求分类所有李代数 ，其符合序列
现在, 如果我们替换扩张结构问题的条件“ 是的李代数” 为更严格的条件, 即 “是的理想”, 那么我们得到扩张问题的新表述： 任何一个上由作为理想组成的李代数结构是 通过李代数 的扩张。在这种情况下, 设是正则投影 而且 是的线性部分, 即 。 我们定义 和 式子如下:
对于所有的 和。 在几何语言中 被称为联络, 而是曲率: 有关微分几何中扩张问题重要性的更多详细信息，我们参考 [4, 章节 4] 和 [16]。 那么系统 是李代数和映射的交叉系统：
是李代数的同构（详见推论 4.1）。在这个典型的通过理想和商集重新构造的李代数 , 是 的理想从一开始就起了至关重要的作用: 它是证明 和 f 取值主要的组成部分。若我们放弃 是 的理想且只要求是的李子代数, 因为我们公式化了扩张问题, 那么上面的构造就不能再进行了，我们必须想出一个从给定的李子代数和另一组数据重建李代数 的方法。这就是第3章所做的工作。关于李代数的扩张问题的进一步参考，在阿贝尔或非阿贝尔情况下，我们参考[3,4,9,11,13,23]。分解问题是扩张问题的对偶问题。它要求在同构意义下描述和分类上的所有李代数结构使得能分解成两个给定李代数和的和: 即 包含 和 作为李子代数使得 且 。
分解问题也是扩张结构问题的一个特例，如果我们再附加条件:我们考虑 是 作为 的补集，且是中与同构的李子代数。 对于扩张问题，[17,19] 中独立证明了李代数 E 通过 和 分解当且仅当, 此处 是与对应李代数系统。 详细信息在第4章给出。 本文章由如下构成: 在第3章我们将会阐述抽象的统一乘积结构 : 它结合了, 向量空间 和扩张数据 其称为 通过的扩张数据。 定理 3.2 构建了一套公理其必须满足 使得 具有方括号积的二元运算。在这种情况下, 被称为 通过 的李代数扩张结构。现在设 为李代数, 是由作为李子代数以及为 在 上补集的李代数。 定理 3.4 提供了描述扩张理论的回答:在上存在一个运算 使得是 的子代数当且仅当存在同构 , 对某一李代数扩张结构系统 。
分类在稳定于的李代数同构意义下所有的李代数扩张结构问题在定理 3.7给予了回答: 我们构造了相对上同调群, 记作, 它分类了 到 上所有的李代数扩张结构。 并且我们也指出在 的元素间与所有的扩张结构构成的同构类之间建立了双射。 第二个分类对象记, 阐述于注3.8:它包含了所有的通过扩张成的的扩张结构。 这在两个对象上存在一个正则投影 。 我们指出 囊括了:后者是 的特殊情况如果 是平凡的且的扩张结构是可交换的即如果我们要求李代数 是统一乘积 的中心。一种特殊的情况在例 3.3中被称为扭曲乘积, 这是从 Hopf 代数理论借用的术语。两个李代数 和参与扭曲积的构造由经典的映射 并且在所有 6 维幂零李代数的分类中起着关键作用 [12]。除了扭曲积,我们在第4章展示了李代数的经典交叉积和双交叉积都是统一积的特例。 定理 3.7 为扩展结构问题提供了理论答案。我们要处理的挑战是纯粹的计算挑战：对于给定的李代数 是的子空间并且 是其补集，我们必须明确计算分类对象 然后列出 上所有李代数结构的类型集合，它们扩展了 上的李代数结构。考虑到 的构造非常费力。 在第 5 章我们将确定一种计算 的方法当 是有限维的情况: 即在定义 5.1 的意义上将 扩张到 上。g 扩张到 E 上若其为一维扩张时可以通过推理归纳完全描述。 这种情况在定理 5.7 中完全解决，其中 和 被完全描述: 这两个对象都是在定义5.2上引入的集合 。集合通过典范嵌入包含通常的导子李代数，当且仅当是完备李代数时。 最后，例 5.11 和 5.12 给出了两个具体的例子：在第一种情况下，所有 5 维完备李代数到 6 维空间的扩展结构都被分类，而在第二个例子中，我们列出了所有类型的从非完备李代数 到 5 维空间的扩张结构。
二、预备工作
在本文中， 将是一个域。所有向量空间、李代数、线性或双线性映射都在域上。两个向量空间之间的映射 称为平凡映射，如果 , 对于所有 。 设 是向量空间中的一个子空间; 的子空间使得 V 且 称为中 的补集。这样的补集在同构意义下是唯一的，其维数称为中 的余维数。我们简要回顾一下与李代数相关的基本概念； 对于所有没有解释的符号或定义，我们请读者参考 [8,10] 或 [14]。 一个李代数是一个向量空间 ,连同一个称为括号的双线性映射 满足以下两个性质：
对于所有的。 第二个条件称为雅可比恒等式。设 是一个李代数且 是 的导出代数; 若则称为完备的；若则称为交换的。 李代数 的表示将被视为 上的模; 此外, 我们将同时处理左右 -模的概念。 明确地，右 -模 是向量空间 和双线性映射 , 称为 对的右作用,满足：
对于所有的 和 。 左-模 是向量空间 和双线性映射, 称为 对的左作用,满足：
对于所有的 和 。通过任何右 -模是左 -模, 反之亦然，即右 -模的范畴与左 -模的范畴同构，并且两者同构为 的表示范畴。 表示 的所有导子的李代数，即所有线性映射 使得：
对于所有的。 是一个具有李括号 李代数，且映射
被称为伴随表示。那么, 是的中心, 被称为 的内导子并记作 。 是 的理想而且
被称为 的外导子李代数。 如果 是半单的, 那么 是完备的, 且 ([14])。 为了回答扩张问题我们需要介绍如下内容:
定义2.1：设是李代数，是向量空间，使得是的子空间，是中的补。对于线性映射，我们考虑下图：
(6)
其中是在 上的规范投影，而 是嵌入映射。若图的左方格（相应的右方格）是可交换的，则称 稳定（相应地也余稳定 ）。
设 和 是上两个李代数结构,都包含 g 作为李子代数。 若存在一个李代数同构映射 且稳定 ,则 和 是等价的, 记为。
和 被称为同源的, 如果存在李代数同构它稳定 并且余稳定 则记作 ,即 (6) 是可交换的。 和 是所有 包含 作为李子代数的扩张结构的两个等价关系记通过 (或 )的所有等价类的集合为）(或)。 于是 是扩张结构问题的分类对象: 通过显式计算 我们获得了稳定在上李代数结构的所有同构类的集合的参数化。 从扩张问题的角度给出了扩张结构问题的分类。 上的任何两个同源括号当然是等价的，因此存在规范投影
扩张结构问题的分类部分将通过明确计算两个分类对象来解决。 借用李代数上同调的术语，我们将看到 是由记为表示的上同调的对象参数化, 该对象将被显式构造并推广了李代数的经典第二上同调群 [9],然而 由一个被记为 表示的上同调的对象参数化，它是的商集。
三、李代数的统一乘积
定义 3.1： 设 为李代数，为向量空间。 到 的扩张数据是一个系统 由四个双线性映射组成，其中：
令 是一个扩张数据。 记 表示向量空间 与双线性映射定义为：
对于所有 和 。对象 被称为 和 的统一乘积如果李括号具有(7)式的形式。 在这种情况下，扩张数据 被称为 通过 的李代数扩张结构。 映射 和 是 的两个作用, 是的循环映射。 当都是平凡映射时，扩张数据是一李代数扩张结构的例子, 称为 通过 的平方扩张。设 是 通过 的扩张数据。 那么, 下面的的关系在计算时上是十分有用的:
对于所有 和 。
定理 3.2： 设 是李代数, 是域 上的向量空间, 是扩张数据。 则有下列命题等价:
(1) 是一个统一乘积;
(2) 和下列等式成立:
(LE1)；
(LE2) 是右 -模 ；
(LE3)；
(LE4) ；
(LE5) ；
(LE6)；
(LE7)；
在进入定理的证明之前，我们对定理 3.2 中的兼容性做一些说明。 除了 不是李代数这一事实之外, (LE3) 和 (LE4) 正是定义一对匹配的李代数 [20，定义 8.3.1] 的兼容性。 兼容条件 (LE5) 称为关于作用 的扭模条件; 在 是李代数的情况下，它测量 与左 -模的距离。 (LE6) 被称为扭曲余环条件: 如果 是平凡的作用并且 是李代数，那么兼容性条件(LE6) 正是李代数的经典 2-上循环条件。 (LE7) 称为扭曲雅可比条件: 它测量 距离 上的李代数结构有多远。 如果 或 是平凡的,那么 (LE7) 等价于 是 上的一个李括号。
证明 对于任意的和 我们有:
因此， 当且仅当(LE1)成立。从现在开始，我们将假设(LE1)成立。特别地，有 和 , 对于所有 因为 和 是双线性映射。 因此 是李代数当且仅当雅可比等式成立，即：
对于所有 和 。因为在 我们有 由此可知，(10) 成立当且仅当它对 的所有生成元都成立,即集合 。 由于(10) 在循环排列下是不变的，我们只剩下三个案例需要研究。 首先，我们应该注意到对于三元组成立 (10)成立，因为我们有:
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