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一般二阶演化方程的群分类：半单不变群
摘要:本文中，我们考虑了一类空间变量中一般二阶演化方程的群分类问题。我们构造了所有非等价的演化方程，它们的不变性群要么是半简单的半直积，要么是半简单可解的李群。所得到的不变方程的列表既包含已知的方程，又包含具有非平凡的对称性的新演化方程的广义类。
1.导言
微分方程的群性质的使用已经成为分析偏微分方程的通用和便利的工具。很显然，要使这种技术发挥作用，适用的方程组应该具有非平凡的群性质。在这个观点中，所有的微分方程S类分裂成具有非平凡对称性的两个子类，这种分类方法与对称性无关。微分方程对称性探索的整个历史是试图通过修正经典的Lie对称概念来扩展S类的。
正如文章标题所写的那样，我们将分类限制于方程式S中。此外，我们只考虑对李变换群的不变性，缩小了准入对称的含义。关于微分方程群分类的基本事实和所有必要的信息可以在[ 1-4]中找到。
在本文中，我们研究一般的演化方程
为了得到下面看似简单的问题的答案：是否有可能描述所有可能的函数F，使得方程（1.1）容许非平凡李变换群？非平凡对称群是指一个至少有一个参数的李变换群。以下
和F是任意足够平滑的函数
早在1881年，群的理论的创立者Sophus Lie就发表了关于（1.1）类的线性方程组的子类群的第一篇论文[ 5 ]。后来，Ovsyannikov的文章[ 6 ] 提出了微分方程群体分类，掀起了利用群理论解决微分方程分类的真正热潮。随后出现了许多出版物（参见[ 9-20 ]及其中的参考文献），分析了一般类别的发展方程（1.1）的各种特定的子类。详细说明在上述论文所考虑的方程组属性中可以找到[ 8，21，22 ]。
然而，一般演化方程（1.1）仍然没有一个很好的分类解决方案。 主要原因是方程（1.1）的类别对于传统的Ovsyannikov分类方法来说实用性过于笼统。 当所研究的方程组涉及多个变量的函数时，这种方法效率不高。
最近，我们研究了一种有效的方法来解决低维偏微分方程的群体分类问题。它使我们能够热传导率的广泛类别分类[21，23 ]，薛定谔方程[ 27 ]，三阶进化方程[ 28 ]和波方程[ 29]容许平凡Lie对称性方程。请注意，Fushchych和Serov [ 24 ]，Gagnon和Winternitz [ 25 ]以及Zhdanov 等 [ 26 ] 较早使用了这种方法的一些要素，以便对非线性d#39;Alembert，Schrouml;dinger和多分量波方程的对称性进行分类.
在本论文中，我们应用的方法[21 ]，以获得容许演化方程详尽分类参数为n的李变换群的所有可能值，具有nge;1形式的线性偏微分方程的群类别(1.1）已经在[ 5 ]中进行过，我们只考虑非线性演化方程。“基本上非线性”是指PDEs（1.1）不能通过变量空间的点变换线性化。
2.方程（1.1）的初步群分析
众所周知，由（1.1）容许的最一般的（在李群意义上）转换群是由无穷小生成元
这里是在空间中定义的任意光滑函数的两个独立的和一个相关的变量。
构造无穷小生成元v的第二个延长我们得到
其中
我们没有给出系数tt , 的公式，因为它们在下面不会被使用。
在方程（1.1）的作用下，我们得到以下不变准则：
（2.2）中的下标公式表示在括号内要用替换，用替换，用替换.
如果我们构造（2.2）的一般解，那么我们得到由方程（1.1）容许的最一般的局部Lie变换群。注意这个组也被称为非线性PDE的经典Lie对称性（1.1）。
分析（2.2）的关系,我们证明了以下定义.
定义2.1 方程（1.1）的最一般的不变性组是由无穷小生成元生成的
函数tau;，xi;，eta;和F满足以下等式：
由于未知函数的形式主要取决于函数F，所以习惯上称（2.4）为确定方程。
现在方程（1.1）的群体分类问题变成了程序算法。它简化为构造单个偏微分方程（2.4）的所有可能解。这很简单。然而，困难在于我们必须处理由三个未知函数的一个方程组成的偏微分方程系统。为了使事情更加复杂，这个方程包含变量的未知函数F，这也是要确定的。为了进一步处理，我们需要额外的信息，无论是函数F的形式，还是函数的形式，这会缩小不变方程的类或可能的对称集。比方说，我们可以把结果方程分解为变量,并得到的超定偏微分方程组。解决后者产生经典的Ovsyannikov分类结果[ 6 ]。
另一种方法是将固定先验对称群方程（1.1）和求解（2.4）为群的无穷小生成元，的系数的这一特定选择。为此，人们还可以使用现在流行的常规技术，称为“移动框架的方法”。如果能成功地获得微分不变量将被构造的无穷小对称群的有限群变换的显式形式（参见例如[ 7 ]及其中的参考文献），则后者可以被有效地使用。
上述方法的问题是可能会丢失一些用于扩展方程（1.1）的对称群的函数 为了防止这种情况发生，分类方程应该是未知函数，形式约束的唯
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