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附录 译文
微积分与实分析课程
微分和积分是微积分和分析中最重要的两个过程。正如在第四章导言中提到的那样，微分是一个局部过程，即导数在某一点的值只取决于函数在那一个点周围一小段区间内的值。另一方面，积分是一个全局过程，函数的积分取决于整个区间上函数的值。除此之外，这些过程以完全不同的方式被定义，它们之间没有任何明显的联系。实际上，从几何角度观点来看，微分对应于找到曲线的切线（斜率），而积分则对应于找到曲线下的区域。乍一看，这两个几何过程似乎没有理由密切相关。
在这一节中，将得到一个完美的结论，即微积分的基本定理，简称为FTC，从中将了解到，微分和积分的过程是互逆的。简单来说就是，如果先对一个函数在一个区间内进行微分，再积分，将得到原函数。同样的，如果一个函数首先被积分，然后再被微分，那么又会再一次回到原来的函数。注意到FTC的证明只依赖于黎曼条件和第6.1节中证明的域叠加性。来回忆一下，如果有一个函数在实数区间上是可微的，那么就可以得到一个新的函数，叫做的导函数。类似的，若有一个函数在实数区间上是可积的，可以通过，，计算出一个新的函数。实际上，从论题6.7的角度看，函数对每一个在区间上都是可积的，并且规定。因此，函数在[a，b]上有了明确的定义。在最开始，将研究这个函数的一个重要性质。
命题6.20。若函数在实数区间是可积的，那么可以由式子定义一个实数区间上的函数。并且函数在上是连续的。
实际上，函数满足上的利普席茨条件：对所有，都存在一个，满足。
证明过程：因为是上可积的，它被限制在区间上，也就是说，存在，使得所有都满足。
假设有，那么通过论题6.7中的域叠加性，可以得出，对于，有。因此由黎曼积分的基本不等式（论题6.3），，即证明函数在点是连续的。
和是中的任意点，并且不依赖于它们，由此可见在上满足Lipschitz条件。
上述命题表明，尽管一个可积函数可能在区间上是不连续的，但是把函数从积分到（）得到的函数在区间上是连续的。将在接下来的FTC第二部分中看到，如果是区间连续的，那么就是区间上可微的。因此，与微分的过程不同，积分的过程是平滑的（因为可微函数的导数并不一定可微）。
为了简要说明本章节的主要结论，介绍以下概念。设为包含多个点的区间，且可以是实数上范围内的任意函数。认为如果在上有一个可微的函数例如，那么在上有反导数。这样的函数将其称为的一个原函数或者一个反导数。根据推论4.21，如果的反导数存在，那么除常数的加减以外它是唯一的。在陈述罗尔定理（命题4.15）之前，证明了积分部分函数不是任何函数的导数,因此存在没有原函数的函数。
命题6.21（微积分的基本理论）设函数在实数区间上式可积的，
(i)如果函数有原函数，那么
，对任意都成立。
(ii)令，。
如果函数在点是连续的（），那么函数在点是可微的，并且有。
特别地，如果函数在区间上都是连续的，那么函数就是在区间上的原函数。
证明过程：(i)设：[a,b]是可积的，并且有一个原函数。如果x=a，那么鉴于的规定，
现在假设，，并且用表示限制在区间上的。接着根据命题6.7中的观点，可知是可积的。给出一个。根据Riemann条件，在上存在一个分区，满足。根据适用于的MVT（命题4.18），对每一个，都存在一个满足
因此有
所以
因此也可以推得
由此可见
因为这个不等式对任意的成立，证得
同所设想的一致。
(ii)若在点（）是连续的，那么根据命题3.7，对任意给出的，都存在对应的，满足
且
与此同时，若且，那么可以推得
因为（见证明6.4(i)）。接着，若，那么在封闭区间和之间的任意都满足，因此，从黎曼积分的基本不等式（命题6.3）看
若，那么由此可见，在点是可微的，且有
。
若，那么这就是存在于点的右（手）导数且等于，同理可得当时，这就是存在于点的左（手）导数且等于。这就证明了(ii)。
备注6.22。(i)鉴于FTC第一部分，若在实数区间存在一个可积函数，有一个反导数，那么将称为的一个不定积分，且表示为。这里要注意，这种表示法有点模棱两可，因为的不定积分在加常数之前是唯一的，因此，又将这个式子写为
表示一个任意常数。注意到在下面这种情况下，
，
右（手）边独立于不定积分的选择。上述等式的右（手）边有时候会表示为
或。
考虑到这一点，的黎曼积分有时也被称为在区间上的定积分。
(ii)通过稍微修改其证明，可以证明接下来的FTC第(ii)部分的增强版本。
若，且极限存在，那么函数在点的右（手）导数存在且等于该极限。同理，若，且极限存在，那么函数在点的左（手）导数存在且等于该极限。
为了证明该理论，有人认为应该将左右极限和命题3.27还有命题6.12进行类比，因为此处点的值可以是任意的。
有简单的例子可以证明，FTC的(ii)逆命题是无法成立的。也就是说，可微时，可以是不连续的。（详情可见例14。）实际上，这个理论的强化版本的逆命题也是不成立的，即，可以存在并且等于，尽管可能并不存在。（见命题7.17。）
（iii）在FTC的（ii）中已经证明，每一个上的连续函数都存在一个原函数。然而，一个可积的函数不一定有原函数。接下来要注意的是，有些可积函数没有IVP，这是所有导数函数都具有的一个性质（命题4.14）。另一方面，一个区间上的函数可能有，i一个没有边界（练习47或是第七章），ii或者有边界但不可积（Volterra的例子在[35]节的56-57页给出），iii又或者可积但是不连续（例7.19）的导数。
这两部分的FTC内容能够结合起来，得到一个函数在上具有连续导数的充要条件。得到的结果也被称为黎曼积分的基本定理。
命题6.23。若是实数区间上的一个函数。那么当且仅当，有一个连续函数在实数区间满足对，都有
时，称是可微的，且在上是连续的。在这个命题中，对，都有。
证明：假定是可微的，且在上是连续的。那么是可积的并且就是在区间上的原函数。因此由FTC（i）中的内容可知，对有。
令，就得到了的期望表达式。
相反地，假设存在一个连续函数在实数区间对，都有
那么根据FTC（ii）中的内容，是可微的并且（），这同的设想保持一致。
正如这一章开头提到的，FTC表明微分过程和积分过程是相反的。而FTC就是所谓的“可微微积分”和“可积微积分”之间的主要联系。并且，FTC的第（i）部分提供了最广泛使用的估计黎曼积分的理论。当然，为了使用这个理论，必须能够创造出一个函数，这个函数的导数是给定的函数。这通常不是一件易事，但是一些FTC的推论（命题6.25和6.26）在这方面是有用的。另一方面，FTC的第（ii）部分可以用来构造一个可微函数，其导数等于区间上给定的连续函数。在第7章中，将在介绍对数函数和反正切函数的同时阐述这一极为有效的技巧。
例6.24（i）令为随机数且，定义一个区间上的函数，并让。那么正如在例6.3(iii)中看到的，在上是连续的。因此是可积的。同时，从例4.7可以看出，如果，，那么。因此FTC的（i）部分就显示，
（在推论7.10中，这个结果将被推广到r是实数。）很容易看出，如果r是正整数，那么即使，上面的结果也是成立的。如果r是的负整数，那么当和时，上面的结果也是成立的。
（ii）若a,b为实数且有，定义一个区间上的函数：。那正如在例3.6（iv）中所见，在上是连续的。因此，是可积的。令有上的，上的。那么通过域叠加性和上面的（i）可以推得，
现在考虑一下FTC的两个重要结论，这两个结论催生了计算积分的两个最有效最强大的理论方法。第一个结论是关于两个函数乘积的黎曼积分。
附录Y 外文原文
6.3 The Fundamental Theorem of Calculus
Differentiation and integration are the two most important processes in cal- culus and analysis. As we have remarked in the introduction of Chapter 4, differentiation is a local process, that is, the value of the derivative at a point depends only on the values of the function in a small interval about thatpoint. On the other hand, integration is a global process in the sense that the integral of a function depends on the values of the function on the en- tire interval. Further, these processes are defined in entirely different manners without any apparent connection between them. Indeed, from a geometric point of view, differentiation corresponds to finding (slopes of) tangents to curves, while integration corresponds to finding areas under curves. At first glance, there seems to be no reason for these two geometric processes to be intimately related.
In this section, we shall obtain a wonderful result, known as the Fun- damental Theorem of Calculus or, for short, the FTC, which says that the processes of differentiating a function and integrating it are inverse to each other. Roughly speaking, if one differentiates a function over an interval and then integrates it, one gets back the original function. Also, if one first inte- grates a function and then differentiates it, again one gets back the original function. We remark that the proof of the FTC depends only on the Riemann condition and the domain additivity proved in Section 6.1.
Let us recall that if f : [a, b] → R is differentiable, then we obtain a new function fl : [a, b] → R, called the derivative of f . Likewise, if f : [a, b] → R is integrable, then we obtain a new function F : [a, b] → R defined by
for
Indeed, in view of Proposition 6.7, f is integrable on [a, x] for every x [a, b], and F (a) = 0 in accord with our convention. Hence the function F is well defined on [a, b]. To begin with, we shall study an important property of this function.
isin;
Proposition 6.20. Le
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