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一种无惩罚函数或滤波器的非线性等式约束优化序列二次规划方法[1][2]
刘新伟^和亚祥元*
摘要。 我们提出了一种序列二次规划方法，不使用惩罚函数或滤波器来求解非线性等式约束优化。 在每次迭代中，二次规划的线性化约束被放松以满足两个温和的条件，选择步长使目标函数的值或约束违反的度量得到充分的降低。 因此，我们的方法有两个很好的性质。 首先，我们不需要假设迭代序列的有界性；其次，我们不需要任何恢复阶段，这是必要的滤波方法。 我们证明了该算法将终止在一个近似的Karush-Kuhn-Tucker点，或一个近似的Fritz-John点，或一个近似不可行的平稳点，它是一个近似的平稳点，用于最小化约束违反的规则。 通过控制线性化约束的精确性，引入二阶校正技术，在不需要线性独立性约束限定的情况下，该算法被证明是局部超线性收敛的。 初步数值结果表明，该算法在求解CUTE设置中的一些中小型问题时具有较强的鲁棒性和有效性。
关键词：顺序二次规划，惩罚函数，滤波器，规律性，全局和局部收敛分析..
1. 导言
考虑具有一般非线性等式约束的非线性程序.
(1.1)
， (1.2)
其中，f，是在N上定义的两次连续可微实值函数。问题（1.1)-(1.2）的顺序二次规划(SQP)方法是迭代的。 假设那个是当前迭代，SQP解决了二次规划(Q P)问题
(1.3)
(1.4)
其中gk =VF(xk )、HJ=HJ(xk )，AJ=Vhj(xk)，BjekNXN是x处的拉格朗日赫西安 k或者它的近似。 让我来吧k是程序（1.3)-(1.4）的解决方案。 新迭代由行搜索过程生成
(1.5)
其中，步长AKe（0，1）通常被选择以满足具有适当选择的惩罚参数的惩罚函数的足够下降条件。 假设AJ，jeE，是线性无关的(因此Aj=[al.a%]是满列秩的)，Bj是正定的(可能在A的空空间中te KMXN)，已知SQP方法在全局上收敛到Karush-Kuhn-Tucker(K KT)点。 如果适当地选择Bj，则可以得到快速的局部收敛，例如见[22，26]。
在各种标准测试问题的数值实验中都观察到，使用惩罚函数的方法，包括SQP方法和内部点方法，可能会受到惩罚参数的“不适当”选择的影响。 虽然许多SQP方法和内部点方法自适应地更新了惩罚参数，但对惩罚参数初始值的选择往往是任意的和启发式的，有时是不可信的，在数值求解中会造成一些困难。
为了避免与惩罚参数设置相关的实际问题，Fletcher和Leyffer[13]引入了滤波技术，这是一种新的非线性规划全球化方法的策略，数值表明，该技术的SQP信任区域算法具有很好的应用前景。 弗莱彻、莱弗和Toint[14]证明了滤波器-SQP算法的全局收敛性。 在此之后，提出了许多全局收敛滤波器方法，如Chin和Fletcher[9]、Fletcher、Gould、Leyffer、Toint和Wachter[12]、Ribeiro、Karas、Gonzaga[24]、Ulbrich、Ulbrich和Vicente[28]、Wachter和Biegler[29，30]等。 其中一些已被证明是局部超线性收敛的。
最近，古尔德和Toint[17]提出了一种求解等式约束非线性优化问题的新方法。 该方法没有使用惩罚函数、屏障或滤波器，并且被证明是全局收敛的。 乌尔布里奇和乌尔布里奇[27]提出并分析了一种无惩罚功能的非单调信任区域方法。 对CUTE问题的数值实验表明，这两种方法都表现良好。 山田和Yabe[32]还提出了一种不带惩罚函数或滤波器的信任区域SQP方法，用于求解具有非线性等式和非负性约束的约束优化。 这些方法使用信任区域过程生成新的迭代，并解决了几个不同的子问题，以应对目标函数的非线性和约束。
本文提出了一种无惩罚函数或滤波器的序列二次规划算法，用于求解等式约束优化问题（1.1)-(1.2）。 该算法通过行搜索过程生成新的迭代。 在每次迭代中，二次规划的线性化约束被放松以满足两个温和的条件，选择步长使目标函数的值或约束违反的度量得到充分的降低。 因此，我们的方法有两个很好的性质。 首先，我们不需要假设迭代序列的有界性。 其次，我们不需要任何恢复阶段，这是必要的过滤方法。 在温和的假设下，我们证明了该算法将找到一个KK T点，或一个Fritz-John(FJ)问题点（1.1)-(1.2），或一个不可行的问题平稳点，它是最小化约束违反范数的平稳点。 通过控制线性化约束的精确性，引入二阶校正技术，在不需要线性独立性约束限定的情况下，该算法被证明是局部超线性收敛的。 初步的数值结果表明，该算法在求解CUTE设置中的一组中小型问题时具有鲁棒性和有效性[3]。
该算法不是Gould和Toint[17]、Ulbrich和Ulbrich[27]以及Yamashita和Yabe[32]的直接推导。 本文的主要贡献之一是仅根据目标函数的值或约束违反的I2测度的递减来开发一组行搜索过程，使所提出的SQP仍然是全局收敛的和局部超线性收敛的。 这些行搜索过程不受限制，对全局和局部收敛分析起着非常重要的作用，其中一些是由Chin和Fletcher[9]和Fletcher、Leyffer和Toint[14]启发的。 由于该算法既不使用惩罚函数，也不使用滤波器，因此没有必要像往常一样假定迭代序列的有界性(最近关于这个假设的讨论见Solodov[25])，相反，我们假设约束残差度量上的水平集是有界的，目标函数在下面是有界的，这类似于无约束优化中的假设。
本文组织如下。 在第二节中，我们首先描述了一个具有松弛线性化约束的QP。 提出了两种温和的条件。 在此之后，我们提出了我们的算法，然后表明该算法是明确的.. 第三节证明了算法的全局收敛结果。 在第四节中，我们证明了通过控制线性化约束的精确性可以得到超线性/二次步长。 为了规避所谓的Maratos效应，在算法中引入了二阶校正技术，然后我们证明了完全超线性步骤将被接受.. 该算法在第5节中实现，并报告了CUTE设置[3]中一些中小型问题的初步数值结果。
在整个论文中，小写字母表示向量，大写字母表示矩阵。 向量的上标和下标分别代表相应的迭代和相应的分量。 矩阵的下标和上标分别代表矩阵的相应迭代和相应列。 =的表情。 月k指存在一个独立于k的常数M，使得以及。表明。 如果没有指定，|| ||是欧氏范数。 为了简单起见，我们还使用了符号：
两个索引集|JK|和J*是它们的基数。
2. 算法
我们提出了我们的算法，并证明它在本节中是明确的..
2.1. 具有松弛线性化约束的QP子问题。 众所周知，即使原问题（1.1)-(1.2）的解x*是规则的(即线性独立约束限定(L ICQ)和二阶充分条件(SOSC)保持在解上)，对于任何迭代xk远离x*，向量AJ，jGE，仍然可能是线性相关的。 在内点算法框架中，矩阵[af，jGE]可能是渐近简并的.. 线性依赖可能导致子问题（1.3)-(1.4）在x处是不可行的k而渐近简并可能导致子问题的解在范数上渐近过大。 这些陷阱最终会导致许多非线性规划方法的失败（例如，见[7，22]）。 到目前为止，已经有许多工作，如[1，4，5，8，19，20，33]，其贡献包括放宽QP子问题（1.3)-(1.4）的限制。 它们已被证明能够减轻或消除症状，并改善SQP和内点方法的收敛特性。
假设那个xk是当前迭代，刘和袁[21]提出了求解二次规划子问题
(2.1)
(2.2)
其中DPG 近似最小化||hk at||并满足两个规定条件：
条件(a).. ||DK|lt;K1||Akhk||，其中K1gt;0是常数；
条件(b)。 如果||hk||=0，||hk |||hk Afdp||gt;K2=|Akhk||2/|hk ||，哪里k2 g（0，1）是常数。
文献[15，16，21]表明，程序（2.1)-(2.2）有一个唯一的解，只要Bk在A的空空间中是正定的t。 让我来吧k成为解决办法。 从开始，那么，
，
这表明（1.4）中的约束已经放松。
用空空间方法放松线性化约束不是一种新的思想，[5，22，23]使用类似的技术来提高信任区域方法对等式约束优化的性能。 以上条件可以通过以下结果来保证..
引理2.1假设.让。其中
(2.3)
其中
证据。 这一结果可以用类似于刘元引理2.1的技术来证明[21]。 □
在第3节中的假设下，对于某些常数kgt;1，我们有||A？||lt;k。 因此，好的gt;1/||AkA？||gt;1/k。 然后条件(B)立即从（2.3）开始。 自||以来，DP||lt;AK||Akhk||lt;||阿赫k||，条件(A)自然成立。
2.2. 我们的算法。 设L(x，A)=f(X) 人？h(X)。 问题（1.1)(1.2）的KKT条件如下：.
▽x L(x*，A*)=g* A*A*=0， (2.4)
h*=0， (2.5)
其中x*G是KK T点，A*G是相关的拉格朗日乘子向量。
对于每一个xG，我们定义了约束违反的度量函数
v(X)=||h(X)||。 (2.6)
此外，设copy;(x；d)=||h(X) A(X)t||-|h(X)|，其中.
我们提出了我们的算法如下：
算法2.2（问题算法）
给定初始点x0况a常数aG（0，1/2），两个小常数和gt;0，公差egt;0算账0 ，h0 ；0奥和波。 设置v^ax=0，ro=0.9.设k：=0；.
而max(||V.xL(x)k，ak||，||hk ||)gt;和|Afchk||gt;Emin(|hk ||，1)；
计算DP近似最小化||hk Afd|d满足条件(A)-(B)。 解Q P子问题（2.1)-(2.2）.. 让我来吧k成为解决办法。
选择步长AKG（0，1）尽可能大，使两者都不等式
(2.7)
以及
(2.8)
保持或不等式
(2.9)
很满意。
设置
如果(2.9)在x处成立xk 1但不是xk, ，设置k 1vk其他；k 1vk，
算账k 1，hk 1；k 1，Ak 1，并将BK更新为BK 1。 如果（2.9）成立，计算rk 1=v.k 1/五k否则，RK 我=Tlsquo;k。 设k：=k 1；.
结束（同时）
该算法将在三种情况下终止：(I)||VxL(x气人k||lt;e和||hk||lt;e；（二）||hk||lt;1，和||Akhk||/||hk||lt;e；（三）||hk ||gt;1，但是！！ akhk||lt;e.如果e足够小，则（2.4)(2.5），情况(I)意味着xk是一个近似的KK T点。 第3节中的全局收敛结果将指示xk分别是情况(II)的近
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