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马修斯·佩伦尼斯：古代，文艺复兴和近代的数学
埃伯哈德·诺布洛奇
（柏林工业大学，德国）
接近古迹：阿基米德与菲尔德勋章
自1936年以来，所谓的菲尔兹奖章“是在国际数学家大会之际每四年颁发一次，以表彰现有工作的杰出成就和对未来成就的承诺”。它取代了不存在的诺贝尔数学奖。直到2005年它已经获得了44次奖项。
奖章的特点对我们的研究最有意义，正面向右的头代表阿基米德。（克诺布洛赫2000a）
插图1克诺布洛赫2000a，56 插图2 克诺布洛赫2000a，56
他的身份是通过用希腊大写字母书写的名字暴露出来。 雕刻家 罗伯特bull; 泰特bull; 麦肯齐在1933年设计了这枚奖章。 日期是用罗马数字写的: MCNXXXⅢ。 自1936年以来颁发的所有44枚奖牌都包含同样的错误，即用 N代替 N，这很难让人相信，但却是事实。
当我写信给菲尔兹奖得主迈克尔 · 阿提亚爵士时，他在2000年7月16日给了我以下回复:
“我看了看我的菲尔兹奖章。 我花了点时间才找到你说的日期。 我相信你说的第二个 M是 N 是正确的，因此是个错误。 然而，它是以非常小的字符组成的，在这个尺度上，M 和 N 之间的差异几乎是肉眼看不到的。 迈克尔 · 阿提亚”
显然，阿提亚忘记了牛顿已经说过: “在数学中，即使是最小的错误也不能被忽视。”
拉丁铭文还有其他奇怪之处。 上面写着: “我可以穿过他的心脏，保持清洁。”，“超越自己的理解，让自己成为世界的主人”
有人可能会认为这句话，描述了数学中至高无上的智力成就。 真是个幻觉！ 这一行摘自罗马诗人马尼利乌斯的占星术教科书（《天文学 iv 》，392）。 在那里，虚拟读者抱怨试图通过占星术来预测未来的困难。马尼留斯对这种抱怨持悲观态度，他说: “你正在试图征服天空，尽管你出生在命运的规则之下，但你正在试图超越自己的理解，让自己成为世界的主人。”我们看到菲尔兹奖牌上的线条与我们的预期相反。 这是对人类崇拜上帝的愿望的高度批判。
但也有一些崇拜上帝的人。人们对阿基米德的崇拜导致了他在数学上的神化。 直到今天，他仍被视为数学创造力的体现，他的证明被认为是数学严谨性的模型，他的定理被视为数学确定性的象征。 我想对他自己在这些问题上的态度做一些新的阐释，以说明受文艺复兴时期开普勒和莱布尼兹等思想家启发的后来的发展，并讨论现代离散数学的一些问题:。(1)阿基米德公理学 (2)阿基米德定律: 开普勒。 (3)阿基米德风格: 莱布尼兹。 (4)新的校对问题: 黑尔斯。 终于到尾声了。
1 阿基米德公理学
菲尔兹奖章的背面代表阿基米德的球体被刻在圆柱体上，这说明了这个定理:
插图 3 克诺布洛赫2000a,57
“圆柱体的体积等于球体的大圆，高度等于大圆的直径是球体体积的1.5倍。”
图形选得很好。 这说明了阿基米德最喜欢的定理，根据他明确的愿望，刻在了他的墓碑上。 它暗示了一个重要的数学背景。 阿基米德是通过他所谓的“机械方法”找到它的，他在给埃拉托色尼的著名信中描述了这种方法，如今这种方法以“与机械定理有关的方法”而闻名。 他在他的论文《论球体和圆柱体》（i，推论34）中论证了这一点。 这两种背景，即发现和证明，都需要进一步的解释。
“机械方法”是基于部分填补——正如他所说——体积和称重在一对天平。 因此圆柱体和球体都充满了圆。 没有任何数目的迹象。 这个过程包含了三重亵渎:
- 阿基米德使用了不属于几何领域的机械方法，从而违反了方法论的规定。
- 数学是研究连续或离散量的科学。 但阿基米德使用的是不可分割的，也就是不可分割的。 事实上，根据定义，量可以增大或减小。 换句话说，阿基米德使用非数学物体。
- 这些非量违背了以他的名字命名的公理: 设 和是任意两个实数。 然后总是有一个自然的使得 大于
切片与切片所得的面积或固体之间没有比率。公理或引理不再适用。
但是这个引理呢，证明的上下文呢？ 正如我们所知道的，他的论点是基于这个引理的。 它的有效性是许多几何定理有效性的前提。 关于这个关键的引理，他说了什么？ 在他的《抛物线正交》一书的序言中，他为引理的应用提供了理由，说其他数学家用相同或相似的引理证明了一系列几何定理——这是一个相当薄弱的证明——并补充道(knobloch 2000b，84) :
“这是另一种图头，也是一种象形文字，也可以说是象形文字”
“上面提到的每个定理都激发了一定程度的置信度，这种置信度不亚于没有引理证明的定理所激发的置信度。”(换句话说: “这至少与未使用引理而证明的定理所激发的信心一样大”)
只要我们发表的定理具有与这些定理相似的置信度（轨道） ，就足够了
太神奇了！ 我想到的是德国哲学家伊曼努尔 · 康德的观点: “证据不足，只有信任存在。” 毫无疑问，证据的方法仍然受到质疑。 没有普遍接受某些假设，可以使用。 阿基米德，数学严谨的象征，宣称他满足于自信而不是确定性。 这当然是数学家阿基米德不熟悉的特征（克诺布洛赫2000b）。 这个事实更值得一提，因为确定性过去是，现在仍然是，数学知识的特征。 确定性是由证明来保证的。 正如托勒密在他最伟大的著作（托勒密，最伟大的Ⅰ，前言）中所说: “只有数学才能给它的信徒们提供可靠和无可争议的知识，因为这个论证不允许任何怀疑。” 托勒密的表达是“ 当画家的婴儿”，“已建立的、可靠的知识，是不能改变的” ，“轨道”和“阿米塔皮斯托斯”来自同一个激进的“ 佩索”。这样的知识总是相同的，这正是科学知识或科学(知识型)的特点。
永恒让人想起宗教背景。事实上，西塞罗已经把阿基米德归功于一个神圣的天才，因为阿基米德已经构建了一个行星系统，因此做了和柏拉图的《蒂迈乌斯》中上帝做的一样的事情（图斯库卢姆辩论Ⅰ，63页）。 难怪这个传统在文艺复兴时期得以延续。 突击队员在几何学上称他为神（古尔丁 1635 ~ 1641，iv，290）。
在接下来的章节中，我想说明对古人，尤其是阿基米德人的接受能力，数学是一个深刻的创造过程，而不仅仅是模仿。 接受暗示了一种转变。 我的例子是开普勒、莱布尼茨和20世纪的离散数学。 像开普勒这样的数学家，提出的问题比他们能解决的还要多。 但是他们使得新数学的突破成为可能。开普勒变换和无穷小量使用了无穷小量的概念，即大小的可加的、不连续的分割。莱布尼茨提供了分区的精确定义。
2 阿基米德定律: 开普勒
1615年，开普勒发表了他的“新立体测量学”（开普勒 1615；克诺布洛赫 2000b；克诺布洛赫2005）。当他使用无穷小量和变换时，他明确声称已经使用了阿基米德定律，揭示了他的定理的意义（开普勒1615,15），和他的证明的隐藏力量（隐形的光）（开普勒1609,264）。 它们使他能够计算旋转物体的体积。他制造了圆锥曲线的旋转部分，以便制造出96个天体。 他称它们为苹果、梨、柠檬等，因此认为它们是名副其实的果园。 这些物体没有被古人研究过，尤其是阿基米德。 这就是为什么他把他的“新立体测量”的第一部分称为“阿基米德立体测量的补充”。 让我们考虑一下他对苹果体积的计算。
弓形的旋转产生了一个苹果（开普勒1615,39）。 如果小段 IDK 围绕和弦 MN 旋转，那么我们得到一个“苹果环”或“苹果带”（小面积）。 定理20用一个圆柱形环和一个球形环来描述一个苹果环的体积（开普勒1615,49 ~ 51; 克诺布洛赫2000b，94f.）:
插图 4 开普勒 1615 , 39 插图 5: 开普勒 1615 , 50
“苹果环由球形环带和圆柱体的直线段（ODTV）组成，圆柱体的底部是缺少产生苹果的形状的（圆形）段（TKD），其高度等于（圆形）段（MIKN）的中心（F）所描述的圆周。”
有四个基本的思想或概念，使他非常巧妙的解决方案。
- 构成: 苹果和球体是旋转体，由中空的同轴圆柱形薄片(原膜)围绕旋转轴旋转而成。直的圆柱形有蹄类是由垂直于底部的长方形组成的。
- 展开: 薄片被展开成长方形。 开普勒声称使用了与阿基米德相同的定律，阿基米德根据开普勒将圆的面积扩展成直角三角形。
- 变形: 苹果和球体变成圆柱形的有蹄类。
- 分解: 将圆柱形有蹄类分解为三个和两个部分体，其体积可以几何确定。
证明包括四个步骤。
第一步：苹果的产生和组成。
让我们假设苹果是由弓形围绕MN轴旋转而生成的。 这段MIDKN 被平行地划分成“最小的”恒定宽度的段，也就是，如开普勒所说，分成准线性段。 平行线的数量和直线上的点数一样多。 每个旋转的准线性段产生一个圆柱形薄板。
开普勒告诉我们，小面积（网眼状空隙)）MN 创造几乎为零，因为它是移动最少，苹果包括片（苹果片模型）。
第二步: 建造体积与苹果相同的圆柱形蹄。 每张圆柱形纸张沿垂直线剪开，然后展开成一个长方形，竖立在底座上，即弓形上。每个这样的矩形或展开的纸张的高度等于直线广告上属于竖立的矩形的点所描述的圆的周长。 这个结构是基于苹果的变形。 这种转换的力量（相对于转换）意味着将有蹄类分解成已知体积的（可计算的）部分。
第三步: 分解钩骨。
如果 F是AD或 ED 的中心，那么FD=GT ，GF=TD。
圆柱形的蹄由三部分组成:
- 柱面棱柱体,
- 圆柱形段的 ODTV
- 圆柱部分
最后两部分加起来的体积相当于弓形IDK 公司生产的苹果环。 这就是我们要找的体积。
第四步: 确定这三部分的体积。
- 柱面棱镜的体积。
这个体积相当于苹果的部分，是由面积 MIKN 的旋转所产生的。 身体的这部分是个环面。 开普勒在定理19中确定了它的体积。 它的体积等于一个圆柱体的体积，圆柱体的底部是面积 MIKN，其高度等于中心 F所描述的圆周长。
- 圆柱形管片的体积计算简便。
- 圆柱部分。
这部分同时也是较小的圆柱形有蹄类动物的一部分。 它的体积被解释为一个球体的体积产生的旋转半圆 GT (一个球是一个苹果的极限情况)。 ST是T旋转 G所描述的圆周长度:
AD:DS= GT:TS (三角形广告和 GTS类似)。
换句话说，半径 AD等于旋转D产生的圆的圆周长度，即半径GT等于星等 ST，因此ST等于第二个产生的圆的圆周长度。
球体通过苹果变成大圆柱形有蹄的同样步骤变成小圆柱形有蹄。 因此，圆柱形部分 VTSL对应于旋转弓形生成的球形环，VT等于 IKD。 处理这样一个球形环并不困难。
开普勒提到了阿基米德。 在不知道阿基米德“方法”的情况下，他使用了与阿基米德相同的基本概念，当时他的蹄被认为是由垂直于底部的平行矩形组成的。 然而，开普勒和阿基米德之间，有两个重要的区别值得一提:
阿基米德在发现的背景下使用了不可分性，开普勒在证明的背景下使用了无穷小量。
保罗 · 古尔丁否认开普勒达到了阿基米德思想的水平（因为他不尊重建筑师的思想）（古尔丁1635 ~ 1641 iv，325） ，而亚历山大 · 安德森否认开普勒声称使用了与阿基米德相同的定律(古尔丁1635 ~ 1641 iv，330f; 安德森1616)。
他说开普勒的变换，与阿基米德的思想格格不入。与开普勒的说法相反，阿基米德并没有将圆的周长扩展成直线，而是假定存在一条长度等于圆周长的直线。 安德森否定了开普勒的主要思想，即通过无限小量给出明示的证明。
古尔丁谈到了开普勒的“新的证明方法”（显示的新比率） ，这种方法不可能被所有人一下子接受（你所得到的就是你所能得到的），但也不应该被完全鄙视（古尔丁1635 ~ 1641 iv，331）。 我们记得，对阿基米德来说，接受证据已经是个问题了。
两位评论家都指责开普勒含糊其辞。 ”哪个头脑会想象这样的变形? ” 安德森问。古尔丁承认他不想为了开普勒的转变而绞尽脑汁: 神经系统的转变，神经系统的转变，神经系统的转变，神经系统的转变，脑的转变。 这是命运的讽刺，文艺复兴时期的作家，像克拉维斯，以及古尔丁，应该指责阿基米德默默无闻。 古尔丁并不缺乏自信。他判断情况如下: 阿基米德的证明是肯定的，但不明显。
开普勒的证明既不确定，也（总是）不明显（最坏的情况）。
他声称给出了确切而明显的示范，是完美的示范者。
他的论证是基于他的旋转原理和重心的使用，这是肯定的，因为他们不反对“更真实的几何学”。 它们很明显，因为它们被认为是明示的。 他隐瞒了他也依赖间接证据的事实。 他没有(可能)注意到他的计划被一个恶性循环所扭曲（ 克诺布洛赫 2005）。
无论如何，当文艺复兴时期的数学家，如开普勒或古尔丁，讨论阿基米德的著作时，证明的概念起了中心作用。 对古代的态度转变，导致了现代早期的数学。
3 阿基米德风格: 莱布尼茨
1675年，莱布尼茨详细阐述了他写过的最长的数学论文，也就是他的“关于圆、椭圆和双曲线的算术正交”。，“推论就是没有表的三角函数”。 1993年（莱
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