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附录A 译文
矩阵分析
Horn R A, Johnson C
霍恩R A，约翰逊
0.2 矩阵
这里的基本研究对象可以从两种重要的方面来考虑:作为标量的矩形列和作为在两个向量空间之间的线性变换，给定每个空间的特定基底。
0.2.1 矩形数组。 矩阵是一个在数域F上的m乘n的标量数组。如果m = n，那么这个矩阵就是方阵。F上所有mtimes;n矩阵的集合用(F)表示，(F)通常用(F)表示。向量空间 (F)和是一样的。如果F = C，则(C) 进一步简写为, (C) 再简写为。矩阵通常用大写字母表示，它们的元素通常用双下标小写字母表示。例如,如果
那么 A isin;(R)有元素 = 2, = minus;3/2, = 0, = minus;1, = pi;,
= 4。给定矩阵的子矩阵是位于给定矩阵的行和列的指定子集中的矩形数组。例如, [pi; 4] 是A的子矩阵(位于第2行，第2、3列)。
假设 A = [j ] isin; (F)。A的主对角线是元素, ,...其中q = min{n, m}。有时可以方便地将A的主对角线表示成一个向量 diag A =isin;。A的第p个超对角是 ,...,，其中 k = min{n,m minus; p}, p = 0,1,2,...,m minus;1;A的第p个次对角线是 , ,...,，其中= min{n minus;p,m}, p = 0,1,2,...,n minus; 1.。
0.2.2 线性变换。设U是一个n维向量空间，V是一个m维向量空间，都在同一个数域F上;设是U的一组基，是V的一组基。我们可以用同构 x → 和 y →来代表U和V中的向量，分别表示为F上的n向量和m向量。一个线性变换是一个函数T: U→V使得 T( ) =T() T() 对于任意标量,和向量 ,。A矩阵Aisin;(F)对应于一个线性变换T: U→V，其方式如下:y = T(x)当且仅当 = A。矩阵A表示T(相对于基和)的线性变换;表示矩阵A取决于所选择的基。当我们研究矩阵a时，我们意识到我们研究的是一个关于特定基底选择的线性变换，但是对基底的显式变换通常是不必要的。
0.2.3 与矩阵或线性变换相关的向量空间。F上的任何n维向量空间都可以用表示;我们可以认为A isin;(F)表示x→Ax从到的线性变换(也表示数组)。这个线性变换的定义域是;其取值范围A = {yisin;: y = Ax}对于某个xisin;;它的空空间是 零空间A = {xisin;: Ax = 0}。A是的一个子空间，A的零空间是的一个子空间。零度空间A的维数用nullity A表示;范围A的维数用rank A表示。这些数由秩-零度定理联系起来
dim(range A) dim(nullspace A) = rank A nullity A = n (0.2.3.1)
对于Aisin;(F)。 A的零空间是中的一组向量，它的元素满足m个齐次线性方程。
0.2.4 矩阵运算。矩阵加法是在相同维数的数组中定义的，用 (“A B”)表示。它对应于线性变换的加法(相对于相同的基)，它继承了元素的交换性和结合性。零矩阵(所有元素都是零)是加法恒等式，Mm,n(F)是在向量空间F。矩阵乘法用并置(“AB”)表示，它对应于线性变换的复合。因此，只有当A isin; Mm,n(F) 和 B isin; Mn,q (F)时，才有定义。 它有结合性，但不总是有交换性。例如,
单位矩阵
isin; Mn(F)
为Mn(F)的乘法恒等式;它的主对角元素是1，其他元素都是0。单位矩阵及其任意标量倍数(一个标量矩阵)可与 Mn(F)中的每个矩阵交换;它们是唯一可以这样做的矩阵。矩阵乘法是对矩阵加法的分配律。
符号0在书中用来表示以下含义:零的标量场,零向量的向量空间,零n阶向量(所有元素等于零在数域F),和零矩阵Mm,n(F)(所有元素等于零)。符号I表示任意大小的单位矩阵。如果有混淆的可能，我们用下标来表示0或单位矩阵的维数，例如 0p,q , 0k 或 Ik。
0.2.5 转置，共轭转置，和迹。若A = [ai j] isin; Mm,n(F)，则A的转置，记作，为Mn,m(F)中的矩阵，其中i, j项为aji ; 也就是说，行被交换为列，反之亦然。例如,
当然， = A。 A isin; Mm,n(C)的共轭转置(有时称为伴随矩阵或埃米共轭矩阵)，表示为 ，定义为 = ，其中是对A逐个元素取共轭复数。例如,
它的转置和共轭转置都遵循逆序定律:和 。对于一个乘积的共轭复数，它们是不可逆转的:。如果x、y是相同大小的实向量或复向量，那么ylowast;x就是一个标量，它的共轭转置和复共轭是一样的:
.
许多重要的矩阵都是由转置或共轭转置的恒等式定义的。例如， A isin; Mn(F)在= A时是对称的，在 = minus;A时是斜对称的，在 A = I时是正交的;A isin; Mn(C)在= A时被称为自共轭矩阵，在 = minus;A时被称为斜自共轭矩阵,基本的自共轭矩阵如果 A是自共轭矩阵对一些 theta; isin; R,A = I是单位的, A = A是标准的。
每个A isin; Mn(F) 都可以写成A = S(A) C(A)，其中S(A)是对称的，C(A)是斜对称的:S(A) = (A )是A的对称部分;C(A) = (A -)是A的斜对称部分。
每个A isin; Mm,n(C) 可以用A = B iC来表示，其中B, Cisin; Mm,n(R): B = (A )就是A的实部;C = (A -) 是A的虚部。
每一个 A isin; Mn(C)都可以被精确地写成A = H(A) i K(A)，其中H(A)和K(A)是自共轭的: H(A) = (A ) 是A的自共轭部分;K(A) = (A - )是A的斜自共轭部分。复矩阵或实矩阵的A = H(A) i K(A)的表达式是它的 Toeplitz 分解。
A = [] isin; Mm,n(F) 的迹是其主对角元素的和:tr A = a11 ··· aqq，其中q = min{m, n}。对于任何 A = [ai j] isin; Mm,n(C)，tr = tr = ，所以
tr = 0 当且仅当 A = 0 (0.2.5.1)
如果 = 0，则向量 x isin; 是各向同性的。例如，isin; 是一个非零的各向同性向量。 在中没有非零的各向同性向量。
0.2.6 矩阵乘法的元力学。除了传统的矩阵向量和矩阵乘法的定义外，还有几种不同的观点是有用的。
1.如果A isin; Mm,n(F)，x isin; , y isin;，则(列)向量Ax是A的列的线性组合;线性组合的系数是x的元素。行向量A是A的行向量的线性组合;线性组合的系数是y的元素。
2.如果是b的第j列，是A的第i行，那么AB的第j列是Abj, AB的第i行是 B。
换句话说，在矩阵乘积AB中，左边乘A乘以B的列和右边乘B乘以A的行。当其中一个因素是一个对角矩阵时，观察的一个重要的特殊情况见(0.9.1)。假设 A isin; Mm,p(F)，B isin; Mn,q (F)。令A的第k列为ak ，B的第k列为bk。然后
3.如果m = n，则B = :在处的i j项是是B处的标量。
4.如果p = q, 则 A= : 每个和是一个mtimes;n的矩阵，向量 ak 和 bk的外积。
0.2.7 矩阵的行空间和列空间。 A isin; Mm,n(F) 的范围也被叫做列空间因为对于任意xisin; (x的元素是线性组合中的系数)Ax是a的列的线性组合; 值域A是A的列张成的空间。同理，{A : y isin; } 称为A的行空间。 如果{A : y isin; } 的列空间包含在 B isin; Mm,k (F)的列空间中，则有 X isin; Mk,n(F) 使得A = BX(反之亦然);X的j列中的元素说明如何将A的j列表示为B列的线性组合。
如果 A isin; Mm,n(F) 并且 B isin; Mm,q (F),则
range A range B = range (0.2.7.1)
如果 A isin; Mm,n(F)并且 B isin; Mp,n(F),则
nullspace A cap; nullspace B = nullspace (0.2.7.2)
0.2.8 全一矩阵和向量。在中，向量e = e1 ··· en的每一项是1。矩阵 Jn = 的每一个元素都是1。
0.9 特殊类型的矩阵
某些特殊形式的矩阵经常出现，并且具有重要的性质。这里列出了其中一些，以供参考和术语。
0.9.1 对角矩阵。当 j ne; i时，如果di j = 0，则矩阵 D = [di j] isin; Mn,m(F) 是对角的。如果一个对角矩阵的所有对角元素都是正的(非负的)实数，我们称它为正的(非负的)对角矩阵。一项正对角矩阵意味着这个矩阵是对角的并且有正对角元素;它不是一个具有正对角元素的一般矩阵。单位矩阵 I isin; Mn是一个正对角矩阵。 一个正方形对角矩阵D是一个标量矩阵的对角线元素都是相等的,也就是说，D = alpha;I对一些alpha;isin;F。矩阵左乘或右乘一个标量矩阵的效果与将其乘以相应的标量相同。
如果A = [ai j] isin; Mn,m(F)， q = min{m, n}，则diag A = [a11,..., aqq ] isin; 表示对角元素向量A(0.2.1)。反之，如果x isin;，且m和n为正整数，且min{m, n} = q，则diag x isin; Mn,m(F) 表示ntimes;m的对角矩阵A，令diag A = x;为了明确定义diag x，必须同时指定m和n。对于任意a1,..., an isin;F, diag(a1,..., an )始终表示矩阵A = [ai j] isin; Mn(F) ，令 aii = ai for each i = 1,..., n和 ai j = 0 如果i ne; j。
假设D = [di j], E = [ei j] isin; Mn(F) 是对角的，令A = [ai j] isin; Mn(F)。则(a) det D = dii ;(b) D是非奇异的当且仅当所有的 dii ne;0; (c)A与D的左乘将A的行与D的对角元素相乘(DA的第i行是 dii乘以A的第i行); (d)右乘A通过D的对角线项乘以A的列，也就是说，AD的第j列是dj j乘以A的第j列; (e) 当dii ne; dj j时，DA = AD当且仅当ai j = 0(f)如果D的所有对角元素都是不同的且DA = AD，则A是对角的;(g)对于任意正整数k, = diag(,..., );和(h)任意两个大小相等的对角矩阵D和E:DE = diag(d11e11,..., dnnenn) = E D。
0.9.2 分块对角矩阵与直和. 一个如下形式的矩阵 A isin; Mn(F)
其中 Aii isin; Mni(F), i = 1,..., k, ni = n，所有在分块对角线上和下面的分块都是零分块，称为分块对角线。把一个矩阵写成这样很方便
A = A11 oplus; A22 oplus;···oplus; Akk = Aii
这是矩阵 A11,..., Akk的直和。块对角矩阵的许多性质推广了对角矩阵的性质。例如 det(Aii) =
det Aii ,，所以A = oplus;Aii 是非奇异的当且仅当每个 Aii 都是非奇异时，i = 1，hellip;,k。此外，两个直和A = Aii 和 B = Bii ，其中每个 Aii和Bii 的大小相同，交换当且仅当每对
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