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mizuni - todd - ye预测校正不可行内点法对称优化arc-search策略
摘要
本文提出了一种利用圆弧搜索策略求解对称优化问题的mizuni - todd - ye预测校正不可行内点方法。该算法沿着逼近中心路径的椭圆搜索优化器，并保证对偶间隙和不可行性具有相同的衰减速率。通过分析，我们得到Nesterov-Todd方向的迭代复杂度，其中r为相关的欧氏约当代数的秩，e为所需的精度。据我们所知，所得到的复杂度界限与目前最著名的不可行的对称优化理论复杂度界限一致
Msc: 90c05: 90c25: 90c51
关键词:对称优化;infeasible-interior-point方法;arc-search;
izuno-Todd-Ye预估;迭代复杂性
1介绍
本文利用欧氏约当代数(EJA)提出一种对称优化(SO)的mizuni - todd - ye预测-校正(MTY-PC)不可行内点法(infeasible-IPM)。最近，SO因为为包括线性优化在内的各种凸优化提供了统一的框架而引起了广泛的关注miaion(L0)，授予optinzion或optitizium(SDO)作为特殊情况。同时，求解So的方法也有很多。其中，由Karmarkar[1]首先提出的内点方法(IPM)是一种重要的分类算法。关于im的分析有大量的文献对于S0第四节。目前，人们普遍认为最有效的IPM是原始-对偶IPM，其中包括Mehrotra预测-校正(M-PC)算法[12]和MTY-PC arMehrotra集成电路[12]和MTY-PC算法[13]是两个典型的代表。或MP-C算法的研究文献，见(7,8,14)。在上世纪90年代，研究者开始关注MTY-PC算法(15-22)，因为它具有迄今为止获得的所有ipm的最佳迭代复杂度的特性。后来，一些研究人员进一步研究了其他MTY-PC算法的方面(23-25)。最近，Kitahara[26]提出了LO的MTY-PC算法的一个简单变体，Yang[27]将MTY-PC算法扩展到SO。受他们工作的启发，我们提出了一个O(rlog e-l)-迭代复杂度MTY-PC算法。此外，所提出的算法将采用不可行起始，在实际应用中容易实现。这种IPM被称为不可行的IPM - ip /，文献[6,7,9,22,28 -31]对其进行了研究。
此外，本文提出的算法还有另一项发明，即arcsearch策略。Yang[32-34]首先开发了弧线搜索算法，沿着一个近似于中心路径的椭圆搜索优化器，并给出了弧线搜索算法的一些优点。为了进一步研究arc-search算法的优点,杨(35、36)提出两个infeasible-IPMs分别获得了e 迭代复杂性LO和和迭代复杂性,其中n是更大的维方位的一个标准,用来加工infea的迭代复杂度IPM，我们将添加弧搜索策略到我的算法。
本文提出了一种MTY-PC不可行的SO - ipm。该算法采用圆弧搜索策略，保证了对偶间隙和不可行性具有相同的衰减速率。通过分析，我们实现了Nesterov-Todd (NT)方向的迭代复杂度。据我们所知，这是迄今为止对于一个不可行的SO问题所获得的最佳迭代复杂度。
本文的提纲以如下形式组织起来。在第二部分，我们简单地介绍了一些EJA的关键结果。在第三节中，我们对算法进行了一些初步的讨论。在第4节中，我们确定了所提算法的迭代复杂度。最后，以一些结论结束本文。
2欧几里德约当代数
为了保证本文的完整性，我们给出了一些环境影响评价的结果。其中大部分可以在(5,37)中找到。
EJA是三重，其中是rp上的维内积空间
R和 (x，y)↦xoy: ?times; ? ↦?是一种有效的方法，可满足以下条件:
(a) x ◦ y = y ◦ x 对于所有的 x, y isin; J .
(b) x ◦ (x ◦ y) = x ◦ (x ◦ y)对于所有的x, y isin; J , 其中 x := x ◦ x
(c) ) x ◦ y, z = y, x ◦ z对于所有的 x, y, z isin; J .
我们称xo y为x和y的约当积，并将内积定义为(x,y)= tr(x o y)。对于任意x J, x的次数记为deg(x)它定义为使集合{}。J是最大值。对于EIA J，平方K:= ()对应的锥确实是一个对称锥。一个圆锥是对称的，当且仅当它是某个环评的正方形的圆锥。intK为对称锥K的内部。
幂等的c是J的非零元素，使。如果一个幂等元不能写成两个幂等元的和，那么它就是原始的。两个幂等元q和在时正交。正交幂等元的完备系是一个集合(......) 幂等元，其中对所有的，和e。一个完全的阶正交原幂等元称为约当系
定理2.1(谱分解(37，定理II1.2)设J为EA，秩为r。对于每一个x J，存在一个约当坐标系(..， )和实数这样
,
这里的x被称为特征值
设设x=;为x的谱分解，我们说x K当且仅当和x int K当且仅当对于所有的i=1,hellip;,r。定义的平方，对于，逆，迹tr(x)=，对于x J的行列式det(x)= ，我们还定义了谱范数和Frobenius norm
由于o对于每一个t t都是双线性的，因此存在一个线性算子使得对于每一个yJ, xoy=y。也就是 =x和=。我们说两个元素x,y算子可交换，如果。可以证明x和s算子交换当且仅i它们共用一个约当坐标系[5，定理27]。对于每一个x,yJ，定义，和称为x的二次表示。下面是一个二次雕琢的常用命题。
命题2.2(5，命题21)设x，y，pint并定义与，那么有相同的阶。
3 初步讨论及算法
3.1 SO问题与椭圆近似中心
首先给出SO的标准形式及其对偶形式如下:
当c,b ， A是一个映射的线性算子J变成，而A*是它的伴随算子那么对于所有的x。
此外，我们用P“和D”表示(P)和(D)的最优解集，并设A是满射和F0，其中Fo表示由定义的原对偶严格可行集
:={(x,y,s)}
(P)和(D)的Karush-Kuhn-Tucker条件由
其中xos =0称为互补松弛条件。
用x松弛我们得到
其中u = (x,s)/r gt; 0称为对偶间隙。
系统(4)有唯一解(x(u)，()，s(u)，其集合称为中心路径，用
在本文中，我们将使用Yang(32-34)的思想，将中心路径C替换为椭圆Omega;，其中Omega;的定义如下:
其中，和是互相垂直的椭圆轴，是这个角。
对于点，我们要求它的一阶导数和二阶导数满足
其中与。
系统(7)和(8)并不总是有唯一解，因为x和s在(5,Lenma 28)之后总是有一个不一致。对于缩放点p intK，有一些适当的选择(见(38))。在本文中，我们选择了经典的NT-scaling点，即
这是Nesterov和Todd最先提出的自缩放球果(4)，然后由Faybusovich(3) 改编研究对称锥
3.2 MTY-PC算法的基础
由于MTY-PC算法需要两个矩阵分解，每个迭代最多需要三个反向解，因此一般分为预测步和校正步两步。
在预测器步骤中，使用(9)中的p，系统(7)和(8)被重写为
其中,,,,且。
通过求解方程组(10)和(11)，我们得到预测的方向()和(，并有以下引理。
引理3.1(34，定理3.1)设(),y(,是由(6)定义的经过点(,y,)的弧
的一阶和二阶导数在(,y,) 成为(和(,,)由(10)和(11)定义。然后给出了中心路径的椭球形近似
(:=-sin( (1-cos(
(:=-sin( (1-cos(
y (:=-sin( (1-cos(
利用(12a) (12b) (12c)，得到(10)(11)中的第三个方程
其中g(。
此外，使用(13)，我们有
接下来，我们将讨论一种选择预测步长的方法。首先，我们给出本文使用的邻域如下:
其中w =求,0 lt; lt; 1。
附近有一些重要的性质，在下面的命题中给出。要了解更多细节，请参见[5]。
引理3.2(14)定义（14）中的， w =，则
(a)邻域称为不变性。
(b) llw-ell 表示，其中= 1-。
现在，我们给出了选择预测步长的方法，即找到最大的正 (0，pi;/2并且满足所有的
在校正步骤中，我们定义并计算校正方向(x, y, s)
(17)
其中。
同样，方程组(17)并不总是有唯一解。因此，我们需要选择一个NT缩放点pi以便
尺度校正器的方向通过求解以下系统得到:
其中
最后，下一个迭代点被更新为
在下面，我们给出两个有用的表达式
3.3 MT-PC算法框架
在上述分析的基础上，本文阐述了所提出的MTY-PC算法的一般框架。
算法1设
第1步 如果且那么结束
第2步(预测步骤)预测方向)由线性系统(10)和(11)解得，最大正值通过求解(16)和(15)得到。
第3步 从(18)解出校正方向()。转到第4步
第4步 计算=，执行步骤1。
为了分析复杂度，我们对算法1做了两点注解。
注解1令由算法1生成，且使ph n.(1-sin()。那么这样对于K。
利用(7)，(8)，(12a)， (12b)， (12c)，(17),(18)，直接计算得到
同理，我们有。
在接下来的内容中，我们将重点证明最后一个不平等和有
这就完成了证明。
从备注中，我们有，表示相对可行性。与此同时，我们还有，也就是二元差距下降率。因此，如果，那么算法1将停止，我们得到了SO的一个近似最优解。
注解2 对于算法1，我们选择一个特定的起点，由Zhang[14,31]和Rangaran [6]研究。下面，我们给出具体的起始点。
设和为线性方程组Ax =b和A*y s -c的最小范数解，即
令，并选择()使
，(23)
这意味着。
令。另外，我们假设对于某些常数，它有 (注意，我们总是可以增加)
4复杂性分析
为了简化，我们经常将分别写成和此外，由于本文使用了NT-scaling 点，我们可以得到以下特殊结果:
下面，我们给出一些基本引理。首先，通过对16,7中引理4.1和引理2的证明过程，得到以下引理。
引理4.1 设对象相交，那么
如果，那么
其中
引理4.2 ([6, 引理2.9])对于。
引理4.3([39，引理2.15])如果，那么det(x)。
引理4.4([5，引理30])设(x,s) intK x intK, w= ，那么我们有，且等式if和算子可换。
4.1技术结果
为了实现所提算法的迭代一致性，我们需要一些技术成果。
引理4.5设且是(10)的解。那么
其中
证明 令(满足方程与。用系统(7)和，我们有
最后一个方程乘以L，我们得到
根据的定义我们得到
用(26)(27)和结论，我们有
最后一个不等式在哪里用到结果
证明完成。
利用注释2和[40]中引理A.1的证明技巧，我们得到以下引理，它给出了上界。
引理4.6让满足(22)，(3)且满足引理4.5中的条件，则
引理4.7设则
其中。
利用引理4.5和4.6，我们有
这就完成了证明。
引理4.8设则
(i)
(ii)
证明将(11)方程乘以，两边取范平方，我们有
当第二个等式使用(24)时，前两个不等式来自引理4.1，最后两个不等式来自引理4.2和4.7。
使用结论和(28)，我们有
因此，引理的证明是完整的
下一个结果来自引理4。7和4。8。
引理4.9设，那么
(a)
(b）
4.2 的下界
在本小节中，我们将找到的下界满足(15)(16)。它在复杂性分析中起着关键作用。设。如果我们能证明(15)(16)对所有都成立，则是的下界之一。为此目的，我们首先给
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