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经济预测与非线性时间序列的金融模型
Michael P. Clementsa, Philip Hans Fransesb, Norman R. Swansonc,*
摘要：在这片文章中我们讨论的是在所有前沿的的估算与评价中挑选出的对于金融非线性时间序列的经济模型。我们对预测的密度、周期和关键点的评估和模型的选择，以及损失函数、数据挖掘和聚合这些理论和实证进行评价。另外，我们认为即使这种赞成构建非线性模型的数据是相当稀少的，但仍然存在着保持乐观的理由。然而还有许多的工作要去做。最后我们为了进一步的研究列出了一系列的主题，并讨论了一些领域，这些领域在最近的文献当中占据了极大的重视，但是仍存在一些问题有待解决。
1介绍
尽管非线性的模型经常被用于很多目的，但最主要的目的是用于预测，因为它预测的结果是最好被判断的。然而一些文章评论认为这用模型的预测结果并不是足够好。一些研究证明是对的，但是同样存在一些研究，这些研究用了复杂的关系去解释线性模型由于预测的精度所以不会得到预期的结果。就在十多年前，对于非线性的时间模型De Gooiger和Kumar(1992)共同得出一些不显著的证据去证明非线性模型对于预测的表现好于线性模型。我们认为自那时以来，得到的结果并没有发生什么变化。从这来看我们对于非线性模型的研究并没有取得多少长足的进步。
我们认为对于非线性的相关不好的预测结果增进了在这领域研究的实质性的探索，而这些也得出了非线性对于描述金融和经济现象并不重要的断言。这个问题可以大概得出非线性模型对于现实的模拟比简单的线性近似好，在下一章节我们讨论这个并且举出原因，为什么一个好的预测要依赖于一个非线性的模型。我们用一些特殊的开放性的例子放在概述里来讨论当前最新的非线性模型和预测。我们关注的主题包括联合和条件预测密度的评估、损失函数、估计和范围一集数据挖掘等等。因此，这篇文章的是对the International Journal of Forecasting特殊例子的补充。
这篇文章的剩余部分是这样组成的：在第二节我们讨论为什么要考虑非线性模型以及一些原因来解释为什么它比线性模型好。在第三节我们讨论非线性模型最近的理论与方法，这些方法不像传统方法去用预测点来考虑全部的预测密度。在第四节用经验性的问题来处理这这篇文章收集到的例子。最后结束语写在了第五节。
2 为什么考虑非线性模型
我们认为线性模型用给用一种简单的方法去描述某种在特定的时间具体的经济行为或是经济形势。最典型的例子事一个在西方经济去用于商业周期的一个线性的模型(Box-Jenkins ARMA)，在不景气的增长中以一些不同的方面进行发展(e.g. Hamilton,1989,Sichel,1994，以及很多例子)。产量增长的非线性具有两个或更多形势存在的特点(比如经济扩张或者经济衰退)，导致财政的多变(一时期的增高和暂时的偏低。)其他非线性的类型包括股票在一个“爆炸”(自激或者一些严重的表现)之前得到积累影响的可能性，正如同一些变量只能参与一次预测相关的概念一样。(只有石油价格增高依靠一些原因，而这原因导致产量有显著的影响。只有这样对于产量的预测才会变得有用。)
在宏观经济理论中，一些非线性的模型已经应用的相当广泛。比如，几乎所有的商业周期模型都是非线性的。同样股票价格的模型，其传播过程来描述收益率曲线。并且所有的连续时间经济模型都是非线性的。在经济与金融中主要的非线性模型是与从业人员使用的线性模型不同的，因为这种模型只可看作是利息现象的非线性的一种合理的近似。因此从预测的角度来看，我们有充足的原因来去审视非线性模型。正因为有了非线性模型的估计这种方法，挑选和测试的过程变得更为复杂，相应的预测的结果也得到改善。这不奇怪，在非线性模型中，从体制转换模型到神经网络和遗传算法来看，这些在文献中得到了大量的关注。
值得注意的是，我们观察了大量的因素，这些因素在非线性模型中对上述改善存在着不利的状况。其后在De Gooiger、Kumar、Granger、Terasvirta (1993a); Granger和Terasvirta (1993b), ch9(参考Terasvirta amp;Anderson, 1992)美国工业生产的平稳过渡自回归模型中，讨论了在这些模型的样品表现的优越性，其将匹配出样品，如果这一时期便显出非线性的特征。同样，Tong(1995),pp,409-410坚信关于非线性模型能预测的多好要依赖于我们自身的条件，并且和这样的机会，这些机会使得在预测中使得错误大幅度的减少。这是一个关于预测评价的重要方面，这种预测使得非线性模型相对于线性AR模型以一种方法做比较，这种方法对某一情况的良好表现给予指导，特别是在这些情况下做的预测对预测者是很有价值的。Clements和Smith(1999)对自激门限自回归模型(SETAR)和用仿真技术的AR模型的预测表现做了对比，确保了非线性的模型可用于当前的预测期。参考Tiao和Tsay(1994)的用于美国GNP的四体制TAR模型和Boero和Marrocu(2004)对于汇率预测评估的体制的应用。
此外，在汇率的预测中Diebold和Nason(1990)给出了大量为什么非线性模型可能并未由于线性模型的原因。其一是通过线性度测试的非线性模型存在着异常值或者结构性的坏点，这使得它不能轻易提高样本的表现，比如其只能通过Koop和Potter(2000)的方法来仔细的分析。他们也指出条件均值的非线性基友数据生成过程(DGP)的特征，但是对于预测不足以产生许多的提高，这种解释一直存在并且重要，但是错误的非线性模型常常影响他们。还有一个观点就是，因为在金融和经济市场中确实表现出了非线性的行为这一方面，而对于结构预测特点的疏忽，使得预测在某种意义上是不怎么好的。所以有这么一个说法，对于样本好的预测模型一定是一个有着好样本数据的预测模型。最为一个例子，美国GNP增长中AR模型会比带着隐藏要素的神经网络模型犯下多得多的错误。这是问题的关键，一个适合的样本伴随着一个模型其表现并不一定好(比如AR模型)，正如一下Clements和Hendry(1999)所解释的。
我们认为，如果一个人认为基础的现象呈现出非线性，那么有必要去考虑非线性的模型，但是注意它并不一定会得出好的结果，因为存在着很多未知因素，并且金融的复杂并不是能被一个线性的模型所能简单概括的，比如添加了一个体制那么可能会使得结果改善。这就是说自然要持着一个悲观的态度去对待模型，因为它会在某些方面表现不足，然后去寻找可替代的方案。在论文的随后章节和文章的最后会讨论对于模型选择的发展和实际的策略选择，以便迎接非线性预测这一挑战。
我们以两个简短的对出现困难的解释来结束这个章节。第一个是存在着不同的对体制选择的行为，但是这对提高预测的结果没有什么帮助。第二个是我们所讨论的产量和石油价格的关系。
2.1 美国产出增长的马尔科夫模型
Clements和Krolzig(1998)提出一个理论来解释为什么马尔科夫模型对于预测比不上AR模型，并应用这一理论来分析美国战前产量的增长。这是二体制的MS模型：
(1)
其中条件均值的取值范围如下：
(2)
对于MS-AR模型完整的描述是基于模型在取决条件上对随机和体制观察的规范上建立的。一旦制定一个体制，那么就可根据数据对其进行演化。这种制度演化过程被假定为只有有限体制(=1,2对于只有两个体制模型)的一个马尔科夫链，由转化概率定义为：
(3)
这个模型可以重新写作两个独立的过程:
其中是的条件均值，这样,的高斯过程是：
，
其他组成部分,它所建立的马尔科夫链为：
，
其中当时。是2体制的无条件概率。VAR(1)所表示的马尔科夫链为：
。
然后给出隐藏马尔科夫链的预测：
其中是以为条件所筛选的2体制的无条件概率。因此对于由给定的平均条件均值等于：
= (4)
对一个线性模型来说(4)式是一个最优的预测规则，并且对于默尔科夫体制转换结构来说是这个式子乘以一个，其中包揽了关于最新预测形成体制的信息。因此，对于(4)中对于非线性部分的总体预测依赖于两个体制的相对位置，和两体制的转移的由所给出的高斯过程。
Clements和Krolzig估计=0.65，并且AR多项式最大的根就是0.65，所以第二个原因解释了在预测中AR线性模型的成功。被检测的体制的转移很小的这种预测能力，约等于在(4)中，条件期望可以折叠成一个线性的预测规则。受此启发在体制转换模型的非线性的表现来看它是一个很好的可持续性的体制。当体制是不可预测的，那么我们出了采用一个简单的线性模型之外什么也做不了。参见Krolzig(2003)Dacco和Satchell(1999)对于体制分类错误过程的影响的分析。
一些作者，比如Sensier,Artis,Osborn和Birchenhall(2004)试图去预测商业周期体制，在(4)中依靠领先指标变量作为实验这些模型预测能力的方法。Franses,Paap和Vroomen(2004)利用从额外变量到新方法中的特定体制来预测美国的失业率。
2.2 产量增长和石油价格
当然可以从文献中看到石油价格和宏观经济的关系。是什么因素
引起了OPEC石油价格的上升引起了1970年代的经济衰退，虽然可能是一个极小的整张但期望以一个低的价格去刺激经济增长。Hamilton(1983)提出了一个美国石油价格和产量增长的线性关系。这收到了Mork(1989)的挑战，它认为这种关系是不对称的，产量的增长与石油价格的增长呈现出一种负相关的关系，并且不受石油价格下降的制约。随着几年数据上取得的优势，Hooker(1996)提出Hamilton(1983)认为的线性关系是不能支撑1973年之后的现象的(第一笔石油价格缓慢的数据)。并且他也对Mork(1989)的简单对称的假说提出质疑。最近Hamilton(1996)推出了有关产量增长对近一年的石油净增加的关系，他构建了一个变量，这个变量是在最近一季比前一季高中石油价格百分比的变换量，这个值是正的其他值为零。因此石油价格对前一季度的简单颠覆性下降呈现出上升是抑制的。最近Hamilton(2000)用了一个灵活的非线性的方法来表示石油价格的非线性变换。
Ramond和Rich(1997)通过在1951年到1995年美国产出的MS模型的石油价格提出了石油价格和宏观经济的关系。是否当石油价格因为平均产量的解释变量在MS模型上在收缩和膨胀上引起了市场转换吸引了他们。Raymind和Rich(1997)得出这样的结论，当石油的价格对这样一个在底增长阶段的平均产量是一个促进因素，那么在这些阶段上的石油价格上的运动就不是起主要的决定作用。(p.196)进一步的Clements和Krolzig(2002)对在用他们进行测试的商业周期中是否石油价格是不对称的进行了调查。
显然，这种产量增长和石油价格变化的关系的非线性形式的发现过程(一种近似的过程)已经持续了二十多年，且并非仅仅如此，这涉及到了最近的计量经济的方法。或许这对在以后用这种模型和方法提出了启发性的作用。
3 理论和方法的讨论
这里提出了各种涉及用于构建预测的非线性模型的理论问题。在本节中我们列举出其中的一些。显然我们从非线性模型如何使用作为开始，通过给定许多可用的可能性和曾经我们要去用于预测的例子。不同类型的模型要求了不同的理论和实证工具。(参考Franses amp; van Dijk的调查2000)比如MS过程预测的条件均值的解的存在是闭合的，但这不是一个阈值自回归的过程，在此种情况下它要求模拟或者用数值的方法。某些理论的属性，如稳定与平稳性以及股票的持续性都不是立即可见的。模型的选择应该遵从经济理论和该模型能从手上的数据抓住的要点来进行选择，当然这种特点显而易见。比如Pagan(1997a); Pagan (1997b); Harding and Pagan (2001)认为非线性模型应在在他们能够表述某些周期的时候加以利用，而不是它有匹配增长趋势的静止时刻时。
一个解决这个问题的方法就是用预测密度或是分布测试，因为一个有着很多预测模型的建立过程都有着其分布特点，这些特点都能从历史的记录得以验证。这可能包含了比如模型的最佳分布和预测区间。比如在金融风险管理中经常要关注一个特定的分位数，但是一个变量的整个条件分布是没用处的。就在前几年一个节约预测密度的新方法已经被提出。(参考e.g. Bai, 2001; Christoffersen, 1998; Christoffersen, Hahn amp; Inoue, 2001; Clements amp; Smith, 2000, 2002; Diebold, Gunther amp; Tay, 1998 (henceforth DGT), Diebold, Hahn amp; Tay, 1999; Giacomini amp; White, 2003; Hong, 2001)这个基于预测密度评估的文献很大程度上涉及了独立条件分布模型的动态规范的空值。同时这个预测评价的文献承认所有的候选模型是可约束的。(参考 e.g.Corradi amp; Swanson, 2002; White, 2000).Corradi和Swanong(2003a)去利用了一些从论文中得到的元素去提供了一种在可能是
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