在韩国和香港的初步研究:学生和教师使用反例证明数学命题的能力
原文作者: Issic K. C. Leung bull; Hee-chan Lew
摘要: 反例是一个不同种类的例子，在学习过程中的逻辑演绎和推理中起着诱导作用. 在本研究中，我们比较了在韩国和香港的学生以及韩国和香港的准老师使用的反例证明命题的能力. 结果强调，韩国学生在使用反例证明代数命题问题中的能力比香港的学生更强，同样的结果,韩国学生在利用反例解决几何问题的能力上也比香港学生的强。在韩国和香港的准教师在两个特定主题的反例(绝对值函数和平行四边形性质)来证明命题以能力中，在利用反例解决绝对值问题中香港的准教师表现得相对弱些,但在利用反例解决平行四边形的问题中比韩国的准教师要强些。学生和准教师的弱点和长处产生相反的例子通过对两个地区的数学情境进行逻辑推理,学生和准教师的优势表明了通过反例的运用可以提高学习和教学的效率
关键词:反例;反例证明;逻辑推理
1.引言
数学证明是有方法的学习和教学的工具同时也是逻辑推理的过程,不论他们是否能正确地证明数学命题,都有助于提高学生的逻辑推理能力和对概念的理解。在数学教学中，证明一个真命题是常用的显示程序，而否定一个伪命题往往被忽视。因此，学生缺乏在论证中适当地使用反例的培训，并因此缺乏运用反例来反驳潜在错误命题的信心。学生往往不注重反例，并认为反例是不恰当的工具澄清一个给定的命题（梅森和klymchuk虚假2009）。他们喜欢用示例说明:如粗糙的草图，快速计算或草稿列表显示变量之间的关系是积极的而不是矛盾的例子举例。作为一个典型的成分的推理能力，反例的反驳可以用来提高自己的演绎推理能力和方便的理解和评价各种数学概念的问题。不幸的是，在解决假命题，很多学生错误的决定但他们认为是正确的，或提供了不恰当的反例不满足甚至是假命题。
虽然例子和反例的一般被视为好的工具，在一个更严格的方式学习数学，如微积分的学习,但是他们往往被忽视,或者不专注与我们的课程。以主题在新高中课程的香港微积分导论，例如，它是美国在模块中的微积分和统计学习的目标之一：“hellip;hellip;强调应用而非数学的严谨性，以拓宽学生的视角展开对数学hellip;hellip;” 。 不强调严格的课程的一部分原因可能是例子和反例本身的非局部性。微积分的学习者容易识别，他们仅仅了解分化的重点和发现衍生物和定积分与不定,他们可以很容易地牺牲强调可微性，连续性的概念，存在限制等。在学习这些概念，学习者要证明反例与各种命题和定理相关的显示是必需的。然而，计数器的例子并不强调它在新高中课程为数学严谨的学习工具。
另一方面，新的高中数学标准最近提出了:使中小学学生提高他们的数学证明和反证明能力。教师需要了解清楚学生们证明和反驳的过程，教师教育应该培养在职和准教师应对教学中反例的能力。这是极大的兴趣将可以知道学生使如何熟练地利用反例证明命题，和我们的准教师都具有能力处理教学中的反例。利用反例来证明命题应该作为如何准备做好我们的准数学教师的一个很好的参考,这具有重要的理论意义和实践。我们在识别学生并在合理利用反例在技能和知识方面的内容的前瞻性的教师胜任力指标感兴趣，和在决定的理由，他们通过一个特定的概念准教师教学方法。我们的目标是使用仪器的项目，评估学生和准教师使用反例证明命题通过三序分量的识别：预设, 给定的条件, 陈述或结论。他们在一个假设的命题，主要由三部分组成一个逻辑语句的作用。学生和准教师使用反例证明命题的能力由以下研究问题综述：
1.韩国（SK）和香港（HK）的高中生利用反例在代数和几何专题的知识和否定命题的通过能力有何差异吗？
2,韩国和香港准教师的知识能力之间的分析和处理学生对反例证明命题的反应有什么差异吗?？如果有这样的差异，我们可以学到什么？
这项研究是基于从韩国和香港2010和2011的高中生收集的数据。这两个地区的学生在2006年国际PISA的评估表现良好，其中包括非常少的证明利用反例的相关问题。我们研究的是学生和准教师使用反例证明能力的优势和弱点。从我们的分析结论比较，我们的方法论的启示和建议是为了使我们的准教师提高使用反例来解决问题的教学质量。
2.理论框架
沃森和梅森（2002年a，2002年b）定义的整体和集体意识的数学例子，因为它们包括用作原料的概括一切。这包括直觉关系和归纳推理，说明概念和原理，说明内容的范围较大，激励探索的想法，揭露可能的变化和变化，以及锐化的技能和实践技巧。在其治疗的例子，Zodik和Zaslavsky（2008年）确定，除了常规的例子，有是非的例子和反例发挥数学教学的具体角色。非例子（没有在数学意义上存在，如直角三角形与3-4-6单位边缘“长度的例子），可以起到突出关键功能，而反例可以起到增强区别和深化理解与权利要求和其相关的反驳数学实体。
作为一种特殊的例子，反例在数学学习中发挥重要作用，特别是在数学思想和Michener（1978）给出了一个例子经典定义，包括反例，从功能的角度发展：初创的例子帮助人们对新的学习的初步设想上手;参考实例提供通过它的概念，思想和意义有联系的公共平台;模型的例子表明，总结预期目标和有关成果和概念的默认假设;而反例是反驳虚假陈述的工具，也可以增强学生的有关概念之间的区别的知识。米切纳（1978）进一步断言，也借鉴了许多反例。一个反例并不仅仅表明一个猜想是假的（拉卡托斯1976年）;它评头论足的一个猜想的具体方面。这也可能表明具体的改进细化猜想，并刺激了猜想的证明或反证的新的分析。举足轻重的例子和桥接的例子：在功能方面的各种例子。前者指的例子，可以围绕学习者的概念转向，改变了人们对数学对象的认知观念。后者指的是它可以作为一个桥梁,从他们的不完整或概念带给学习者的例子。
3.方法论
要回答这个研究问题，研究了在学年2010年和2011年审查了70和110学校的高中生，77和85学校的准教师，由韩国和香港两个地区分别进行测试结果。在香港，7-9年级包括初中水平，而10-12年级是高中水平。学校被分为了学生的学业标准的三派位组别（带1为最高，带3最低），评定根据其公开的评估性能，以及从小学摄入量水准。
对学生的测试项目包括九项问题：虚假四代数问题（1，2，3和4的问题）和几何五（问题5，6，7，8，9）。项目内容是针对初中和高中一年级水平。他们要求学生决定是否一个陈述命题是不是真的和证明的命题是真的，他们认为，不假命题用反例。测试的初步版本是由一个专家和三名教师审阅，并被一小部分的学生进行测试，以确定其可靠性。克龙巴赫的阿尔法值为0.792（0.75的值被认为是可靠的）。
对于准教师组成的代数问题和几何问题的试验项目（附录2）。他们被要求判断学生的假设是否是正确的（红字表6附录3），和评价学生的情况下，反应是不是正确的,关于绝对值的一个命题（代数问题）。相应的给出平行四边形的几何问题的评分规则。给出分数的前提是分别为准教师的知识和在证明或否定命题的条件三零件计数器的使用例子识别能力。
为了反映评估的响应，我们修改和采用Mayring内容分析的原理（见尔莱斯等人。2008）在下面的步骤：研究问题（步骤0）理论为指导，确定范畴定义，规则和评分编码（步骤1）修改和可靠性形成检查（步骤2）-最后的工作和解释数据（步骤3）。我们执行步骤1–3基于参与者等学科知识的绝对值函数实证定义，数学逻辑，性能，施工方法并对四边形的特点。是如果例子仅满足充分但不必要的,就必须给出（见附录）是正确的解释说明，这样一个生成的例子才是一个成功的反例。生成反例等技能全面的分析将会在后面的章节中讨论。
在每一项问题的结束，准教师被要求解释的教学方法，他们用的每个命题，充分说明如何反驳他们的学生的主张。结论基于学生通过反例在代数（绝对值的属性）和几何（平行四边形的性质）来反驳命题。在准教师的分析和处理学生使用反例证明命题的反应能力的优点和缺点进行了分析和比较。这里需要强调的是，我们只使用小样本,结论不一定代表这两个地区的目标人群。
这里的评分规则和原理是根据准教师建立在已知的结果（例如定义，绝对值和特征四边形的性质）、丰富的学科知识和他们的技能分析逻辑。在后者他们的分析能力中,他们理解的充分性和必要性是证明一个命题是必不可少的条件。
4. 结论与启示
从这项研究中收集到的信息可以得出几方面的含义。首先，它反映了要提高学校的数学课程，并在韩国和香港数学教学中帮助学生更清楚地理解反例质量的作用。其次，提出了在两个区域之间的准教师在反例教学中需要有所改进。特别是，香港未来的教师需要通过培训课程来处理数学教学中反例的运用，当然也包括施加和放松条件生成实例和一个命题的反例。因此，为解决逻辑语句或逻辑命题进行培训是绝对有必要的。进一步阐述，就是这个逻辑语言培训包括培训在数理逻辑和语言与抽象的数学概念的连接能力。
在我们的项目生成梯形作为一个反例的问题，最好是让我们知道如何构建通用计数器的例子,值得强调的是在师范院校的课程。应当指出，本研究只是一个试验研究，定量比较学生举出反例和准教师解决反例的能力。它的范围需要扩展综合并与韩国和香港的准教师之间的差异进行系统分析，定性研究之前，我们可以提供具体如何提高数学课堂教学与学习成效得建议。
致谢:
该研究项目是由特殊机构香港教育学院资助
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