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15 弹性理论的奇异积分方程
15.1.弹性理论的二维问题
沿着M.MSoldtov的研究，接下来推导二维问题的奇异积分方程。
Kolosov-Muskhelishvili公式给出了弹性理论的基本关系，（Parton和Perlin 1984，Muskhelishvili 1996，），该公式通过定义在平面OXY的区域D中，包含复变量 和 的两个函数确定应力：
（15.1.1）
在恒载下，函数满足问题的其次双调和方程，因此它满足区域D周线L上的边界条件：
， （15.1.2）
如果后一种情况用位移表示，那么k=1，并且
（15.1.3）
V是泊松比系数，u是剪力模量，u和v分别是是沿着坐标轴OX,OY的位移。
然而，如果条件（15.1.2）是由应力给出，那么k=2，且
（15.1.4）
其中 ， ， 是在坐标系统OXY中切向和法向应力， 和是方向余弦， 是一个复常数，由下文给出的条件决定。
如果是单连通区域，周线L是逆时针方向，如果是多连通区域，则保证区域D始终在L左侧，对函数 ， ， 和复共轭函数，，在分别解决内部和外部问题的情况下，在位于D内部和外部的点处获取极限值。
解析函数，形式如下
，
,（15.1.5）
辅助函数 由（15.1.2）得出，形式如下
k=1,2 （15.1.6）
这里C是复参数，决定所得方程的类型。
当 ，k=1,2，方程变成第二类Fredholm方程（Muskhelishvili 1996）
（15.1.7）
由于存在特征函数，后一个方程很难通过正交方法求解，因为相应的线性代数方程组的行列式等于零，我们寻求的函数的计算值是不稳定的（Parton和Perlin 1982，1984）。
当将问题转成到Muskhelishvili和Sherman-Lauricella类型的其他常规方程时，会遇到类似的并发症[参见Parton和Perlin（1984），其中考虑了一些消除缺陷的方法，例如在某些点固定 并排除相应的方程，以及使用正交公式的误差来细化代数方程的结构]。
如果C=0，那么方程（15.1.6）就是第二类的退化奇异积分方程。也可能得到一个第二类的非退化方程，比如C=i时，这里我们分析将方程（15.1.6）转化成第一类的奇异积分方程，当C=是可行的，那么方程（15.1.6）化简成
，k=1,2 （15.1,.8）
如我们所见，这个等式包含希尔伯特的内核。 令D为单连通域，其周线L为Lyapunov曲线，并由相同的参数方程给出，则有
（15.1.9）
注意函数 对 ， 而言都具有2pi;的周期，属于H类（参见10.4节）。
接下来分析当L是一个圆、并且方程具有如下形式时，方程（15.1.8）的性质
k=1,2（15.1.10）
如果在应力中形成的内部问题是自平衡的，那么由外部载荷引起的力和力矩矢量必须消失。 因此，在方程（15.1.10）的右边必须补充条件。 如果 是唯一函数，则外力矢量等于零的条件是自动满足的， 为了使唯一的，必须在L上式周期性的，即
， （15.1.11）
从方程（15.1.10）可以看出，后一种情况并未对函数 施加任何限制。 根据Parton和Perlin的说法，由于外力导致的力矩矢量等于零的条件
， （15.1.12）
使得，在圆形条件下，有如下关系
左边对任意的w都是纯虚数表达式，所以方程（15.1.12）对 没有任何限制。
继续在圆上分析问题，可以推导出齐次方程（15.1.10）的特征函数形式（当）由 的形式决定，比如傅里叶级数，K=1,2时，方程（15.1.8）和（15.1.10）的特征方程由如下复常数给出
（15.1.13）
K=2时，则由下面的函数给出
（15.1.14）
[这是对方程（15.1.10），对方程（15.1.8）则由函数 给出， 和 是任意常数]。
因此，方程（15.1.8）和（15.1.10）一定同时解决，由于受某些辅助条件限制“阶段”特征方程（15.1.13）和（15.1.14），条件如下
（15.1.15）
D.I.Sherman 第一个人将后一个方程的左边插入积分方程（15.1.7）以确保解的唯一性（Parton和Perlin 1982）.对圆形条件（15.1.15）要求
（15.1.16）
所以形式（15.1.13）中的 不满足后两个方程中的前一个，然而在形式（15.1.14）中就不满足第二个方程。
从方程（15.1.10）可以得出
（15.1.17）
所以函数 的实部和虚部积分均为零。如果在应力范围内解决问题，那么条件（15.1.17）决定了（15.1.4）中的复常数 。但是，如果在拉力中解决问题，那么当 在区域D中解析并在周线L中连续。对于圆，条件（15.1.12）会推导出
（15.1.18）
对任意的光滑闭周线L，（15.1.10）式关于 积分可得
（15.1.19）
类比圆上的条件（15.1.17）。
因此，边界是闭Lyapunov周线L的第二个问题可以简化成积分方程（15.1.8）和条件（15.1.11），（15.1.11），（15.1.15）和（15.1.19），还可以决定函数 ，当L是一个圆，上述条件须被替代为（15.1.10），（15.1.11），（15.1.16）-（15.1.18）。这些方程式奇异的并且有Hilbert内核。
考虑当k=2， 时的方程（15.1.10）以及条件（15.1.11），和（15.1.16）-（15.1.18），利用6.2节中的数值方法解决弹性理论中的二维问题。首先将条件（15.1.10）中的实部和虚部分开的得到方程组
（15.1.20）
R和I分别表示方程相对应的实部和虚部。
假设 和在[0,2pi;]属于H类，像在定理6.2.1中一样，选择点 和，i=1,2，hellip;,n，用下面的线性代数方程组代替（15.1.10）式的积分方程组
j=1,hellip;,n，
j=1,hellip;,n，
（15.1.21）
，和是使方程组具有良好条件的正规化因子，注意只有当条件（15.1.17）和（15.1.18）均满足， 时三个因子才会趋于零，实际上当先把方程组（15.1.21）额前n项相加，再把后n项相加，可得到
（15.1.22）
当时， ，n=1,2,3,4。然后前n个方程乘以 ，j=1,hellip;,n，后n个方程乘以 ，j=1,hellip;,n，最后把所有2n个方程相加，得到（考虑条件（15.1.18）
（15.1.23）
当时， ，n=5,6,7,8。
上述的 ，和来自于方程组（15.1.22）和（15.1.23）。
注意正则化因子 ，和可以以替代方式引入，然而，在任何情况下，当时，他们都必须趋于零，并且方程组保持良好的条件，举个例子，可以从前n个方程取 ，和，从后n个方程中取 ， 和 。
如果圆是负载在不平衡分配集中力上，那么在第一类施力点上， 不连续，这种情况下，和的选取要保证不连续点和参照点的一致，和由单边极值的算数平均值表示。
如果既定的区域D有对称轴，那么积分方程组（15.1.20）在某一段上可以转换成一个第一类奇异积分方程组，至少部分w上的条件会满足，如果得到的方程组有数值解，则必须使用第五章中得到的结果，其中每个方程在 和 中选定的电上是奇异的。
所以，一般来说，为 ，选择的点集和是不同的，图15.1和15.2展示了在圆上对不同的负载方程组（15.1.21）不同的计算结果。
所有情况下计算结果都是稳定的，并且对于对方程组从30-110都是绝对收敛的。这个结论通过与精确解比较可以被验证。
对于其轮廓由有限数量的闭合Lyapunov曲线组成的任何单连通区域，类似地解决该问题。 要解决这个问题，只需要以参数形式指定轮廓。
15.2 均匀移动冲头压人弹性半平面并产生热量的压痕连接问题
接着Saakyan（Lifanov和Saakyan 1982，Saakyan 1978），接下来论述如何将15.2节和15.3节前面提到的问题转化成奇异积分方程。
让基座具有任意平滑构造的刚性冲头在弹性半平面的边界上移动，其速度 小于或等于Eayleigh波速度。 与此同时，冲头通过力P缩进半平面（参见图15.3）。
假设冲头和半平面之间有摩擦，换句话说，接触区内的切向应力与正常压力成正比。因此，在接触区内产生热量，其数量与相对运动速度，摩擦系数和正常接触压力成比例。冲头和半平面中未接触的部分应该是热的绝缘。
图15.1. 对于负载两个集中平衡压缩力的圆的情况，函数WR和wI的近似值。
图15.2. 对于三个集中平衡延伸力的情况，函数WR和wI的近似值。
图15.3. 在存在压痕力P的情况下，刚性冲头在弹性条带上的运动。
选择一个坐标为 的静止系统和一个附着在冲头上的坐标为的移动系统。 显然，这两个系统通过公式 和 相关联，并且在后一个坐标系中，所寻找的量与时间无关，换句话说，将分析稳态情况。 接触区导致热通量 和的出现分别指向半平面和冲头，并通过与接触压力 相关
（15.2.1）
是摩擦系数，根据傅里叶热传导规律
，k=1,2
， 是热传导系数， ，是分别属于半平面和冲头的点的温度。
我们假设弹性半平面的变形不会影响温度场。 然后问题分为以下两个问题：在存在温度场的情况下计算温度场的问题和弹性动力学的二维问题。 让我们从考虑前一个问题开始。
首先，我们构建了问题的影响函数; 换句话说，我们构造了弹性半平面的热传导问题的解决方案，其中单位热通量的点源沿着恒定速度Vo的绝热边界移动。 然后我们得出热量方程
边界条件
（15.2.3）
， 时
是半平面上点的温度， ， 和分别是半平面材料的密度，比热容和热传导系数。 是Dirac函数， 是t=0时热源的坐标。
在移动过程中，方程组（15.2.2）和（15.2.3）变成
（15.2.4）
（15.2.5）
时
下述的关于变量 的复傅里叶变换可以应用到后一个边界问题上
（15.2.6）
（15.2.7）
是变换的复参数， ， 是2下式给出的傅里叶转换体
通过解方程（15.2.6）的边界条件（15.2.7），可得
（15.2.8）
，函数在复平面 中的点 和 处分支。为了隔离函数的单值分支，平面必须被切割沿着连接分支点和无限远点并分别位于上半平面和下半平面的线（见图15.4）。这种切割允许我们选择根的单值分支，满足沿着实轴的条件 时，。
接下来让我们在存在由移动的集中强度源S产生的温度场的情况下构造弹性动力学的二维问题的影响函数。运动伴随着集中的正向力P和切向力Q的运动。
接着得到在温度场存在的情况下为静态坐标系确定的Lame方程：
（15.2.9）
，是位移分量， 是体积增量， 是密度， ， 是Lame系数， ， 是线性膨胀系数，是预定温度。
利用Duhamel-Neumann公式
边界条件可写成
（15.2.10）
图15.4.具有切口的复变量平面上的函数的唯一分支
再次传递到移动的坐标系时，我们得到后两个方程
（15.2.11）
（15.2.12）
第一个方程（15.2.11）对x微分，第二个对y微分，结果相加，得到以下有 的方程
（15.2.13）
对方程（15.2.11）-（15.2.13）做广义傅里叶变换
然后我们得到函数 ，和中关于变量y的常微分方程组，受制于边界条件（15.2.12）。去找到一些特殊的方程组
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