英语原文共 13 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
改进的亥姆霍兹边界积分方程的一种小波配置方法
摘要
小波配置方法，是用于求解修正的带Robin边界条件的亥姆霍兹方程的线性边界积分方程。而为了处理罗宾边界条件造成的困难，我们提出了一种改进的小波配置方法。此方法采用矩阵压缩策略和增强方法，得到了完全离散系统，并对得到的系统进行了有效求解。最后，我们指出，该方法具有最优收敛阶和近似线性的计算复杂度，并通过数值实验验证了该方法的逼近精度和计算效率。
关键词：改进的赫尔姆霍兹方程多级增强法
Abstract
A wavelet collocation method is to proposed for solving the linear boundary integral equa- tions reformulated from the modified Helmholtz equation with Robin boundary conditions. To deal with the difficulties caused by Robin boundary conditions. We provide an improved version of wavelet collocation method. By employing a matrix compression strategy and augmentation method, we obtain fully discrete system and solve efficiently the resulting systems. At last, we point out that the proposed method employs an optimal convergence order and a nearly linear computational complexity. Numerical experiments are presented to demonstrate its approximation accuracy and computational efficiency.
copy;2017 Elsevier Inc. All rights reserved
Keywords: Modified Helmholtz equation Multilevel augmentation methods
引言
修正的亥姆霍兹方程的边值问题是许多重要应用的常用数学模型，例如：热量的时间离散化或Navier-Stokes（纳维叶－斯托克斯）方程和泊松-玻尔兹曼方程的线性化以及以及参考文献中所提到的（详见参考文献[2,11,12]）。具体地说，假设D是中的一个单连通有界域，并有一个边界。设表示为x处垂直于单位向量，本文主要考虑求解下面的罗宾边值问题：
其中为正常数，为给定函数。在本文中，我们总是假设边值问题（1.1）是唯一可解的。事实上，唯一的可解性可以通过对函数和边界进行适当的假设来获得[1,15]。
对于修正的亥姆霍兹方程，已经发展了各种数值方法。在用数值求解边值问题（1.1）的所有方法中，边界积分方程法是最基本的方法之一。利用基本解，它能将边界问题转化为边界上定义的积分方程问题。在文献中使用了几种常用的数值方法来求解由修正的带有罗宾边界条件的亥姆霍兹方程重新建立的边界积分方程。而针对混合边值问题，提出了一种以周期B样条为基函数[14]的Galerkin方法和谱配置方法，在文献[2,11,12]中讨论了快速多极加速积分方程方法，以求解具有不同线性边界条件的修正赫尔姆霍兹方程。
对于数值求解边界积分方程，从边界值问题（1.1）重新数值化，首先我们回顾了边界积分方程的重构。为此，引入了阶数的修正贝塞尔函数
（1.2）
其中，是欧拉常数，且
这里，我们让表示所有正整数的集合，并设。对于每个，我们也设和,修正后的亥姆霍兹方程的基本解由下式给出：
根据势理论，边值问题（1.1）的解可以表示为
(1.3)
让趋向于边界上的一点，利用边界条件，得到边界积分方程:
如果得到边界积分方程的解，就可以得到边界上的法向导数，然后通过计算表达式（1.3）得到（1.1）的解。
在本文中，我们将考虑用小波配点法来求解由改进的赫尔姆霍兹方程的罗宾边界问题重新表述的边界积分方程（1.4）。事实上，用小波配点法求解离散系统需要很大的计算成本，这是由两个原因造成的。一个原因是建立了系数矩阵，另一种方法是在整个近似子空间内对线性算子进行求反，因为该子空间通常具有较大的维数，因此可以获得较好的近似精度。首先，利用多尺度小波基函数及其配位函数使离散系统的系数矩阵在数值上稀疏（感兴趣的读者可参考[8]），我们可以根据相应的截断策略，分别根据核的正则性，截断光滑核和奇异到备用矩阵的算子表示。我们发现，生成弱奇异算子表示矩阵的备用矩阵仍然占据大部分运行时间。具体地说，弱奇异算子表示矩阵中剩余积分的计算量要比光滑核的计算量大得多，这是由[4]中提出的求积规则根据一类广义奇异核对网格进行分级得到的。为了克服这个问题，我们将为奇异核开发一种特殊的积分方法，因为它的特殊结构允许我们开发一种比[4]中使用的高斯求积方法更有效的求积方法。为此，我们首先采用了一种在[3,5]中用于求解具有非线性边界条件的拉普拉斯方程的技术，并采用傅立叶-伽辽金（Fourier–Galerkin）方法求解修正的赫尔姆霍兹方程。特别地，我们将涉及边界参数函数和近似解的项投影到近似子空间上，依次，用积分法计算矩阵中的弱积分，即将弱Kernel分解为两个核的和，其中一个核具有弱核的简单结构特征，另一个核是光滑核。对于简单奇异项，在多尺度基下用显式公式精确积分，而光滑项则用高精度的正交近似积分。用这种方法计算弱核算子的表示矩阵是非常有效的。第二个原因是，由于离散矩阵的高频和低频分离特性，通过对稀疏矩阵的分解，使得线性算子在更小的子空间而不是在整个离散化子空间中反转。即[3,8,9]中发展的多层次增强方法（MAM）可以帮助我们有效地处理这一问题。值得指出的是，基于上述技术的快速算法保持了最优收敛顺序，同时具有近似线性的计算复杂度。
本文分为四个部分。在第2节中，我们描述了小波配置，用于求解所得到的边界积分方程。通过采用产品集成方案并引入额外的投影运算符，提出了一种改进的小波配置方法。在第三节中，我们建立了改进小波配置后的线性系统的MAM。
然后证明了改进后的算法保持了最优收敛阶，并对近似子空间的维数进行了线性估计（最大可达对数因子）。第4节中给出了数值实验，以验证为该算法建立的理论估计。
边界积分方程的小波配置方法
在本节中，我们描述了多尺度小波下求解边界积分方程（1.4）的小波配置方法。为此，我们首先用算符形式表示式（1.4）。假设边界能够参数化
设. 利用（1.2）中定义的修正贝塞尔函数，我们通过
及
,
定义了上的两个核，然后通过
在上引入三个函数,那么，我们可以将等式（1.4）改写为
很容易证明, 当为且sge;2时，核具有sminus;2阶连续导数。在本文中，我们假设s足够大，使得足够光滑。对于核的正则性，通过式（1.2），我们注意到当时，我们得到
这表明在时具有对数奇异性。从核的定义来看，是1-周期的，是1-周期的，那么在处有对数奇点。接下来，我们将内核分解为两个函数的和，其中一个带有的主要奇异性特征，另一个是光滑的内核。这可以通过将内核拆分成下面的形式来实现
其中，对于任何
且
通过核的扩张，是无限多次可微的。在所有核的分解中，式（2.2）有两个优点, 其一是具有很好的性质，即它在多尺度基下对应于核的算符的矩阵表示可以用显式公式精确计算。另一种是在相同的基础上，对应于光滑核的紧致算子的矩阵表示, 在矩阵截断策略下，可以将算子和的矩阵表示分别压缩为稀疏矩阵，而不损失矩阵中编码的关键信息。
结合核和，通过
和
我们分别定义了两个线性积分算子，并且通过定义两个运算符
我们还定义了一个运算符
由上述算子定义，式(2.1)用算子形式表示
此处.
现在我们回顾描述求解方程（2.4）的多尺度配置方法。对于，让表示网格，对于给定的整数，将区间[0，1]均匀地划分为个，对于固定的正整数r，是r阶的分段多项式空间。对于序列，有如下定义：
配置点集是从包含r个不同点的[0，1]的子集G中选择的。我们要求G对于收缩映射族可重新定义，其中索引集,且
其中。设为从C[0，1]到的插值投影，插值点集为
利用上面介绍的符号，求解（2.4）的多尺度小波方法是找到，这样
根据文献[8]的定理2.1，式（2.5）对于足够大的n是唯一可解的，并且存在正常数和，这样
其中表示（2.4）的解。
我们现在回顾的多尺度基和相应的多尺度配置函数，这是在[7]中首次引入的。序列的嵌套性允许我们将分解为和它的正交组合的和，即
由于是r阶分段多项式的空间，的元素自然具有r阶消失矩。接下来我们将描述相应的配置的构造。一般来说，对于每一个，是的线性子空间，由点的评估函数确定。注意的是，上的评估函数可以看作时上评估函数的扩展。我们假设包含与集合中的点对应的评估函数，包含评估函数的线性组合，中的点具有r阶消失矩。对于，通过的仿射组合，由的元素得到的元素。不难看出
令,,。我们选择子空间的基，这样
且
通过引入索引集
我们有
每一个都能唯一的表示为
我们称为函数的表示向量
在多尺度小波基方面，多尺度方法(2.5)与系统拟合是等价的。具体地说，用这种形式寻找一个函数就足够了,即
且满足
这样我们需计算
我们从（2.8）中观察到，第一个项只涉及点点估计的线性组合，不需要评估。因为核的光滑特性，第二和第四项将根据高斯求积公式进行评估。其中和，可以通过压缩算符和的矩阵表示来有效地计算，而要处理的第三项是主要的困难项。基于算子在多尺度分段多项式基下表示的矩阵是由显式公式求出的。我们考虑将项投影到子空间上，通过这样，我们将把奇异积分的计算转化为的矩阵表示以及矩阵和向量的乘法。
为了实现上述思想，我们引入了求解(2.5)的改进多尺度配置方法，该方法求出使得
下面的定理涉及改进的多尺度配置方法的唯一可解性和收敛阶,这一结果可以通过与（2.6）相关的论据来证明：
定理2.1 假设是（2.4）的孤立解，1不是线性算子的特征值,那么对于,存在常数,且满足
则当n足够大时，式（2.9）有一个唯一的解。
此外，如果解则满足
- 一种改进的多尺度配置方法的快速求解器
本节的主要目的是为求解式(2.9)开发的一个快速的全离散算法。将采用矩阵截断策略，求奇异积分的求积公式和多级增强法。
为了描述求解式(2.9)的快速算法，我们首先考虑式(2.9)等价于以下线性系统:
其中。为了以矩阵形式概念写（3.1），我们现在提出了在多尺度配置基和方程下的算子的矩阵表示。并对基函数和配置函数进行了描述, 利用上面描述的基函数和配置函数，我们得到了算子的矩阵表示，具体地说，对于，我们定义了矩阵
以及
为了表示投影的向量形式,我们引入以下矩阵:
通过求解线性方程组
因为，那么的投影可以用
表示。
我们还将向量定义为：
借助于此矩阵和算子的表示矩阵，（3.1）简化为线性系统
矩阵、和将根据内核的规律性进行压缩,是光滑的,是弱奇异的，它们的规律分别在第1节中描述。因此,如[3,8]，我们分别根据核函数的规律采用相应的截断策略。
参考文献
[1] K.E. Atkinson , G. Chandler , Boundary integral equation methods for solving Laplacersquo;s equation with nonlinear boundary conditions: the smooth bound- ary case, Math. Comput. 55 (1990) 451–472 .
[2] H. Cheng , J. Huang , T. Leiterman , An adaptive fast solver for the modified Helmholtz equation in two dimensions, J. Comput. Phys. 211 (2006) 616–637 .
[3] X. Chen , Z. Chen , B. Wu , Y. Xu , Fast multilevel augmentation methods for nonlinear boundary integral equation, SIAM J. Numer. Anal. 49 (2011) 2231–2255 .
[4] X. Chen , Z. Chen , B. Wu , Y. Xu , Multilevel augmentation methods for nonlinear boundary integral equations II: accelerated quadratures and newton iterations, J. Integral Eq. Appl. 25 (201
全文共11216字，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[885]
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
