Conventions
Each chapter is divided into several sections (e.g., Section 5.2 is the second section of Chapter 5). Equations are numbered consecutively within each section. Figures and tables are numbered consecutively within each chapter.
When an equation outside a given section is referred to, the section number precedes the equation number. Thus “Equation (6.3.2)' [or (6.3.2)] refers to the second numbered equation of Section 6.3. But if this equation were referred to within Section 1 of Chapter 6, then the chapter number would be assumed and the reference would be to “Equation (3.2)' [or (3.2)]. The fourth numbered equation in Appendix 3.1 is denoted by (A3.1.4).
A double dagger preceding an Exercise, or a part thereof, signifies that a hint or an answer will be found in the back of this volume.
The symbol [] signifies that the proof of a theorem has concluded.
The succeeding volume is referred to as 'IL'
A brief bibliography of books useful to beginning applied mathematicians can be found at the end of this volume. When reference is made to one of these books, the style 'Smith (1970)' is employed.
CHAPTER 1
What Is Applied Mathematics?
THE PURPOSE of this book is to foster an appreciation of the nature of applied mathematics. We attempt to explain the essential process involved and to provide experience in applied mathematics as it is used in a variety of physical problems.
The book is not intended as a compilation of methods—which cannot be complete in any case. Rather, it is believed that an appreciation of the applied mathematicianrsquo;s approach will provide the student with a clear framework on which to fit his knowledge, and with a creative attitude. These are much more valuable than an encyclopedia of methods.
Section 1.1 begins with some fairly detailed remarks on the nature of applied mathematics. Then follows an outline of the applied mathematical topics that are to be presented in this work. Section 1.2 consists of an introduction to the study of galactic structure, and Section 1.3 analyzes the sudden aggregation of a population of amebae. The main purpose of Sections 1.2 and 1.3 is to provide an early feeling for the type of problem now under investigation by applied mathematics. (The authors selected the topics from among their own current interests.)On first perusal at least, the reader should not concern himself unduly with detail but should concentrate on getting a general impression.
The behavior of stars and the behavior of amebae might seem to have little in common. It is an excellent illustration of the power of applied mathematics, however, to realize that this is not the case. For example, we shall see that both stars and amebae behave as if their mass were continuously distributed-notwithstanding the fact that one can see (using a microscope) gaps between amebae, while the nearest stars are light-years apart. But it is of little relevance that an idealized mathematical model such as the continuum is “wrong.' The real question is: Do the errors have a significant effect upon predictions concerning the phenomena under investigation?
For stars and amebae the idealization implied in the continuum model is particularly striking, since it is the particulate aspect of the phenomena that first makes itself evident. Water and air seem like continua-for most people the existence of molecules is hearsay-but the continuum model is, of course, also very useful for investigating phenomena involving these media.
Another similarity between the examples of Sections 1.2 and 1.3 is that both require an explanation of organized structure. The spiral galactic pattern demands an investigation for reasons of aesthetics alone, but a more basic reason is that the pattern offers an important clue to the nature of the forces involved. The morphogenetic (form-producing) motion of the amebae is studied because of the clues it can provide to the organized cellular movement that is a basic element of developmental biology. In both areas understanding is far from complete.
1.1 On the Nature of Applied Mathematics
Mathematics began with simple practical problems such as division of a flock of animals among family members (number theory) and the measurement of land area (geometry). Gradually, elementary ideas were organized, and they evolved into logical structures. A monumental example of early achievements is Euclid#39;s geometry. The Greeks realized that the study of mathematical theorems can be based on certain axioms. Only much later, however, did it become clear that the axioms (such as the parallel postulate) cannot be completely and decisively verified by experience. Indeed, it was through a change in the parallel postulate that non-Euclidean geometry was created; this led to many important ramifications. There is no doubt that these pure mathematical developments are extremely important in applications.
As an increasing portion of mathematics was developed in a manner independent of theoretical sciences, the term pure mathematics emerged. The creative efforts of pure mathematicians are certainly impressive, but it would be unfortunate to restrict our study of mathematics in any manner. Joint study of mathematics and its applications can provide richer content and greater intellectual challenge. Moreover, such study can stimulate the development of new mathematical methods and theory. Some of these developments will in turn find applications in the sciences.
Applied mathematics is guided by the spirit of and belief in the interdependence of mathematics and the sciences. It would be incorrect to claim that all parts of mathematics involve such interdependence, but in the study of applied mathematics one must give priority to such parts. This policy is based on the assumption that the areas of math
全文共32511字，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
惯例
每一章分为若干节(例如，5.2节即是第5章的第2节)。方程式是按每一节依次编排的。图、表则是按每一章依次编号的。
在越节引用方程式时，则在方程式的编号前加上节码。“方程（6.3.2）”（或(6.3.2)
式)即是指6.3节中的第二个方程式。不过,若要在第6章的第1节中援引这一方程式时，就把章码略去，记作“方程式(3.2)'或(3.2)式)。附录3.1中的第四个方程标作(A3.1.4)式。
练习题或者它的某一部分前面若有双剑号十，则表示在本卷的最后给出了提示或解答。
符号[]表示一个定理已证毕。
下卷记作“II。”
本卷书末列出了对于初学应用数学者有用的简明书目。当要援引其中的一书
时，采用'Smith(1970)”的记法。
第1章 什么是应用数学？
本章旨在让读者领会应用数学的本质。我们试图把处理问题的主要过程讲解清楚，并且把在各种物理问题中运用应用数学的经验介绍给读者。
我们并不打算把本书写成一本方法汇编，因为所谓汇编无论如何是不可能完备的。相反，我们相信，读者领会应用数学家的方法之后，就有了一个充实其知识的清晰骨架，同时也具备了创新精神。这些东西比之一本方法汇编要有价值得多。
1.1节首先相当详细地论述了应用数学的本质，随后概述本书所要介绍的应用数学的课题。1.2节是研究星系结构的一个导引；1.3节分析了一群阿米巴菌的突然聚集。1.2和1.3节的主要目的，是要使读者对应用数学目前所研究的问题类型有一个初步感受(这些专题是作者从当前感兴趣的问题中选取的)，至少在初读时，读者不要过分去注意细节，而应该集中精力以便获得一个总的印象。
恒星的行为与阿米巴的行为看起来并无共同之处，因为事实上人们只有用显微镜才能看到阿米巴之间的间隙，而最靠近的恒星却有若干光年之遥。但是我们将会看到，恒星与阿米巴的行为呈现出它们的质量好像都是连续分布似的。把上述两种情况看作是连续分布，这正是应用数学功能的一个极好例证。因而，把连续介质这类理想数学模型说成是“错误的”，这种说法是不妥当的。真正的问题是:这种理想化所带来的误差对预言所研究的现象是否造成重大的影响?
对于恒星和阿米巴来说，连续介质模型的理想化是特别令人惊异的因为首先使这些现象变得特别明显的正是它们的颗粒状态。的确，水和空气看起来像连续介质(大多数人知道有分子的存在，是听说的)。不过，连续介质模型对于研究涉及这些介质的现象来说，当然也是非常有用的。
1.2节和1.3节的例子之间的另一相似之处是，两者都需要对有组织的结构给出解释。星系的旋涡图式单是从美学的理由也需要加以研究，但更基本的理由是这些图式对所涉及的力的性质提供了重要线索。研究阿米巴的形态(形状的形成)运动，是由于这种运动能为组织细胞的运动提供线索，而组织细胞的运动是发育生物学的基本问题。在上述两个领域中，我们的认识还是非常不够的。
1.1应用数学的本质
数学起源于一些简单的实际问题，例如在家族成员之间分配一群牲畜(数论)和丈量田亩(几何学)。随之，逐步形成了一些初等观念，并演化成逻辑结构。在早期成就中，最杰出的例子是欧几里得几何学。希腊人认识到，数学定理的研究，可以建立在某些公理的基础上。不过，在很久以后人们才搞清楚，依靠经验并不能完全而决定性地验证一些公理(诸如平行假设)。事实上，也正是通过改变平行假设才创立了非欧几何学，从而派生了许多重要分支。毫无疑问，纯粹数学的这些进展具有极为重要的应用。
由于数学中独立于理论科学而发展起来的部分日益增大，纯粹数学这个名词就出现了。纯粹数学家的创造性成果无疑给人留下深刻的印象但是无论用何种方式来限制我们对数学的研究，都是令人遗憾的把数学和它的应用结合在一起研究，其内容更为丰富，对智力的要求也就更高了。此外，这种研究还可以促进新的数学方法和理论的发展而其中有些发展同样又会在各种科学上得到应用。
应用数学是以数学和科学之间相互依赖这一精神和信念为指南的。声称全部数学都具有这种依赖关系是不正确的，但人们在应用数学的研究中必须优先考虑这些部分。这一方针是以下列设想为根据的:直接从科学问题的研究中成长起来的数学领域极有可能再被应用于其他科学问题。举个例子来说，在本章末节我们会看到，偏微分方程的稳定性理论可以应用于当前发育生物学的问题。而这种理论最初是从流体力学和弹性理论的经典领域中发展起来的。
在历史上，数学和物理学的发展具有十分密切的联系。经典的例子可以在牛顿(见第2章)、高斯、欧拉和柯西等人的著作中找到，较近期的例子则遍布于相对论、布朗运动、统计力学及其有关的理论——协变性、概率论和广义调和分析的研究之中。为什么在数学和物理类科学之间存在着这样密切的关系呢?
通常给予这个哲理性问题的一种回答是
“上帝是一个数学家”
换句话说，人们相信自然界中存在着一种基本的、和谐的秩序。所以自然现象的描述可以用数学的逻辑法则加以条理化;然而，在社会和经济问题中，由于人们为了追求最佳的效益，人为地规定了某种逻辑，或许正是由于这种逻辑，数学才发挥了如此巨大的作用。
1.1.1应用数学的范围、目的与实践
应用数学的范围是非常广的，可以借用爱因斯坦的如下一段话来恰当地加以描述:
“它的范围相应地可以定义为我们全部知识中能够用数学语言表达出来的那个
部分”
这一句话是爱因斯坦用来定义物理学的。按照字义，这个定义当然也包括生物学、经济学、通讯工程等学科中的数学理论，因而用它来描述应用数学则更为恰当。
现在我们试图简要地叙述一下应用数学的目的和方法论，并把它们与纯粹数学和理论科学的目的和方法论作一个对比。
应用数学的目的在于运用数学来阐明科学概念和描述科学现象，并以此推动新数学的发展。利用数学来加深对科学的理解，简便起见，我们可以把这个过程分为如下三步:
(i)用数学语言表述科学问题；
(ii)求解这些数学问题;
(iii)用科学语言解释上述求解结果其经验验证。
存在着普遍的误解:认为第二步是最重要的，一个应用数学家最有价值的东西乃是运算技巧。然而，一般地讲，这三步是同样重要的。在某一类给定的问题中，或许某一步会突出来，显得比另外两步更为重要，或更为困难。
通晓各种方法和熟练运算技巧显然是必要的。一个对各种方法具有渊博知识的人可以为运用数学的其他科学家提供有益的帮助。但是，必须认识到，作为一个独立的科学家而进行工作的应用数学家来说，仅仅具有这种知识还是不够的，他必须也能在下列几个方面运用判断力，即在表述问题方面，在决定着手解决哪些问题方面。因而一个有抱负的应用数学家， 甚至应该比培养运算技巧更加刻苦地去培养正确的判断力。
最后，从数学理论中提炼出恰当的科学结论及科学含义，以供经验验证，并尽量把结论约化成最简单的形式，以最贴切的语言来表达，这一步是最重要的。它是全部努力的顶峰，同时也是将来前进的基础。这样便得到了新的认识，获得了透彻的了解，展现了新的前景，
这些比起仅仅导出某些公式和编纂某些有用的数值表来要重要得多，而且也更令人快慰。当然，必须把积累具体的定量资料看作是达到目的的一种手段。
讲到这里，显然可知:对问题的科学动机的理解和运用试探式推理的能力，以及运算技巧，这些在应用数学的实践中都是十分重要的。事实上，上述三点比起完成一个严格证明的能力来说，更为重要。在很多情况下，一个数学理论的严格表述可能要历时好几年。在此期间，应用数学家必须不管逻辑结构是否完整而向前推进，但是在他的推理中，他必须力求正确，尽可能地细心。
1.1.2应用数学与纯粹数学的对比
纯粹数学与应用数学之间在动机和目的上的差异，以及由此引起的着重点和态度上的差异，必须充分予以认识。在纯粹数学中，人们往往处理这样的抽象概念，逻辑乃是用来判断一个理论是否正确的唯一工具。但在应用数学中，经验验证则是一个必须而有力的判据。
然而，两门学科之间仍然存在着密切的关系。在某些情况下(例如天体力学中)，有一些严格的定理能够得到证明，对于实用的目的来说，它们也是有价值的。另一方面，有很多例子，其中新的数学观念和新的数学理论是由应用数学家或理论科学家提出的。分布理论就是最近的一例。
如果一个科学问题不能用现有的数学概念恰当地表述出来，那么必将产生新的概念，冯·诺伊曼的抽象“博弈”便是一例。如果所表述的数学问题不能用现有的方法来解决，或其解答的性质不能根据现有的理论恰当地加以理解，那么就必定要发展新的方法和新的理论(许多非线性问题就属于这一类)因而，我们把应用数学的第四部分记之为
(iv)通过创造、推广、抽象和公理化来产生科学上相关的新数学
应该认识到，当数学理论正在发展时，最初所证明的少数几个定理不会对纯粹数学产生重大影响，但对于应用数学的目的来说，必须把它们看作是有实用价值的成就。另一方面，许多第二流的纯粹数学也是以应用数学的面貌出现的(反之亦然)总而言之，如果要具备良好的素质的话，知识和趣味总是需要的。
1.1.3应用数学与理论科学的对比
理论科学家与应用数学家之间的区别往往是模糊不清的，因为各自都可以本着对方的精神工作。一个理论物理学家，当他不能正面攻克问题时，有时便得从事有关数学模型问题的研究，为了在理解实际物理问题的数学方面建立起信心和判断，甚至达到遵循纯粹数学家做法的地步。应用数学家为了他们自己的问题也往往要做这类工作。同时，应用数学家还要从自己的理论中引出科学结论，以便与经验证据作比较。为了有效地这样做，他必须掌握关于他正在研究的那个问题的大量科学知识。
常常有这样的情况，从特定课题的长期研究中，一个理论科学家具有关于某门学科的较深的知识。相反，一个应用数学家可以在不止一门学科中进行工作，并可使各门学科互相补充而得以丰富。的确，在当今日趋专门化的时期中，使各门学科互相补充而得以丰富乃是一个应用数学家最为有用和最为满意的活动之一。
一般来说，发现新的物理定律和原理对(例如)理论物理学家更具有吸引力。因而他对有关这方面的研究更具有鉴别能力，即使在他的尝试仅仅得到部分成功的时候也是如此。他的工作性质往往具有较强的归纳性和揣测性。应用数学家则对现象的恰当的数学描述更感兴趣。他势必会导出已知定律的原理的许多结果。
举例来说，飓风的起源不会是一个近代物理学家感兴趣的主要课题，因为飓风的机理大概完全可以用经典力学和热力学原理加以描述。可是，对应用数学家来说，这仍是一个非常具有吸引力的课题，因为他欣赏其中非线性问题的挑战和这一现象的内在科学意义。
1.1.4工程学中的应用数学
理解基本概念对工程师来说与对科学家一样有用。但对工程师，理解基本概念仅仅是达到下列目的的一种手段，即是为设计结构、机器以及设计有效而可靠地完成某些任务的程序。为了建立起详细的设计准则，常常必不可少地要做浩繁的数值计算。然而工程师至少也要懂得本书所叙述的建立更为定性模型的方法，这样他就可以利用有关的理论结果。当然，作为一个崇高的目标，工程师可以热切期望，与他的同行大师们那样，把应用数学与科学的见解和实践性结合起来。
1.1.5本卷计划
在附录1.1中，读者会看到其他一些人关于应用数学本质、教学和实践的见解。本书作者的观点已经概述如上；就某种意义来说，本书的其余部分就是这种概述的细致推敲。
本书分为三部分。第I部分为应用数学提供了一个鸟瞰，相比之下，不如其他部分那么详细。如上所述，它是由应用数学本质的一个短论开始的。接下去介绍了应用数学中现时研究的两个例子。第2章和第3章把确定性过程与概率性过程作一对比；前者以质点动力学方程为例子，后者以随机走动的研究为例子。第l部分末尾的两章讲述了傅里叶级数，这是一个不仅仍然有用而且还在继续发展的经典课题。此处阐明的主要概念是叠加原理。
第Il部分试图阐明应用数学的某些重要方法和思路的实质。特别是第6章关于基本简化过程和尺度化的讨论，这涉及打算弄清某些方法，而这些方法过不久就会“人人皆知”的，但现有书刊中却很少论述。所讲的那些过程有很大的直观成分，但是通过详细考究它们的内容，仍可学到某些东西。
第II部分既讨论了正则扰动理论，又讨论了奇异扰动理论，同时也讨论了相平面方法。用两章仔细讨论了一些并非无价值的例子，这些例子涉及各种技巧，能表明应用数学在起作用的一些过程，其中的一个例子是生理学中感兴趣的渗透驱动流:另一个例子考虑生化动力学的某些重要方面。整个第II部分只考虑了常微分方程，因而基本观念是用比较简单的行文来加以说明的。
第III部分是连续介质力学的一个引论。对于应用数学家，在该经典理论中的训练是重要的，主要理由是:(1)连续介质力学就其本身的作用而言仍是一门重要的学科，并且它的方法(像我们在本卷中将要好儿次看到的那样)继续被应用于新的领域；(2)在理论分析中可能达到的深度，必须用成熟的研究领域为例来加以说明。连续介质力学就是这样的一个领域，并且(不像量子力学那样)，它处理的物理现象人们较为熟悉。
第III部分是以连续介质的一个简单而有启发性的研究讲起的，它所涉及的一维问题是在研究弹性杆的纵向运动中提出的。然后用两章叙述支配一般连续介质行为的主要场方程组(例如质量守恒、(线)动量平衡)的仔细推导。再把另外的本构方程加进场方程，这样就对“无黏”流体作了完整的数学描述。第15章处理涉及无黏流动的各种例子〔分层流体的稳定性、声波、物体
全文共9470字，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[466]
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
