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向量代数在解析几何中的应用
13.1引言
本章讨论的是向量代数在研究直线，平面和圆锥截面方面的应用。在14章向量代数和计算方法结合在一起，进一步应用于曲线研究和一些力学问题。
几何学作为演绎系统的研究，是Euclid在公元前300年左右构想出来的，开始于一个描述点和线的公理或假设。“点”和“线”的概念被作为原始概念并且保持未定义。其他的概念都是由点和线的术语来定义的，而且定理是由公理系统的推导出来的。Euclid列举了十条公理，从中他尝试推出他的所有定理。已经被证实这些公理并不适合这个理论。例如，在他第一个理论的证明中，Euclid对两个不被他公理所涉及的两个圆的交集做了一个默许的假设。从那以后所有其他的公理都被公式化并且确实给出了Euclid的所有理论。其中最著名的是一个德国数学家David Hilbert（1862-1943）在1899年出版的经典《GrundIugen几何》（有英文译本：《基础几何》，公开法庭出版公司，1947）给的一份清单。这项工作在Hilbert的一生中发行了七个德国版本的书籍，被认为是开创了二十世纪的抽象数学。
Hilbert从五个未定义的概念开始平面几何：点，线，在hellip;之上（点和线之间的关系），在hellip;之间（点和点对之间的关系），和全等（点对之间的关系）。之后他给出了十五个公理，从中进一步提升了所有Euclid平面几何定理。他对立体几何的处理是基于包含六个未定义概念的二十一个公理。
这个方法在解析几何中略有不同。我们定义一些概念例如：点，线，在hellip;之上，在hellip;之间等等，但是我们是利用实数来做的，实数是未定义的。由此产生的数学结构被称为Euclid几何的分析模型。在这个模型中，实数的性质被用来推导Hilbert公理。我们不会尝试描述所有的Hilbert公理。与之相反，我们会仅仅说明原始概念是如何被数字定义的，并且给出一些证明去阐述解析几何的方法。
13.2n维空间中的线
在本节中，我们使用实数来定义点，线和在hellip;之上的概念。这些定义是为了符合我们对于三维欧几里得几何的直观想法而制定的，但是对于任何ngt;=1来说，它们在n空间中都是有意义的。
一个点就是在Vn中的一个简单向量，也就是，一个有序的实数n元向量；我们可以可交换的使用“点”和“向量”这两个词。向量空间Vn被称为n维欧几里得空间或简单的欧几里得n维空间的一个分析模型。为了定义“线”，我们在Vn中使用了关于标量的加法和乘法的代数运算。
定义. 已知点P和非零向量A，P tA形式的所有点的集合，其中t遍历所有实数，被称为穿过P点并平行于A的直线。我们将这条直线表示维L(P; A)并写成
L(P; A) = {P tA | t real} or, more briejy, L(P; A) = {P tA} .
一点Q在线L(P; A)上，如果Qisin; L(P; A).
在L(P; A)中，先写入的点P对应的t=0，所以它位于直线上，第二个点A被称为直线的方向矢量。穿过原点O的线L（O；A）是A的线性跨距；它由所有A的标量倍数组成。过P点平行于A的线是通过在A的线性跨度中的每个向量上加p得到的。
图13.1用V3表示了该定义的几何解释，每个点P tA都可视为从原点绘制的几何矢量的尖端。t在所有实数上变化，对应的点P tA过平行于向量A的P追踪一条线。图13.1显示了在两条线L（P；A）和L（O；A）上对应于一些t值的点。
图13.1 平行于a的线L（p；a）到p及其与平行于a的线L（o；a）到0的几何关系。
13.3一些简单直线的特性
首先，我们证明了在L（P；A）定义中出现的方向向量A可以被任何平行于A的向量所代替（我们记得，对于一些非零的标量c，如果A=cB，两个向量A和B称为平行的）。
定理13.1.当且仅当方向向量a和b平行时，穿过同一点p的两条线L（P；A）和L（P；B）相等。
证明：首先假设L（P；A）=L（P；B）。以L（P；A）上除P以外的点，P A为例。这个点也在L（P；B）上，所以对于一些标量c，P A=P cB。因此，由于Ane;0我们可以得到A=cB且cne;0。因此，A和B是平行的。
现在我们证明了相反的观点。假设A和B是平行的，对于一些cne;0有A=cB。如果Q在L（P；A）上，那么有Q=P tA=P t（cB）=P （ct）B，那么Q在L（P；B）上。因此，L（P；A）c L（P；B）。同样，L（P；B）c L（P；A），所以L（P；A）=L（P；B）。
接下来我们要证明在L（P；A）定义中出现的点p可以替换为同一行上的任何其他点Q。
证明：假设L（P; A）= L（Q; A）。由于Q在L（Q; A）上，因此Q也在L（P; A）上。为了证明相反，假设Q在L（P; A）上， Q = P cA.我们希望证明L（P; A）= L（Q; A）。如果X isin; L（P; A），那么对于某些t，X = P tA。但是P = Q-CA，所以 X = Q-CA tA = Q （t-c）A，因此X也在L（Q; A）上。因此L（P; A）属于L（Q; A）。类似地，我们发现L（Q; A）属于 L（P; A），因此两条线是相等的。
欧几里德著名的假设之一是平行推断，它在逻辑上等同于“通过给定点存在一条且只有一条平行于给定线的线。”我们推导出这个属性是定理13.1的一个简单结果。首先，我们需要定义线的平行性。
定义：如果它们的方向矢量A和B是平行的，则两条线L（P; A）和L（Q; B）被称为平行线。
定理13.3：给定一条线L和一不在L上的点Q，那么只有一条线L#39;包含Q并且平行于L。
证明：假设给定的线具有方向向量A.考虑线L#39;= L（Q; A）。这条线包含Q并与L平行。定理13.1告诉我们这是唯一具有这两个属性的线。
注意：很长一段时间，数学家怀疑平行假设可以从其他欧几里德假设推断出来，但是所有证明这一点的尝试都失败了。然后是19世纪初的数学家Karl F. Gauss（1777-1855），J. Bolyai（1802-1860）和N. 1. Lobatchevski（1793-1856）确信平行假设不能从其他假设得出并继续发展非欧几里德几何，也就是说，平行的几何形状假设不成立。这些人的工作激励其他数学家和科学家扩大他们对“被接受的真理”的观点，并挑战其他几个世纪以来被认为是神圣的公理。
推导被Euclid称为公理的线的以下属性也很容易。
定理13.4：两个不同的点确定一条线。也就是说，如果Pne;Q，则只有一条线包含P和Q.它可以被描述为集合{P t（Q-P）}。
证明：令L是通过P平行于Q-P的线，即，令
L = L（P; Q-P）= {P t（Q-P）}。
该线包含P和Q（取t = 0得P，t = 1得Q）。现在让L#39;成为包含P和Q的任何一行。我们证明L#39;= L.由于L#39;包含P，我们对于某些Ane;0我们有L#39;= L（P; A）但是对某些c来说L#39;也包含Q 所以 P cA =Q。因此我们有Q-P = cA，当Qne;P时cne;0。因此Q-P与A 平行，因此，根据定理13.2，我们得到L#39;= L（P; A）= L（P; Q - P）= L.
例：定理13.4给出了一种简单的方法来测试点Q是否在给定的线L（P; A）上。它告诉我们当且仅当Q-P与A平行时，Q在L（P; A）上。例如，考虑线L（P; A），其中P =（1,2,3）和A =（2，- 1,5）。为了测试点Q =（1,1,4）是否在该线上，我们检查Q-P =（0，-1,1）。由于Q-P不是A的标量倍数，因此点（1,1,4）不在此线上。另一方面，如果Q =（5,0,13），我们发现Q-P =（4，-2,10）= 2A，这个Q在线上。
Vn中两个矢量的线性相关性可以用几何语言表示。
定理13.5： Vn中的两个向量A和B是线性相关的，当且仅当它们位于通过原点的同一条线上时。
证明：如果A或B为零，则结果微不足道。如果两者都非零，那么当且仅当B = tA时，A和B依赖于某个标量t。但是B = tA当且仅当B位于通过与A平行的原点的线上。
13.4线和向量值函数
线的概念可以与功能概念相关。将线L（P; A）上的矢量P tA与每个实数相关联的对应关系是其域是实数集并且其范围是线L（P; A）的函数的示例。如果我们用符号X表示函数，那么t处的函数值X（t）由等式给出
(13.1) X(t) = P tA .
我们称之为实变量的向量值函数。
功能观点很重要，因为正如我们在第14章中所看到的，它提供了一种描述更一般空间曲线的自然方法。
公式（13.1）中的标量t通常称为参数，公式（13.1）称为矢量参数方程，或简称为线的矢量方程。偶尔将线视为移动粒子的轨迹是方便的，在这种情况下，参数t被称为时间，而矢量X（t）被称为位置矢量。
注意，当且仅当我们有P aA = P bA或（a-b）A = 0时，给定线L（P; A）上的两个点X（a）和X（b）是相等的。 由于Ane;0，当且仅当a = b时，最后一个关系成立。因此，参数t的不同值导致线上的不同点。
现在考虑给定线上的三个不同点，例如X（a），X（b）和X（c），其中agt; b。如果c在a和b之间，即a lt;c lt;b，我们说X（c）在X（a）和X（b）之间。
同余可以用规范来定义。如果IIP-QII= IIP#39; - Q#39;II，则一对点P，Q被称为与另一对P#39;，Q#39;一致。标准IIP-QII也称为P和Q之间的距离。
这样就完成了欧几里德n维空间分析模式中点，线，之上，之间和全等概念的定义。我们在本节中总结了一些关于3维空间线的参数方程的进一步评论。
如果一条线穿过两个不同的点P和Q，我们可以使用Q-P作为方程（13.1）中的方向向量A;然后该线的矢量方程变为
X(t) = P t(Q - P) 或 X(t) = tQ (1 - t)P .
矢量方程也可以用分量表示。例如，如果我们写P =（p，q，r），A =（a，6，）c和X（t）=（.. Y，y，z），则等式（13.1）等效于三个标量方程
(13.2) x =p ta, y=q tb, z = r tc.
这些被称为标量参数方程或简称为线的参数方程;它们在涉及组件的计算中很有用。矢量方程对于研究线的一般性质更简单，更自然。
如果所有向量都在2空间中，则只需要（13.2）中的前两个参数方程。在这种情况下，我们从两个参数方程中消除t以获得该关系
(13.3) b( x - p) - a(y - q) = 0,
这被称为线的笛卡尔方程。如果ane;0，则可以以点斜率的形式写入
y-q=b/a(x-p)
点（p，q）在线上;数字b / a是线的斜率。
笛卡尔方程（13.3）也可以用点积来编写。如果我们让N =（b，-a），X =（x，y），并且P =（p，q），则等式（13.3）变为
(X - P) * N = 0 或 X*N=P*N.
矢量N垂直于方向矢量A，因为N * A = ba-ab = 0;向量N称为线的法向量。该线由满足关系（X-P）* N = 0的所有点X组成。
这种关系的几何意义如图13.2所示。点P和X在线上，法线向量N与X-P正交。图中表明在线上的所有点X中，最小长度|| X ||当X是P沿N的投影时发生。我们现在给出这个事实的代数证明。
图13.2 xy平面到P的线与法向量N.线上的每个点X满足（X-P）* N = 0。
定理13.6：令L为V2中的线，由满足X*N=P*N的所有点X组成，其中P在线上，N是与线垂直的非零矢量。令
d = Ip rsquo; NI/ IlNIl
然后L上的每个X都具有长度ll XlIgt;= d。此外，II XII = d当且仅当X是沿N的投影：
X=tN, 当 t = P*N/ N*N
证明：如果Xisin; L，我们有X * N = P* N.通过Cauchy-Schwarz不等式，我们有
IP * NI = IX* NI le; IIXII IlNIl
这意味着II XIIge;[P * N] / llNll = d。当且仅当X = tN时，对于某些标量t，等式符号成立，在这种情况下，P *N = X * N = tN * N，所以 t = P *N / N * N.这样就完成了证明。
同样地，我们可以证明如果Q是V2中的给定点而不是线L，那么对于L上的所有 X，IIX-QII的最小值是I（P-Q）* Nl / llNll，并且这发生当X-Q是P-Q沿法线向量N的投影。I（P-Q） * NI/ IlNIl被称为从点Q到线L的距离。读者应该在类似于图13.2的图中说明这些概念。
13.5练习
13.6欧几里得n维空间中的平面
n空间中的线被定义为通过将给定点P加到非零向量A的线性跨度中的所有向量而获得的形式{P tA}的集合。平面以类似的方式定义，除了我们在两个线性独立向量A和B的线性跨度中加入P所有向量。为了确保Vn包含两个线性独立向量，我们在开始时假设nge; 2.我们的大多数应用都将关注这个案例n = 3。
图13.3由A和B跨越的P平面，以及与A和B跨越的平面的几何关系。
定义：如果存在点P和两个线性不相关的矢量A和B使得V中的集合M被称为平面，使得M = {P SA tB ， s, t
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