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时间尺度上变分的计算
马丁博恩
密苏里大学罗拉分校，数学与统计系，
密苏里 65409-0020，美国。 电子邮件：bohner@umr.edu
摘要：我们在时间尺度上介绍了一个变微积分的版本，其中包括经典的变分计算和变异的离散微积分作为特殊情况。确定了弱局部极小值的必要条件，其中包括了欧拉条件，勒让德条件，强勒让德条件和雅克比条件。
AMS (MOS) Subject Classification. 39A10.
绪论
为了推导本文提出的结果，我们首先从经典的变分计算中回顾众所周知的勒让德必要条件以及离散理论的结果。
结论 1.1(勒让德的必要条件)。如果ycirc; 是弱局部极小值（见【7】）变分问题。
存在a，bisin;R并且alt;b；alpha;, beta;isin;并且nisin;N，并且L：是一个方程，必要条件
（1.2）对任意tisin;[a,b],P(t)0 .
上面的P是L w.r.t.第三变量的二阶导数。它是ntimes;n矩阵值函数，P（t）0表示P（t）是一个半正定矩阵。
结论 1.2（勒让德必要条件的离散型）。如果是离散变分问题的极小值（见【3】）
存在 a,bisin;Z且alt;b；且nisin;N，L：Ztimes;→ R 是一个方程在最后两个变量中，然后必然
对任意t属于[a,b-2]cap;Z,其中
注意在下标x之上表示w.r.t.第二变量的微分
在第一个条件（1.2）和（1.4）没有太多共同点，例如，这两个条件都不包含了另一个。事实上，我们可能在离散情况下使得在处每隔一次具有极小值(例如，如果,是极小值)，这在连续情况下是不可能的。
在本文中，我们将介绍（以及其他理论）勒让德的一个版本的必要条件，其中包含结论1.1和结论1.2作为特殊情况。史蒂芬希尔格在[8]中引用了一种可以得出这种结果的理论，并在例如[1,2,4-6,9]中继续使用，即时间尺度上的微积分，它能够解释差异的本质，例如，在理论1.1和理论1.2之间，并允许将结果扩展到其他时间尺度，可能和对应于连续和离散情况的时间尺度不同。为了说明这种办法，我们现在完成这个绪论，说明勒让德的条件时间尺度T，为了将此结论和理论1.1和1.2进行比较，就可以知道
如果T=R,那么
=，且∆t=
如果T=Z，那么，，且
我们用缩写
结论1.3（勒让德时间尺度的必要条件）。如果是变分问题的弱极小值（见定义1.3）
（1.5）L(y)=,→min，
其中a,b属于T且alt;b;alpha;, beta;属于且n属于N，在下面的3.4中假设，所以
（1.6）
其中
（1.7）且
将(1.5)与（1.1）和（1.3）以及（1.6）与（1.2）和（1.2）进行比较是有意义的
（1.4）.
本文的结构如下。在下一节中，我们将简要介绍时间尺度计算。第3节介绍了变分问题（1.5）及其所谓的第一和第二变化。在第4节和第5节中，我们分别介绍欧拉和勒让德的版本（见结论1.3）必要条件。最后，在第6节中，我们讨论了强化的勒让德条件以及雅可比在时间尺度上的条件。
- 时间尺度微积分
R的闭合子集T称为时间尺度。跳跃运算符被定义
（补充infempty;=sup T和supempty;=inf T）如果，点tisin;T分别被称作右收敛，右发散，左收敛，和左发散。在整个过程中，我们让a,bisin;T且alt;b.对于区间[a,b]isin;T，我们只有在不明确的情况下写[a,b],我们也定义
.
接下来，。我们说定义域在T上的函数f是可导的，如果对于所有存在t的邻域U，使得对于某些的不等式
对于所有的sisin;U是正确的，在这种情况下我们写作，注意在右收敛点，如果存在则存在右发散点，假设f在t处是连续的，对于可微的f，公式
（2.1）
很有用且易于证明。如果f和g都是可微的，那么fg和
（2.2）
接下来，如果函数f在T右密集点中是连续的并且如果其左边界存在左密集点则称为rd连续，通过，我们表示所有rd连续函数的集合，而表示所有可微函数的连续导数集合。
已知rd连续函数具有反导数，即存在一个函数F，其中，在这种情况下积分由定义。他满足
（2.3）
目前为止，我们还需要一个尚未在文献中提供的结果。但它的证明很简单，我们将在下面简略证明它。要得出这个结果，我们需要另一个定义。
定义2.1.定义在[a,b]R上的方程f在第二个中被称为连续的变量，均匀地在第一个变量中，如果任意gt;0，存在gt; 0，使得|x1-x2|lt;对任意tisin;[a,b]，
论点2.2.假设被定义，如果在x上是连续的，在t处统一，则
证明：设，存在gt;0,使得每当，
使得则
在
- 变分问题
我们现在考虑变分问题（1.5）.
定义3.1.对于我们定义范数
函数（1.5）假设存在，使得所有，如果对于所有的，则称是合适的。最后，如果被称为可允许变化。
现在对于可允许的变化定义一个方程：
变分问题(1.5)的第一和第二变分公式分别由下式定义
以下两个结果易于证明（参照例1，定理1和2），并且就第一和第二变分公式而言，为（1.5）的极小值提供必要和充分条件。
定理3.2（充分条件）如果是（1.5）的极小值，那么对于所有的变量，。
定理3.3（充分条件）设且，如果对所有的非平凡变量，有，那么是（1.5）一个恰当的弱极小值。
满足定理3.2和定理3.3条件的函数分别被称为正半定和正定函数。
鉴于上述两个结果，重要的是找到第一和第二变量的另一种表示。在以下引理中完成
引理3.4 令如果，在t上统一，那么
其中P,Q和R由（1.7）定义（用代替）
证明：这是引理2.2的直接结果。
接下来，我们总是对满足引理3.4没有进一步提及的L中所有。
4.欧拉条件
我们首先将变量分析的基本引理扩展到时间尺度。
引理 4.1（Dubois–Reymond）。设然后
（4.1）
当且仅当
（4.2）对于某些，[a,b]上的
证明：首先假设（4.2）成立。然后，通过积分的定义
如果。接着，假设(4.1),和
定义。然后
且
和
因此，由(4.1),
因此（参照例8）对于所有的，使得4.2成立。
现在，利用上面的基本引理，我们可以推导出欧拉的必要条件。
定理4.2（欧拉的必要条件）。如果是（1.5）的极小值，那么欧拉-拉格朗日函数
（4.3）
成立。
证明：设为（1.5）的极小值且假设n是变量。然后我们按照定理3.2
因此，通过引理4.1，我们有
因此（4.3）如下
例4.3。找到问题的的解决办法
（4.4）
以（1.5）的形式写（4.4），我们有和
那么
假设y是（4.4）的极小值，根据定理4.2，欧拉方程（4.3），即
（4.5）
现在（4.5）意味着存在一个常数使得
即
（4.6）
成立。那么很容易求解（4.6）
即就像预期的那样是连接（a,0）和（b,1）的线。
5.优先级条件
在本节中，我们将证明引言中所述的结论1.3。
结论1.3的证明：设，我们考虑两个案例。首先我们假设，设任意且定义
由此得出，是变量，我们有
且
此外，对所有的。从而
积分
如果是右密集的则上式等于0，而且他等于
如果是右发散的。在任何一种情况下，通过叠加由
，（1.6）中t=s的矩阵是半正定的
其次，假设是右发散的，即，。（如果点s=a是右密集，可以使用（1.7）中出现的矩阵的连续性，以便为t=a参照（1.6），并且类似地，对于t=b,b是左密集的。）我们假设s页数左发散的（s也是左密集的情况下可以类似地处理）。然后存在严格递减的序列
设
且
根据定理3.2，我们有
且设，我们得到
同样的，（1.6）中的矩阵是正半定的（）。
6.雅可比条件
我们需要从[1,10]中获得以下结果。
定理6.1.假设A，B和C是T上的RD连续函数，使得是可逆的，B(t)是可逆的和对称的，且C(t)对于每个，然后，
对于所有其中且当且仅当线性哈密顿动力系统
（6.1）
在[a,b]上解除共轭，即（6.1）的阶矩阵，其中且满足
（6.2）
我们现在给出一个条件（所谓“强勒让德条件”），它确保我们可以将1.2重写为定理6.1中给出形式的二次函数。
引理6.2假设强勒让德条件
（6.3）
然后
其中
证明：我们有
这就证明了我们的结论。
在应用定理3.3时出现的1.2的正定性问题通过以下定理得到了答案。
因此，我们提出
注意
定理6.3（雅可比的条件）假设强勒让德条件（6.3）成立，那么1.2是正定的，当且仅当线性哈密顿系统
在[a,b]上解构。
证明：注意6.3意味着
因此我们的定理是6.1的一个特例。
备注6.4。如果R是对称且可微的，那么我们可以写作
因此
其中和。因此，我们得到以下结果。
定理6.5.设R是对称的和可逆的。如果替代强勒让德条件对于所有的，有
是可逆的，当且仅当线性哈密顿系统时，是正定的
在[a,b]上解构。
参考文献
[1] R. P. Agarwal and M. Bohner. Quadratic functionals for second order matrix equations on time
scales. Nonlinear Anal., 33(7):675–692, 1998.
[2] R. P. Agarwal and M. Bohner. Basic calculus on time scales and some of its applications. ResultsMath., 35(1-2):3–22, 1999.
[3] C. D. Ahlbrandt and A. C. Peterson. Discrete Hamiltonian Systems: Difference Equations,
Continued Fractions, and Riccati Equations, volume 16 of Kluwer Texts in the Mathematical
Sciences. Kluwer Academic Publishers, Boston, 1996.
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