英语原文共 10 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
用pySecDec进行双环积分的数值计算
S. Borowka
瑞士日内瓦CERN理论物理系
马克斯普朗克物理研究所，F#39;ohringer Ring6,80805Muuml;nchen，德国
J. Schlenk
IPPP，达勒姆大学，南路，达勒姆DH1 3LE，英国
我们描述了pySecDec程序，它将多维参数积分中的端点单位分解，并可用于计算在数值上的高阶微扰计算中出现的积分。我们专注于新功能和关于程序使用的常见问题。
1.介绍
在欧洲核子研究中心大型强子对撞机（LHC），对希格斯部门的探索才刚刚开始。正在和将要产生具有前所未有精度的数据，这使我们能够进一步探索基本问题，如电弱对称性破坏的性质，到目前为止我们只能通过发现希格斯玻色子一瞥。将这些数据与理论预测进行比较对于确定“新物理学”的效果至关重要，“新物理学”可能通过循环效应间接地表现出来。因此，高精度理论预测对于LHC计划的成功是必不可少的，在未来的对撞机中更是如此。
为了提高理论预测的精度，需要计算强和电弱耦合常数的扰动扩展的更高阶。这种校正通常涉及积分，取决于两个（或更多）环路处的几个运动学/质量标度，其中分析结果难以实现。
在这些情况下，数值方法可以提供解决方案。在存在尺寸调节单一的情况下证明有用的方法是扇形分解[1-4]，因为它提供了一种算法，以自动方式对这种奇点进行分解。调节器中得到的Laurent系列的系数是参数积分，可以用数字积分。该算法已在程序SecDec [5-8]中实现，其中从2.0版[6]开始，通过将扇形分解与将多维积分轮廓变形为的方法相结合，提升了对欧几里德运动学的限制。复平面[9,10]。扇区分解算法的其他实现可以在参考文献中找到。 [11-18]。
在本文中，我们描述了SecDec程序的新版本，名为pySecDec [8]。我们特别关注用户界面，为“常见问题”提供答案。
2.该计划的结构
该程序由两个基本部分组成：基于python和FORM [19-21]的代数部分，以及基于C 代码的数字部分。调节端点奇点的隔离和随后的数值积分可以作用于一般多项式函数，其中Feynman积分是一种特殊情况。
循环积分（在Feynman参数化和动量积分之后）可以被认为是这些更通用的多项式积分的特殊情况。在python代码中，这由以下结构反映：python函数make包接受一个多项式列表，它们以各自的幂作为输入 - 对应于图1中的方框（1b）。相比之下，循环包采用a循环积分（可选地来自其图形或其传播器表示），其对应于框（1a）。在构建了循环积分的Feynman参数化之后，循环包调用使包进一步处理。步骤（1）至（7）以python和FORM执行，其中FORM生成优化的C 代码。编译的integrand函数默认组合到一个库中。对于数值积分，我们为古巴[22]图书馆的整合者提供了一个简单的界面。用户还可以直接访问被积函数，例如将它们传递给外部积分器。
2.1安装
该程序可以从http://secdec.hepforge.org 或https://github.com/mppmu/secdec下载。它依赖于python并运行版本2.7和3。它还使用包（http://www.numpy.org）和sympy（http://www.sympy.org）。
最简单的方法是从https://github.com/mppmu/secdec/releases/latest上的发行版tarball安装pySecDec。下载后，pySecDec由以下shell命令安装：tar -xf pySecDec-lt;versiongt;.tar.gz cd pySecDec-lt;versiongt;makelt;copy the highlighted output lines into your .bashrcgt;
除了pySecDec本身之外，make命令还会自动构建进一步的依赖关系。这些是多维数值积分所需的古巴图书馆[22,23]，表达式代数操作的FORM [19-21]和产生优化的C 代码，Nauty [24]以找到扇区对称性和GSL图书馆[25]。要复制到.bashrc中的行定义环境变量，以确保找到pySecDec及其依赖项。强烈建议pySecDec用户在使用该程序时引用其他依赖项。
几何扇形分解策略
几何分解策略几何和几何ku需要程序Normaliz [26,27]。在pySecDec 1.3版中，已知Normaliz的3.0.0,3.1.0,3.1.1,3.3.0和3.4.0版本可以正常工作。
multiscale?
no
yes
Cmǫm
n
Sigma;
m =minus;2L
result
9
numerical integration
8
code optimization
7
contour deformation
4
subtraction of poles
5
expansion
in ǫ
6
1b parameter
integral
sector
decomposition
3
Feynman integral
2
loop integral
1a
图 1. 流程图显示了pySecDec的主要构建块
可以从https://www.normaliz.uni-osnabrueck.de下载不同系统的预编译可执行文件。我们建议将其路径导出到终端的环境，以便始终找到normaliz可执行文件。或者，可以使用normaliz executable = [normaliz]的路径将路径直接传递给调用它的函数。可以在不安装Normaliz的情况下使用策略迭代。
2.2使用
该程序附带pdf（doc / pySecDec.pdf）和html（doc / html / index.html）格式的详细文档。在线咨询可以在https://secdec.readthedocs.io/en/latest找到。在示例文件夹中，我们提供了有关如何应用程序的几种方法的示例。一种是在“独立”模式下使用pySecDec来获得单个积分的数值结果。这在很大程度上与之前的SecDec版本的使用方式相对应。另一个允许生成可以与幅度或其他表达式的计算相关联的库，以评估这些表达式中包含的积分。
要开始使用，我们建议您阅读在线文档中的“入门”部分。基本步骤可归纳如下：
1.生成一个python脚本来定义积分，运动不变量的替换规则，调节器中请求的顺序以及其他一些选项（参见例如单循环框示例box1L / generate box1L.py）。
2.使用python运行脚本。这将根据脚本中指定的名称生成子目录。
3.键入make -C lt;namegt;，其中lt;namegt;是您选择的名称。这将创建C 库。
4.使用python接口生成一个python脚本来执行数值积分（参见例如box1L / integrate box1L.py）。
进一步的使用选项，例如循环遍历多个运动点，在文档和参考文献中有所描述。 [8]。
代数包也可用于积分的符号操作。当处理非标准循环积分时，或者如果用户想要干涉代数部分的中间阶段时，这可能是特别有意义的。
2.3 新功能
除了完全重构和使用开源软件外，与SecDec 3相比还有各种新功能：这些功能可以为端点单位提供任意数量的调节器，而不仅仅是尺寸调节器。循环积分的分子处理更灵活。可以根据收缩的洛伦兹向量或反向传播器或两者的组合来定义数值。“通用函数”和“循环集成”之间的区别被删除，因为所有特征都可用于循环积分和通用多项式函数（只要它们在循环上下文之外有意义）。已经促进和扩展了包括不进入分解的附加功能。对比高于对数的极点的处理得到了改进。
已经实现了一种程序来检测和重新映射xi = 1处的奇点，这是由特殊的运动学配置产生的。已经实现了对称取景器[28]，它可以检测扇区之间的等变量。可以绘制图表（可选地，基于neato [29];但是如果没有安装neato，程序将正常运行）。现在可以使用生成的C 库评估多个积分甚至幅度。
2.4 经常问的问题
在下文中，我们列出了在使用程序期间可能出现的一些问题，并给出了应该使用户无需搜索手册的答案。
bull;如何调整数值积分参数？
如果python接口用于数值积分，即像示例/集成box1L.py这样的python脚本，则可以在积分器调用的参数列表中指定积分参数。例如，使用Vegas作为集成商：
box1L.use Vegas（flags = 2，epsrel = 1e-3，epsabs = 1e-12，nstart = 5000，nincrease = 10000，maxeval = 10000000，real complex together = True）
或者，使用Divonne作为积分器：
box1L.use Divonne（flags = 2，epsrel = 1e-3，epsabs = 1e-12，maxeval = 10000000，border = 1e-8，real complex together = True）
参数real complex一起告诉积分器同时积分实部和虚部。可以在本手册第5.9节末尾找到集成商可能的选项列表。
bull;如何提高数值精度？如果满足以下任何条件，积分器将停止：
（1）达到epsrel，（2）达到epsabs，（3）达到maxeval。因此，相应地设置这些参数将使集成器进行更多迭代以获得更准确的结果。
bull;如何调整轮廓变形参数？您可以在python脚本中为积分调用的参数指定参数，例如，参见第12行示例/集成box1L.py： 没有前因子的str积分，str prefactor，
str积分与prefactor = box1L（实参数= [4。， - 0.75,1.25,1。]，预采样数= 1000000，变形参数最大= 0.5）这将预采样点的数量设置为106（默认值：105），并将轮廓变形参数lambda;的最大值（变形参数最大值）设置为0.5（默认值：1）。用户应确保变形参数maximum始终大于变形参数minimum（默认值：10-5）。这些参数在第5.9节中解释。 “参数”下的手册。
·如果程序因包含错误消息而停止，我该怎么办？
“签收错误”？
如果轮廓变形导致Feynmanidelta;处方的错误符号，则会发生此错误，这通常是由于变形参数lambda;太大的事实。
为预采样数量选择较大的值，为变形参数最大值选择较小的值（例如0.5）（参见上面的项目）。如果这没有帮助，你可以试试0.1而不是0.5
变形参数最大。
bull;“附加前因子”究竟意味着什么？我们首先应该指出，用户定义的附加前缀的约定已在SecDec 3和pySecDec之间进行了更改。用户指定的前因子现在将包含在数值结果中。为了明确“附加”的含义，我们在此重复我们对Feynman积分的约定：在具有N个传播器的L环中的D维中的标量Feynman图tt，其中传播器可以具有任意的，不一定是整数的功率nu;j，在动量空间中具有以下表示：
其中qj是外部动量pi和环动量k1的线性组合。引入费曼参数可得
前因来自费曼参数化的数据将始终包含在数值结果中，对应于附加的前因子= 1（默认值），即程序将返回tt的数值。如果用户定义了额外的prefactor =#39;gamma（3-2 * eps）#39;，那么除了来自Feynman参数化的数据结果之外，这个前因子将在s中扩展并包含在pySecDec返回的数值结果中。
对于与循环积分无关的一般多项式，即在make包中，由用户提供的前因子是唯一的前因子，因为在这种情况下没有来自费曼参数化的前因子。
这就是为什么在make包中用户定义的pref-actor的关键字是prefactor的原因，而在循环包中它是附加的前因子。
·如果我得到#39;nan#39;，我该怎么办？
这意味着积分不会收敛并且可能有几个原因。当Divonne用作积分器时，重要的是对边界使用非零值，例如边界= 1E-8。拉斯维加斯一般是最强大的集成商。使用Vegas时，尝试增加nstart和nincrease的值，例如nstart = 10000（默认值：1000）和nincrease = 5000（默认值：500）。
·我可以将自己的函数包含在循环积分的分子中吗？
是的，只要函数在极限s
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[427392]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
