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波长方程卷积正交的超收敛
Jens Markus Melenk, Alexander Rieder
2019.4.2
本文分析了由波动方程模拟的声软散射问题的半离散化。空间处理采用积分方程法。比较了基于龙格-库塔卷积求积的两种时间离散方法：一种是以入射波为输入数据，另一种是基于其时间导数。后一种方法的收敛速度比文献中所确定的要快。数值结果表明分析的清晰度。
1、介绍
边界元法是处理散射问题的标准方法之一，特别是在感兴趣的领域是无边界的情况下。首先介绍了静止问题，从开创性的工作[BH86A，BH86B]开始，对这些方法的部署理论以及与时间相关的问题进行了稳步扩展；参见[SAY16]了解概述。Lubich在[Lub88a，Lub88b]中引入的卷积求积方法是将平稳结果扩展到时间相关设置的一种方便方法。
众所周知，龙格-库塔卷积求积的收敛速度（如[Lo93]中所述）是由拉普拉斯域卷积符号k的边界决定的。也就是说，形式的界限
ǁK(s)ǁ le;C |s|micro;
导致收敛速度q 1-mu;，如[BLM11]中所证明的，有关此方向的早期结果，请参见[BL11，LO93]。因此，人们可能期望将符号更改为sminus;1K(s)将使收敛阶数增加一。
用边界积分法对波动方程进行离散化时，情况并非总是这样。相反，据观察，有时会出现“超收敛现象”，其中观察到的收敛速度超过预测值，见[RSM19a、RSM19b、Rie17]。
本文首先解释了声软散射模型问题中出现这种现象的原因，即狄里克利特对诺依曼图的离散化。我们期望类似的现象也能解释诺依曼问题或更复杂的散射问题收敛速度的提高。该证明依赖于观测结果，即S-1加权狄利克雷到诺曼依映射可以分解为狄利克雷阻抗映射加上身份操作符。对于狄利克雷阻抗算子，在[Ban14]中观察到，与狄利克雷到诺曼依映射相比，只要球或半空间给出了GE度量，改进的界就成立。然后可以推测，对于光滑的凸几何体，类似的边界是成立的。在本文中，我们将此结果推广到更广泛的几何类型（即光滑或多边形），而不需要凸性假设。这将立即给出卷积正交散射问题的所述改进界。我们得出结论，由于这种现象，稍微调整公式以使用额外的时间导数通常是有益的。在许多情况下，这种配方甚至是自然选择，参见，例如[BR18、BL18、BLS15]。尤其是在处理波浪时方程作为一阶系统，如[RSM19b]所示。
另一种观察这种现象的方法是，当使用标准公式（见命题3.2）时，离散积分将表现出超收敛效应。
我们要指出的是，本文主要研究关于时间变量的问题的半离散化。在实际应用中，还必须考虑使用边界元素的空间离散化。
我们还想指出，卷积求积虽然很流行，但它只是将边界积分技术应用于波传播问题的一种可能性。值得注意的是，近年来，基于时空的方法得到了普及[GNS17，GMO 18，JR17]。
2、模型问题
我们考虑声波的声音软散射问题。对于带有Ω := d \的有界Lipschitz域Ωminus;sube; d，问题为：
对于tgt; 0，uuml;tot=∆utot在Ω 和utot(t)|Gamma;=0，
对于tle;0，utot(t)=uinc(t)（2.1）
这里uinc是一个给定的入射波，即uinc也解决了波动方程，我们假设对于t 0它还没有到达散射体。通过将总波分解为传入和传出波，utot = uinc u，可以重新解决这个问题，其中u解决了：
对于tgt; 0，uuml;=∆uinΩ 和utot(t)|Gamma;=minus;uinc(t)|Gamma;，
对于tle;0，utot(t)=0（2.2）
这将是我们离散化的问题。
为简单起见，我们考虑两种可能的情况。Ωminus;sube; d具有平滑边界或Ωminus;sube; 2是多边形。虽然我们希望结果和技术可以推广到分段光滑几何的情况，但这样的扩展会导致本文的更高水平的技术性。我们关注外部散射问题作为我们的动机和模型问题，但所有主要结果也适用于内部狄利克雷问题。
我们通过修复一些符号来结束该部分。我们在或上为通常的索伯列夫空间写入()。在界面Gamma;：=part;Omega;上，对于sisin;[-1,1]，我们还需要分数空间(Gamma;)，例如，参见[McL00，AF03]以获得精确定义。我们还设置() := {u isin;() : ∆u isin;(Ωplusmn;)}。我们为外部和内部跟踪算子写入： ()→(Gamma;)，和正常导数的: ()→ (Gamma;)。我们注意到，在这两种情况下，我们取法线指出有界域。我们写:=u-u和:=(u-u)为跳跃和平均值，为:=u-u跳跃。
2.1边界积分方法和卷积求积法
众所周知，第2节中提出的形式的散射问题可以通过使用边界积分方法来解决，参见[Say16]进行详细的时域处理。对于频域，可以在大多数关于该主题的教科书中找到结果，参见[SS11，Ste08，McL00，GS18，HW08]。
使用边界积分方法对时域散射问题进行离散化可以追溯到工作[BH86a，BH86b]，其中首先显示了形式（3.2）的重要拉普拉斯域估计。
对于sisin;：=zisin;：Re（z）ge;0，我们引入单层和双层电位
（SLP（s））（x）：=，（2.3a）
（DLP（s））（x）：=，（2.3b）
其中Phi;是算子minus;∆ s2的基本解：
这里表示第一种Hankel函数和零阶，见[McL00，第9章]。
最后，我们介绍了由电位产生的边界积分算子：
V (s):=gamma;plusmn;SLP(s), K(s) := {{gamma;DLP(s)}}. (2.5)
在实践中，可以通过显式表示来计算这些运算符作为边界Gamma;上的积分。对于足够平滑的函数psi;，phi;，以下等式成立：
：=，
：= (2,6a)
我们考虑用于离散化（2.2）的算子是狄利克雷到诺依曼映射。
定义 2.1。对于s isin;，给定g isin; (Gamma;)，让你解决
minus;∆minus;∆u u = 0在d\ Gamma;中，gamma;plusmn;u = g。
然后我们定义运算符
DtNplusmn;(s)g:=part;nplusmn;和 DtIplusmn;(s)g:=part;nplusmn;uplusmn;sgamma;plusmn;u=DtNplusmn;gplusmn;sg. (2.7)
在实践中，以下众所周知的命题给出了计算DtN的明确方法。
命题2.2（参见，例如，[LS09，附录2]）。狄利克雷到诺依曼地图可以写成
DtNplusmn;(s) = V minus;1(s)(∓ K(s))
龙格库塔卷积求积法由Lubich和Ostermann在[LO93]中介绍。它提供了一种通过高阶方法逼近卷积积分的简单通用方法，并且具有很大的优点，即只需要容易计算卷积符号的拉普拉斯变换。我们只是简单介绍一下方法和符号。
设K是半平面Re(s) gt; sigma;0gt;0的全纯函数，让L表示拉普拉斯变换，L minus;1表示它的逆。我们（正式）通过定义来介绍运算微积分
K(part;t)g:=Lminus;1 (K(·)Lg)
其中gisin;dom（K（part;t））使得存在逆拉普拉斯变换，并且上面的表达式被很好地定义。
对于由Butcher画面A，bT，c给出的龙格-库塔方法，在时间网格点tj:= jk给出K（part;t）的卷积正交近似，其中kgt; 0表示时间步长大小为
运算符值函数K的扩展是直截了当的。
我们对龙格-库塔方法做出以下假设，略强于[BLM11]。
假设2.3（i）龙格库塔方法是A-稳定的，具有（经典）阶p = 1和阶段阶数qle;p。
（ii）稳定性函数R(z):=1 zbT(Iminus;zA)minus;11满足|R(it)|lt;1表示0 ，tisin;R
（iii）龙格库塔系数矩阵A是可逆的。
（iv）该方法非常精确，即bTAminus;1=(0,...,0,1)。
备注2.4。 Radau IIA和Lobatto IIIC方法满足假设2.3，见[HW10]。另请注意，订单条件意味着此类方法的= 1。
我们的分析将使用拉普拉斯域估计在龙格库塔卷积正交上使用以下结果：
命题2.5（[BLM11，定理3]）。假设K在半平面Re(s)gt;sigma;0gt;0中是全纯的，并且存在micro;1,micro;2isin;R使得K（s）满足以下所有delta;gt; 0的界限：
假设龙格库塔方法满足假设2.3。设rgt; max（ p ，p，q 1）
并且gisin;C（[0，T]）满足g(0)=g˙(0)=...g(rminus;1)(0)=0.然后存在gt; 0，使得
0 lt;k lt;，
隐含常数取决于tn,sigma;0,kmacr;，常数Csigma;0,Cdelta;和龙格库塔方法。
3、主要结果
对于更简单的表示法，在命题2.5中为扇区引入符号。在整个这项工作中，我们确定sigma;0gt;0和delta;gt; 0并设置
S :={s isin; C, Re(s) gt;sigma;0, Arg(s) isin; (minus;pi;/2 delta;, pi;/2 minus; delta;)}.
备注3.1。在S的定义中选择sigma;0gt;0和delta;gt; 0是任意的，并且我们的所有估计都适用于任何选择，尽管所有常数将取决于sigma;0和delta;。
我们现在能够说明论文的主要结果。我们首先说明用于离散狄利克雷到诺依曼映射的标准收敛结果。
命题3.2（标准方法）。令gisin; Cr([0,T],Hlt;
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