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基于傅立叶扩展的数值积分方案，用于弱奇异核的快速和高阶近似卷积
AKASH ANAND 和 AWANISH KUMAR TIWARI
概要：包含弱奇异核的卷积积分的高阶近似的计算有效的数值方法在包括用于数学方程的数值解的快速求积法的开发中的许多实际应用中找到了许多实际应用。在这个方向上的大多数快速技术利用积分的均匀网格离散化，这有助于在大小为n的网格上使用FFT进行O（n log n）计算。然而，一般而言，当被积函数不具有平滑的周期性扩展时，所得到的误差随着n的增加而缓慢收敛。事实上，这种扩展通常是不连续的，因此，截断的傅立叶级数的近似值受Gibb的振荡的影响。在本文中，我们提出并分析了一种基于傅里叶扩展方法的O（n log n）方案，用于消除这种不需要的振荡，这种方法不仅收敛于高阶，而且实现起来也相对简单。我们包括理论误差分析以及各种数值实验，以证明其功效。
- 介绍
在本文中，我们考虑近似积分算子A：C（[0,1]）→C（[0,1]）给出的问题
（1）
通过使用形式的数值积分方案，使用每周奇异核g
（2）
正交点= j / n和权重（x）取决于内核g。 而我们在本文中的讨论对于一般的弱奇异核仍然有效，对于收敛速度的具体性，我们研究g形式g（x）=，gamma;（-1，）或形式g（x）= log |x|。 这项工作的主要目的是开发一个正交，以便在方程式中得出近似值（2）—
- 与高阶收敛，即满足
对于某些增加和正函数mu;：N→R ，和
- 可以有效地在正交点评估，即集合
可以在O（n log n）运算中计算。
例如，这样一个求积可用于获得形式积分方程数值解的O（n logn）解算器。
虽然有几种具有点奇点的被积函数的数值积分方案在整合领域内已经开发出来，这个问题仍然是一个活跃的研究领域。在特殊情况下，当被积函数处于区间的一个或两个端点时，变量的适当变化，如[1], 可以用于他们的解析分辨率，随后使用梯形法则产生高阶数值精度。奇点是区间内点的更一般情况需要更仔细的处理。在可用的技术中，一个突出的例子是由于Rokhlin导致的高阶校正梯形法则[2]. 虽然随着订单增加而修正权重的迅速增加限制了他们对低阶收敛率的原始方法，但Kapur和Rokhlin随后引入了另一种方案（见[3]), 通过将被积函数分成规则和奇异部分以及允许一些正交节点位于积分区间之外来处理奇点。然而，在这种情况下，用于确定节点和权重的线性系统，特别是在间隔端点附近，线性系统的调节很差，随着顺序的增加而迅速恶化。在随后的努力中，Alpert[4] 引入了基于周期梯形法则的混合高斯梯形法则。在这个方案中，他用一组最佳辅助节点替换每端附近的等空间节点，这些节点是使Kolm-Rokhlin算法选择的[10]. 后来，基于边界和奇点校正的组合，Aguilar和Chen提出了 中对数奇点的校正梯形法则[5] 并且对于R中的1 / |x|形式的奇点 [6]. 虽然他们在数值上证明了该方案在计算奇异积分中的有效性，但是相应的收敛分析并不容易获得。
随后，Alpert[4]引入了基于周期性梯形规则的混合高斯梯形规则。在该方案中，他用Kolm-Rokhlin[10]算法选择的一组最优的辅助节点替换了两端的等速节点。后来，阿吉拉尔和陈在结合边界和奇点校正的基础上，提出了一个修正的圈闭。 [5]中对数奇异性和 [6]中1/|x|型奇异性的Ezoidal规则。同时，他们在数值上证明了该方案在计算奇异核时的有效性。一个相应的收敛分析是不容易得到的。
最近，Duan和Rokhlin[7]引入了一类求积公式，用于处理二维的形式log|x|和三维的1/|x|的奇异性。这种方法有点 与Ewald求和[8]有关，并导致可被视为修正梯形规则的一个版本的正交性。为了避免求解病态线性系统以求四边形 真正的权重，该方案使用非常长的解析表达式，依赖于底层的网格。Marin[9]最近在这个方向上发表的一篇论文再次提出了一种修正的梯形方法，其中病态函数对于高阶数值积分，考虑了一维型，gamma;gt;-1型和二维型型的L型函数。
本文提出的方法利用规则网格，利用快速傅里叶变换(FFT)在O(n logn)计算时间内获得卷积值。事实上，例如（3）
其中ge和ue分别表示g和u的周期扩张
逆FFT计算截断序列
在，j=0，hellip;，在O(n logn)操作中以简单的方式进行。但是，通常情况下，错误结果是
由于不连续的ue和奇异的ge，随着n的增加，收敛速度变慢。在本文中，我们提出了一种通过使ue更容易适应来降低收敛速度的方法。 ER近似也使我们能够更准确地计算ge的Fourier系数，从而得到一个整体快速收敛的数值积分格式。
这份文件的组织如下。在第二节中，我们描述了光滑函数的Fourier扩张的构造，其中函数数据在等距网格上可用。下一个，在第三节，我们给出了卷积A近似的数值积分格式，然后在第四节对我们的积分格式进行了理论分析。在第5条中， 给出了数值积分格式中奇异矩的数值计算。此外，作为特例，我们还讨论了我们的紧支点数值积分格式。 第6款中的职能。第七节给出了验证本文所实现的正交精度的各种数值结果。
2. 延伸的傅里叶
我们考虑了函数uisin; ([0，1])用截断Fourier级数逼近的问题，其中离散函数数据可用在区间[0，1]上的等距网格上.召回t 当u(0)6=u(1)时，由于边界附近的快速振荡，Fourier级数逼近不能一致收敛，称为Gibbs现象[19，20，27，30]。几种近似AP 为了克服Gibbs振荡的困难，提出了一些方法。这些方案包括利用Fourier或物理空间滤波器[25]的方案以及投影部分Fourie的方案。 R与适当的函数空间相加。例如，Gegenbauer投影技术[21-26]利用了Gegenbauer多项式的空间跨度。在Fourier-pade逼近中，部分Fourier用有理三角函数[14，17，18]逼近。基于外推算法的技术[13]也被使用。本文还提出了几种Fourier扩展思想。 找出该形式的三角多项式。
对于bge;1，其中uc，e是uc的b-周期扩张，在[0，b]或[1-b，1]上u在[0，1]上的延拓使equiv;u在[0，1]和(0)=(b)对所有整数 0le;lle;r，对于某些rgt;0。一旦产生了这样的，它的截断Fourier级数的限制为[0，1]，这是对u的一个近似。在一些例子中，Fourier可拓广思想 已在不同背景下加以使用和讨论，见[11、12、15、16、28、29]。
在本上下文中，大小为n1的网格的JTH网格点位于xj=j/n，其中假定相应的函数值u(Xj)已知，并由uj表示为j=0,hellip;n.函数u继续到区间[1，1]，此时（4）
对于0le;mle;r，多项式p(U)的m阶导数满足
因此，选择U的条目作为
然而，一般情况下，导数数据(0)和 (1)可能不完全可用，它们的逼近需要使用离散数据。在这种情况下，我们替换 U通过它的逼近得到,，对于1le;mle;r，我们设使用精度阶分别为q的正向和后向有限差分导数算子，其泛型表示如下：
对于适当选择的常数(.与边界数据矩阵对应的u的延拓用表示（8）
对于k=-n，hellip;，n-1，并给出了相应的Fourier扩张逼近（9）
3.集成方案
我们首先观察到
其中uc是u到[1，1]的连续，如上一节所述。我们把Au改写成
然后利用的二周期扩张的Fourier级数将积分写成
（10）
鉴于此，我们采用数值积分格式和形式（11）
进一步地，我们是否可以在等距网格上以求积的形式重写（12）
修正项
正交权
请注意eq(11)提供了一种O(nlogn)格式，用于在n个等速网格上获得卷积，可以使用eq(12)具有预先计算的权重和修正项的 单点积分。这两种形式的使用都需要beta;(K)值，在原则上，这个值可以通过eq的符号积分精确地得到(10)。然而，在实践中，它可能更多。 便于对其进行数值预计算，达到较高的精度，并可用于以后的计算.我们在第五节中讨论了几个解决这一问题的数值策略。
代表e 如果g(X)=|x，则
对于g(X)=log(|x|)，也以直接得到类似的表达式。在下一节中，我们将研究与所提出的数值格式相关的误差。
4.误差分析
显然，数值格式中的误差是由（13）
估计震级
我们记得beta;(K)=beta;(-K)
我们还观察到，对于xisin;[0，1]，我们有
因此，我们得到
因此，它的大小可以限制在（15）
因此，收敛速度不仅取决于和的傅里叶系数的衰减速度，还取决于beta;(K)的衰减速率。
引理4.1对于gamma;isin;(1，infin;)和g(X)=|x，存在一个正常数，使得
对于所有的k不等于0。
类似地，对于g(X)=log|x|，我们有
对于所有的k不等于0。
证明：首先，我们证明了g(X)=|x，gamma;isin;(1，infin;)的结果。注意，我们只需要证明，当beta;(K)=beta;(K)时，结果对kgt;0有效。我们首先假定gamma;isin;(1，0)，kgt;0，并且可以看到（16）
现在的结果来自于(16)和估计数
对于gamma;=0时，结果从定义中得到，对于所有k不等于0，beta;(K)=dp= 0
现在，对于gamma;isin;(0，1]，kgt;0，我们有（17）
一个类似于上面所用的论点表明，方程中的积分(17)有一个仅依赖于gamma;的常数，从而建立了gamma;isin;(0，1)的结果。
最后，对于gamma;gt;1，结果如下
(a) g(x) = |x|minus;4/5 (b) g(x) = |x|minus;1/2 (c) g(x) = |x|1/2
(d) g(x) = |x|4/5 (e) g(x)= |x|3 (f) g (x) = log x
图1.用log(K)与log|相对于log(K)表示不同形式的内核的g(X)=|x的不同gamma;值的图，以及g(X)=log|x|；对于每个子图，有斜率的虚线，如L所预测的。 艾玛4.1显示供参考。回想一下，对于右下角图，期望斜率为S1，而对于g(X)=|x的数字，则为-min{1 gamma;，2}。
现在，对于g(X)=|x，kgt;0，我们观察到（18）
现在，根据下面的估计，结果如下，
我们在图1中给出了一些例子，以证明在引理4.1中建立的beta;(K)的行为确实是在实践中被观察到的。
接下来的结果是，对于给定函数的两个不同扩展之间的差异，Fourier系数是如何衰减的。
引理4.2.设f1和f2分别是f：[0，1]→R的两个扩张，分别对应于矩阵F1=(，和F2=(分别就是说
如果f1和f2满足==，j=0，1并且m=0，hellip;，s对于某些0le;sle;r，则存在一个正常数C，使得
（19）
（20）
对于所有的k不等于0.
证明：如果s=r，则(19)和(20)保持相等，因为双方为零。对于slt;r，结果如下
并且对于所有的k不等于0，来自
最后，结合估计方程(14)和(15)利用引理4.1和引理4.2的结果，我们得到了用方程（13）表示数值积分误差的上界。
定理4.3.设g：R→R是一个偶数绝对可积函数，使得beta;(K)le;B|k，k不等于0，对于某些Bgt;0，gamma;gt;-1，且存在一个正整数，使得||U-|le; B，对于某些qgt;0和所有nge;。如果uisin;C([0，1])是这样的，那么对于某些delta;gt;1，则存在一个正常数C，使得对于序列，存在一个正常数C。 近似(Anu)，nge;，定义在eq (12)方程给出的eq(1),我们给出了误差估计:
特别是，如果uisin;与alpha;isin;(max{0，-gamma;}，1]，则
我们记得，如果uisin;Cinfin;([0，1])，则isin;([0，1])是分段光滑的。在这种情况下，对于k不等于0，我们有
r是偶数
r是奇数
特别是，当gamma;lt;0时，我们注意到
r是偶数
r是奇数
然而，对于gamma;ge;0，我们有
r是偶数
r是奇数
5. beta;(K)的数值计算
beta;(K)数值计算的主要困难是核奇点在r=0。为了克服这一挑战，我们利用了形式为r=的变量与奇数M的变化。转换后的积分会读取
我们注意到，变换的Jacobian，使得被积(M-1)次，在tau;中连续可微，如果g(X)=log(|x|)，而对于g(r)=，则被积为次。积分定义beta;(K)现在可以用适当的高阶四边形逼近到高阶精度。 千真万确,例如，在本文中的计算中，我们使用了Clenshaw Curtis正交。为了保持完整性，我们回顾了相应的求积点{ :j= 0，hellip;， }和权值{：j=0，hellip;， }在[1，1]上给出
和
当情况为
k是偶数
k是奇数
我们通过计算beta;(K)覆盖一系列k值的一系列计算实例，证明了这种数值方法的有效性。特别是，在表1、表2和表3中，我们将 对beta;(K)的数值计算进行了收敛性研究，其中k值分别为16、256和1024。我们从这些表格中观察到，我们
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