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《古典几何学的介绍》
- 欧式几何
大约在公元前300年，被称为几何学的数学分支在希腊被正式确立。但是对于我们的西方文化来说，它的起源要追溯到公元前3000年左右的美索不达米亚和埃及。欧几里得的经典专著《几何原本》（Eu）对于整个科学界来说有极其重要的意义，因为除了所有几何学和物理学知识的汇编和组织直到那时才生成之外，它也提出了一个验证理论知识的方法，使它流芳百世。这就是为什么当今这个专著仍然被编辑。
那个文本有些小的瑕疵，需要很长一段时间来改正(看[H])。但是，令人惊讶的是，大多数瑕疵都困扰着欧几里得自身，他每次都小心翼翼的处理他的文化所允许的情况。在他的文化里，基本概念，例如：实数、极限和变换群还不存在。如今我们可以使用这些概念，因为我们有代数语言可用。
我们这里不讨论欧几里得公设（看附录5.4），但着重于几何的解析处理，它将指定坐标点、轨迹方程，并将其中允许的变换视为函数。这意味着我们应该根据几何的性质来研究几何，建立在第一个大学微积分课程研究的实数系统的基础之上（看[Cou]）。通过那些性质，可能证明笛卡尔平面遵守欧几里得的假设（17题）。
根据不同的作者（例如看[Ki]），欧几里得对他在全等三角形的证明上用叠加的方法感到勉强。虽然如此，分析的方法阐明了欧几里得的叠加原理，直到使在刚体变换下的不变量研究成为欧几里得的精髓。
第一章是对2维和3维笛卡尔空间的刚体变换群的研究，并提出了在解析方法下得到几何结果的观点。主要参考文献是[Cox 1, 2, 5], [Eu], [Ev], [H], [Mar],[Ra], and [Re]。
1.1对称性
对称性的概念在几何学里是基础的，在自然界中也是基本的。人体关于平面表面上是对称的，对称性限定了同样对称的物体的构造，例如有两个柄的花瓶或者成双的鞋子。关于中心对称的圆盘提供了很多应用。一个极大的圆柱不止是关于许多平面和许多点是对称的，也关于许多直线是对称的，尤其是关于它的轴线。本节内容，我们将说明在一个圆柱体方程的基础上证明这些最后的断言是合理的。
为了明确每种类型的对称性中应该被理解的内容，我们首先回顾我们是如何在三维空间确定一些距离的。我们再进一步回忆那些公式。
图1.1：距离：（a）从一点P到一点Q，（b）从一点P到一条直线L，（c）从一点P到平面Ⅱ
定义：从点P到点Q的距离是两点之间直线段的长度。
定义：从一点P到一条直线L的长度是点到直线的垂线段的长度。
注意直线上的所有点，从点P到直线L的垂线段的垂足H确定了最小长度的直线段（它是图1.1（b）中直角三角形PHQ的一条边）。
定义：从点P到平面p的距离是从点到面垂直的直线段的长度。
在这种情况下，从点P到平面Ⅱ的垂线的垂足H也是平面上的点，它将从点P到点Q所有可能的直线段的长度降到最小，因为PH是图1.1（c）直角三角形PHQ的一条边。
一个物体在三维空间可以有以下不同类型的对称： (a)关于一个点, (b) 关于一条直线 (c) 关于一个平面
定义. 当点O是直线段的PPrsquo;中点（看图1.2），如果对于F里的任一点P, Prsquo;也在F上,一个物体F 关于点O是对称的。 点O叫做对称中心。
正弦函数的曲线图关于原点是对称的（看图1.2（a））。直圆锥关于它的顶点对称（看图1.2（b）） 。立方体关于它的中心点对称。 作图证明前两个判定很简单，显而易见。
图1.2：关于点对称的图形
定义： 如果对于一个物体F上的任一点P,Prsquo;也在F上，当L与直线段PPrsquo; 垂直相交(看图 1.3)，F关于直线L对称。直线L是对称轴。
余弦函数图关于Y轴对称(看图 1.3(a)), 但不关于X轴对称。 正五边形关于任一穿过顶点和顶点对边的中点的直线对称(看图1.3(b))。 立方体关于任一穿过对边中心的直线对称(看图 1.3(c)). 在这一节的末尾, 我们将很简单地证明这些断言。
图1.3关于直线对称的图形
定义： 如果对于在物体F上的任一点P，Prsquo;也在F上，当面Ⅱ过PPrsquo;的中点且与直线段PPrsquo;互相垂直，F关于平面Ⅱ是对称的 (看图 1.4)。面Ⅱ是一个对称面。
人体表面上关于从鼻尖到脊柱的平面是对称的。立方体关于包含平行于对边的对角线的平面对称，且关于与相对面平行且过中心的平面对称。极大的圆柱关于任一与轴线互相垂直的平面对称，关于过轴线的平面对称。在这节的末尾，我们将验证后面的两个判定。
有计算涉及对称性的定义的距离的公式。虽然如此，让我们来看看，在修正它们之前， 一些简单的代数考虑如何足以得到包含给定的点P（x,y,z）关于坐标面、坐标轴和原点对称的点。
这是很有用的，因为——除了预先给出坐标系的情况下，我们将能够采取坐标系以便关于我们有兴趣检查对称性的平面、直线或者点成为坐标元素之一。最后,3维笛卡尔空间里的2维笛卡尔空间的标准内含物允许我们在平面的情况下使用那些条件。以下定义在图1.5中阐明。
图1.4关于平面对称的图形
P(x,y,z)关于坐标系O的原点对称的点是点Po(-x,-y,-z),由于P,Po,和O点是共线的，-P=Po，且=。
P(x,y,z)关于X轴对称的点是Px(x,-y,-z),因为向量P-Px=(0,2y,2z)垂直于（1,0,0），并且直线段PPx的中点（x,0,0）isin;X。
类似地，可以证明点P(x,y,z)关于Y轴对称的点是Py（-x,y,-z）,P(x,y,z)关于Z轴对称的点是Pz(-x,-y,z)。
证明点P(x,y,z)关于每个坐标面对称的点也是很简单的，如下：
Pxy(x,y,-z)与P(x,y,z)关于面XY对称，
Pyz(-x,y,z)与P(x,y,z)关于面YZ对称,
Pxz(x,-y,z)与P(x,y,z)关于面XZ对称。
在前面段落的基础上，读者证明以下结果不应该有任何困难：
如果一个给定的图形关于3个坐标面对称，那么它关于坐标轴和原点也是对称的。
图1.5给定的点关于坐标面，坐标轴和原点对称的点
现在让我们研究必要的公式和代数来确定我们上面提到的对称性。
对于三维笛卡尔空间的任意两个矢量，我们定义它们的数积为(, ,) · (, ， ) =
借助于这个数量积,我们得到在三维笛卡尔空间的向量的范数 (x, y, z)，
= =
能够解释为由(0, 0, 0), (x, y, z)确定的平行六面体的对角线的长度，和 (x, y, z)在每个坐标平面和以及每个坐标轴的投影（作图）。
借助于范数我们能定义两点P(x1, y1, z1) and Q(x2, y2, z2)之间的距离:
d(P,Q) = ||P minus; Q|| =
且两个矢向量 = (u1, u2, u3) and = (v1, v2, v3)之间的角度定义为ang;(，) =ang;cos()
后来施瓦尔兹不等式主张||le;||||||||
备注1：在这本书里我们把给定的2维笛卡尔平面和在3维笛卡尔平面里的2维笛卡尔平面的图像看成一样，(x, y) → (x, y, 0)。当然，这不是唯一方法考虑到2维笛卡尔平面作为3维笛卡尔平面的向量空间，但这是最常用的。
除了两个在3维笛卡尔平面的矢量 = (u1, u2, u3)，=(v1, v2, v3)的数积之外，我们也有它们的向量积
x=(u2v3 minus; u3v2, u3v1 minus; u1v3, u1v2-u2v1)=，, 和分别为3维笛卡尔空间的单位向量(1, 0, 0), (0, 1, 0)和(0, 0, 1)。
借助于向量积的范数，我们能计算平行四边形的面积：如果 theta; = ang;(,）， 那么我们能简单得证明出=。
最后，三个矢量、、的纯量三重积，用表示，用来计算平行六面体的有向体积由，，，， ， ， 以及 决定（看图1.6）：
[,,]=·times;=cosphi;,当phi;=ang;（，times;）。因为times;与和垂直，数字cosphi;是点P(,,）关于由，确定的平行四边形组成的基底的定向的高（看图1.6）。它的面积恰好是。
现在建立一个公式来计算给定的点Q（a,b,c）过点沿单位向量到3维笛卡尔空间的直线L的距离是简单的：d(Q,L) = ||(Q minus; ) times;||=||Qminus;|||sintheta;| （1.1）
由于=1，(Q minus; ) times;的范数等于||Qminus;|||sintheta;|，恰好是图中1.7看到的平行四边形的高度，并且包含在由L和Q定义的平面上，当theta;=ang;（，Q minus; ）时。
图1.6纯量三重积的几何解释
如果直线和点在2维笛卡尔空间里，点Q（，）到2维笛卡尔空间里的直线L的距离公式，直线L由方程式Ax By C = 0表示，是d(Q,L)= (1.2)
图1.7如何计算3维笛卡尔空间里点到直线的距离
读者应该依据数积使用一样的论证证明这个公式，证明点Q（，，）到面Ⅱ的距离公式，面Ⅱ由方程式Ax By Cz D = 0表示，是d(Q,Ⅱ)=(1.3)
既然我们已经有一个确定点之间距离、直线之间的角度、面积、体积的方法，我们准备开始欧氏几何在面和三维空间的分析研究。
我们首先将证明我们有上述例子描述的对称性，在每种里面挑选一个适当的坐标系以便我们能够运用刚回忆的条件，没有一般方法来确定如何做选择，在这种情况下，在很多人心里，这只是通过练习来培养我们做出合适选择的直觉。
1.正弦函数关于原点对称的图像
在这种情况下，坐标系已经被确立了，由于函数y=f(x)的图像指的是坐标面上的坐标（x,y）,正弦函数的图像由点（x,sinx）组成，由于sinx=-sin(-x)，我们可以写成-sinx=sin(-x),因此，点P(x,sinx)属于正弦函数的图像当且仅当点Prsquo;=(-x,-sinx)也属于那个图像（看图1.8）。
图1.8正弦函数关于原点对称的图像
这个正弦函数的性质使我们记起函数y=的性质，当n是奇整数，因此据说正弦函数是一个奇函数。
2.余弦函数关于y轴对称的图像
在这种情况下，坐标系也给出来了。我们邀请读者来画图像的草图并回忆隐含一点P(x,sinx)属于余弦函数当且仅当Prsquo;（-x,cos(-x)）也属于那个图像的三角恒等式。
3.每一个圆关于它的中心对称，关于它的直径对称。
在这种情况下，采取原点是中心，X轴关于我们想要证明对称性的直径相一致的坐标系是方便的。从而，圆的方程式是且由于sin=，=，很显然P(x,y)满足圆的方程当且仅当点Prsquo;(-x,-y)也满足它。换言之，圆关于它的中心对称。同样的道理，Px(x,-y)属于原当且仅当P（x,y）也属于圆。这证明了圆关于它的任一直径对称（看图1.9）。
图1.9圆的对称性
- 正五角形关于过它任一顶点和顶点对边中点的直线对称。
回想一下，如果五角形的边长彼此相同，它的内角大小也彼此相同，那么这个五角形是规则的。
为了证明这个事实，首先，如果A、B、C、D、E是五角形的顶点，我们可以采取如下坐
标系，A选出来在Y轴上，顶点C、D关于Y轴对称。因此，轴线是我们感兴趣的直线之一（看图1.10）。
图1.10五角形的对称性
由于在C、D处的内角全等，边BC和ED分别关于正X轴组成的角和。
因此，如果DE的斜率是m,BC的斜率就是-m,它们分别经过点C、D，边BC和DE的方程式分别是：BC:y=-mx-md,DE:y=mx-md
有了这些方程式，证明边BC的点在边DE上有关于Y轴对称的对称点，我们把性质的证明留给读者。证明边BA的对称点在边EA上也留给读者。
5.圆柱关于它的轴、经过它的轴线的平面对称，关于与轴线垂直相切的任意直线、平面对称，关于轴线上的任意一点对称。
我们可以把圆柱当作由直线围绕一条固定平行线，即旋转轴旋转的表面。
在这种情况下，我们把圆柱以Z轴是它的轴线的方式放置；关于我们想证明对称性的过Z轴的平面是面YZ； 关于我们想要证明对称性的与圆柱的轴线垂直的平面 是面XY，并且建议原点是对称中心。
在所有的规范下，圆柱的方程式是；由于x,y有一个偶数指数，而z是任意的，很显然存在关于原点、每个坐标轴，每个坐标面，尤其是关于Z轴，关于面YZ，关于面XY的对称性。
图1.11旋转圆柱的对称性
一开始，读者可能不相信除了旋转轴还有其他的对称轴。但是，准则的简洁证明了关于坐标系的图形的对称性使我们发现圆柱有无限量的对称轴：每一条直线与旋转轴垂直相交。
那是利用代数研究几何的好处之一：这允许我们发现以前不敢想像或相信的几何事实。
6.旋转圆锥—
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