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共轭轨迹的分叉
托马斯·沃特
英国朴茨茅斯大学数学
文章信息
文章历史:
收到2015年11月12日
接受2017年4月3
2017年4月27日上线
摘要
表面S点p的共轭轨迹有一定数量的尖点。当点p在表面移动时，共轭轨迹可能会自发地得到或失去尖点。在本文中，我们解释了这种“分叉”的概念，即指数映射的高阶导数的消失;我们用标量不变量来推导这些高阶导数的简单方程;我们根据共轭轨迹的局部结构对尖点的分叉进行分类;我们用一个直观的图像来描述分叉是切平面上某个轮廓的交点。
关键词: 测地线 共轭轨迹 雅可比领域 测地线偏差 分叉
1.引言
共轭轨迹及其相对切割轨迹是微分几何中的经典对象，自19世纪中叶以来，许多数学家对其进行了深入的研究( [ 1 - 4 ])。与本文特别相关的是所谓的“雅可比的最后几何陈述”，其中断言(除其他外)三轴椭球上非脐点的共轭轨迹精确地具有4个尖点(关于历史草图和参考列表，见[ 5 ])。伊托和清原[最近证明了这一猜想，最近的论文提供了[ 7 - 10]，模拟[ 5，11 - 14 ]和应用[ 15 - 19 ]的正式研究，重新引起了人们对共轭和切位点的兴趣。
研究三轴椭球体和旋转曲面的文献充分利用了曲面上的测地线流是(刘维尔)可积的这一事实。然而，存在第二积分的表面几乎没有，并且作者最近的一些论文[20-22]表明，即使是简单曲面，测地线流也可能是不可积的，甚至是混沌的。我们可以说具有可积测地线流的曲面是例外的，本文的一个基本目标是开发技术来理解测地线流的精细结构，而不依赖于附加积分。
本文将着重讨论以下现象:设p是光滑二维曲面S中的一个点，设是p在S中的共轭轨迹。当p在表面上移动时，的尖点数目可能变化(这是本文标题中所指的“分叉”)。这在椭球体上是众所周知的:当p通过脐点时，共轭轨迹从具有4个尖点的曲线退化为简单的点(对跖脐)。更详细地说，让我们以球面调和函数[ 23 ]定义的曲面为例，为了演示起见，我们将集中讨论以极坐标形式定义的扇形调和函数(关于此曲面上测地线流不可积的证明，请参见[20] )
ϵ , , ϵ
现在，当p变化时，共轭轨迹可形成另外的尖点，其中先前存在平滑弧(例如图1中的(a)至(b)或尖点(图1中的(c)至(d))。实际上，当n = 3时,表面被划分成区域，其中每个区域中的点的共轭轨迹将具有6个尖点或8个尖点(参见附录中的图A.7 )；对于n的较大值，情况更复杂。
图1. n = 3扇形调和面上各点的共轭轨迹(投影到对映体的切平面上)；见图7A . 7
在第二节中，我们将首先指定两个感兴趣的分叉场景，然后我们将证明共轭点、共轭轨迹的尖点以及这些尖点的分叉是由第一、第二和第三尖点的消失决定的指数映射的导数(当我们使用术语“分叉”时，我们将发现奇点理论的语言更合适)。这些高阶导数的方程在第3节和第4节中导出。这些方程在广义相对论文献[ 24–27 ]中以各种形式已知，其中Jacobi方程称为“测地线偏差方程”[28]，然而，我们进一步将这些方程以标量不变量的形式进行转换，从而(i)使分析更清楚(ii)将每个阶数简化为单个标量ODE，以及(iii)便于在未以参数化形式定义的表面上进行类似分析。我们在第5节继续对共轭轨迹的尖点进行分类。我们在第6节结束时提出一些进一步的评论。
我们采用了只在必要时才使用指数的惯例。 我们将专注于二维光滑表面，然而方程式（1）,（4）和（A.1）适用于任何维度的流形。
- 距离函数及其奇点
设)是从发出的单位速度测地线族，其中参数化每个测地线，标记族的成员；因此，参数化的邻域，称为测地线极坐标。我们将让表示通过定义的指数映射，其中 (这里和整个点将表示导数w.r.t.s)。考虑一下
(1)
设为沿径向测地线平行传输的正交框架，可写出，且雅可比方程分解为两个标量方程：
, (2)
其中K是高斯曲率。 我们使用初始数据和，来寻找与psi;共扼的点。 因此的切向分量是微不足道的，我们只需要关注法向分量。 如果存在一些使得，则沿着与p共轭。 与共轭的点的集合是p的共轭轨迹，表示为。
以下是众所周知的：在为的参数化可能有多个分量，但我们假设不是空的）中存在光滑曲线，并且如果，则S中的R图像（即）在处有一个尖点。 当我们改变基点p时，曲线可能发展或失去平稳点，因此可能发展或失去尖端; 这个过程就是我们感兴趣的#39;分叉#39;。
标准术语是，如果R的一阶k导数在处消失，而不是在( k 1 )处消失，则R在处具有k奇点。我们把奇点丢弃为不感兴趣的奇点，因为它只是表示沿着移动的尖点。奇点的范思哲展开具有如下形式
并且当展开参数mu;通过零时，附近的R的平稳点的数量从0到2（反之亦然），见图1和图2的左边。 我们将这称为“弧形”分岔，尽管术语“折叠”[29]和“燕尾”[30]也可能是适当的。 虽然奇异性看起来很特殊，但它也是有趣的，
图2.文中描述的两种分叉方案的代表性草图。
因为当位于S的对称线上时，R是中的一个偶函数，并且奇点的开折展开为 （假设p沿着这条对称线移动）
(3)
当mu;通过零点时，固定点的数量从1到3 (反之亦然)，见图1、2和5的右侧。我们将这称为“尖点”分叉，尽管术语“干草叉”和“蝴蝶”也可能是合适的。
问题是我们不知道R和它的导数是什么，也没有它们的方程。我们现在将证明R的奇点是由于指数映射w.r.t.的高阶导数同时消失，并且在下一节中我们将导出这些导数的方程。
命题1.假设从p发出的测地线到达处的共轭点，如文中所述。 那么当且仅当指数的第一个k 1协变导数为w.r.t时，R将在上具有奇异性。 在处消失。
证明.根据定义，R = R（）是沿着的s的值，其中消失，即
采用协变导数w.r.t.,
所有指数都在s = R（）上进行评估。 因此，如果指数映射w.r.t.的二阶导数R具有奇点。消失（因为在s=R时 ）。再次区分，
因此，如果指数的二阶和三阶导数消失，则R具有奇异性; 继续这种方式，这个命题通过归纳来进行。
以下推论是直接的：
推论1.沿着从p发出的测地线：有一个共轭点，其中指数的一阶导数w.r.t.消失; 共轭轨迹有一个尖点，其中第一和第二个指数消失; 在一阶导数、二阶导数和三阶导数消失的地方存在圆弧分叉； 并且如果测地线位于S的对称平面（并且p沿该测地线移动），则存在尖点分叉，其中第一，第二和第三导数消失。
3 .指数映射的二阶导数
根据指数导数的消失，表达式分叉的优点是我们现在可以导出这些导数的方程。 但是，这些方程式是张量形式，因此可以在任何坐标系中表达，对于通用坐标系来说，这将非常麻烦。 相反，我们可以用标量不变量写出方程，类似于（2），它允许简单的计算; 实际上我们会将分析结果显示为单一标量方程。
图3. 图A.7中标记（a）和（b）两点的中的（蓝色）和（红色）轮廓。 注意：没有显示两个交点（为了解释这个图例中的颜色引用，读者可以参考本文的网页版本。）
令 , 则
且，利用雅可比方程，
利用黎曼张量的对称性可以简化为
(4)
这被称为#39;Bażański方程#39;，并出现在[24]中。 通过将J 2分解为切向和法向分量，我们用测地极坐标表示该方程，然后用标量不变量确定系数。 我们找到以下两个等式：
, (5)
基于上一节，我们知道要确定的尖点，我们需要和同时在上消失。 首先看切向分量，我们发现不是平凡的（不像一阶），但我们仍然可以找到一个确切的解决方案：它是
因为在上消失了，这意味着我们只需要看正态分量的消失就可以识别的尖点。一些直接的(众所周知的)观察如下:旋转表面上的极点的共轭轨迹是点(或空的)，并且沿着对称线的共轭点必须是共轭轨迹的尖点。这两个观测结果都来自(5)，因为在每种情况下。
现在我们可以在下面的直观图中理解尖点的创建或湮没：对于每个p，我们考虑中的和等高线; 这些曲线之间的交点标记共轭轨迹的尖端。 至于p在表面上移动这两个轮廓将会变化，导致分叉。 图3中示出了“弧形”分叉; 我们看到两条轮廓横向相交，导致产生共轭轨迹的两个新尖点。
4 .指数映射的三阶导数
虽然上一部分的图片是信息丰富的，但我们仍需要查看一部分测地线以确定分叉点，而不是简单地遵循单个测地线。 然而在第2节中我们已经证明有一个，如果指数映射的三阶导数也在处消失，则R中的奇异性在处; 我们在本节展示这再次简化为一个标量方程。
令，按照上一节的程序，我们找到附录（A.1）中的J 3的方程。 如前所述，我们写出和等式 （A.1）分成两个标量方程：
(6)
和
(7) 图4.本文中描述的赤道测地线的与的关系。
图5.圆弧（左）和尖点（右）分支的的局部图片。 在框中给出R的草图。
如果我们想确定R的奇点何时沿着特定测地线出现，我们需要和在尖点同时消失()。我们可以再次找到切向分量的精确解，
它在的尖点处消失，所以我们只需要寻找正态分量的消失。
考虑以下实验：在三轴椭球上，我们允许点p沿着“中间”椭圆移动，穿过一个脐点。我们考虑沿着对称线从p发出的测地线;因此项在（7）中消失，只有一阶项贡献于三阶方程。我们同时求解测地方程，等式.（2）和等式.（7）直到s = R的值，其中，然后记录每个页。正如所料，当rho;通过脐点时，通过零点，因此会发生尖点分叉，湮没2个尖点。对于在相反方向上行进的对称测地线，我们可以这样说将不会再花太多时间来证明共轭轨迹退化为一个点。虽然我们不会进一步，因为这是椭球体上众所周知的现象，但我们强调，本文的方法不依赖于测地方程的积分。
作为一个更详细的例子，让我们考虑一个我们知道测地线不可积的表面：介绍中描述的n = 3球谐表面，如图A.7所示。我们专注于对称赤道测地线，即具有的，并允许变化。对于的每个值，我们记录，如前一段所述，我们在图4中显示结果。注意有两条曲线，分别对应于phi;（0）gt; 0和lt;0。该消失的的力值表示分支的展示，与图A.7不一致。直观地理解这种分叉的机制：对于某些基点p，指数映射的三阶导数在共轭点之前消失，对于共轭点之后的某个p。因此，在某个p，三阶导数在共轭点消失，并且这种高阶聚焦导致R中的奇异性并且产生的尖角数量的变化。
5 .尖点的分类
基于前面的分析，我们现在可以根据R的奇异性对共轭轨迹的尖点进行分类。我们将用表示S中R的图像，即共轭点 p的轨迹。 设q为该曲线上的一个点，以及以下系列
是对q的泰勒级数的的投影。 现在，如果我们考虑沿径向测地线平行传播的T，N向量，则T（q），N（q）形成的基础，因此刚刚给出的序列可写为 这些正交归一向量的线性组合; 从本系列的主要术语中，我们可以看出q的局部结构。 我们将使用符号( n，m )来表示alpha;的级数表示在方向T和N上分别具有阶和的前导项。
命题2.如果R（）在时具有奇点，则共轭轨迹在处为（k 1，k 2）。
证明.由于，所以的切向量是
对协变导数来说
以这种方式继续，很容易导出以下公式:
其中是一个逐渐变得越来越复杂表达式，我们在此省略它(但用于图5 )。现在由于，当R有一个奇点时，我们可以写出在q处级数展开的前导项
因此，如果R′ne; 0 ( R的奇点)，则局部是沿N if′lt; 0和N if′gt; 0 (注意)方向的抛物线开口，并且在奇点处，具有“普通”尖点，如果为正或负，则该尖点分别指向或远离p，如预期的[3]。如果我们回忆弧分支，我们看到当R′通过零时共轭轨迹通过( 1，2 )→( 3,4 )→( 1，2 )。另一方面，在尖点分岔处，当R′通过零时，共轭轨迹通过( 2，3 )→( 4，5 )→( 2，3 )。代表性的草图在图5中给出。
6 .结论
本文的主要发现表明，由于相邻测地线沿某一特定测地线的高阶聚焦，我们可以理解共轭轨迹尖点的产生和湮没。我们得到了
指数映射的二阶和三阶导数的相对简单的方程，并且已经示出了正态分量如何包含所有相关信息。我们已经在椭球面和球面调和面上证明了这一理论。此外，我们还对共轭轨迹的尖点进行了分类，特别是弧和尖点分叉。
本文的方法可以继续回答其他问题。 例如，在图3中我们看到中的和轮廓。 我们知道S中轮廓的图像有尖点，轮廓的图像是什么;这有没有尖角？ 一般情况下，答案是否定的：该曲线由多个循环组成，与的尖端一样多，每个循环都通过的尖端（见图6）。 然而，尖点确实在共轭轨迹中的分叉时刻发展。 为了看到这个，设为s的值，其中对于每个，; S
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