Linear Algebra and Its Applications
(Fourth Edition Gilbert Strang)
Chapter4 Determinants
4.1 Introduction
Determinants are much further from the center of linear algebra than they were a hundred years ago. Mathematics keeps changing direction! After all, a single number can tell only so much about a matrix. Still, it is amazing how much this number can do.
One viewpoint is this: The determinant provides an explicit “formula” for each entry of A-1 and A-1b. This formula will not change the way we compute; even the determinant itself is found by elimination. In fact, elimination can be regarded as the most efficient way to substitute the entries of an n by n matrix into the formula. What the formula does is to show how A-1 depends on the n2 entries of A, and how it varies when those entries vary.
We can list four of the main uses of determinants:
1. They test for invertibility. If the determinant of A is zero, then A is singular. If
detAne;0, then A is invertible (and A-1 involves 1/detA).
The most important application, and the reason this chapter is essential to the book,is to the family of matrices A-I. The parameter is subtracted all along the main diagonal, and the problem is to find the eigenvalues for which A-I is singular. The test is det(A-I)=0. This polynomial of degree n inhas exactly n roots. The matrix has n eigenvalues, This is a fact that follows from the determinant formula, and not from a computer.
- The determinant of A equals the volume of a box in n-dimensional space. The edges of the box come from the rows of A (Figure 4.1). The columns of A would give an entirely different box with the same volume.
The simplest box is a little cube dV = dxdydz, as in. Suppose we
change to cylindrical coordinates by x = r cos , y = r sin, z = z. Just as a small interval dx is stretched to (dx/du)du—when u replaces x in a single integral—so the volume element becomes J dr d dz. The Jacobian determinant is the three-dimensional analogue of the stretching factor dx/du:
Jacobian J =.
The value of this determinant is J = r. It is the r in the cylindrical volume element
r dr ddz; this element is our little box. (It looks curved if we try to draw it, but probably it gets straighter as the edges become infinitesimal.)
Figure 4.1: The box formed from the rows of A: volume =determinant.
- The determinant gives a formula for each pivot. Theoretically, we could predict
when a pivot entry will be zero, requiring a row exchange. From the formula determinant= plusmn;(product of the pivots), it follows that regardless of the order of elimination, the product of the pivots remains the same apart from sign.
Years ago, this led to the belief that it was useless to escape a very small pivot by exchanging rows, since eventually the small pivot would catch up with us. But what usually happens in practice, if an abnormally small pivot is not avoided, is that it is very soon followed by an abnormally large one. This brings the product back to normal but it leaves the numerical solution in ruins.
4. The determinant measures the dependence of A-1b on each element of b. If oneparameter is changed in an experiment, or one observation is corrected, the “influence coefficient” in A-1 is a ratio of determinants.
There is one more problem about the determinant. It is difficult not only to decide on its importance, and its proper place in the theory of linear algebra, but also to choose the best definition. Obviously, detA will not be some extremely simple function of n2 variables; otherwise A-1 would be much easier to find than it actually is.
The simple things about the determinant are not the explicit formulas, but the properties it possesses. This suggests the natural place to begin. The determinant can be (and will be) defined by its three most basic properties: det I = 1, the sign is reversed by a row exchange, the determinant is linear in each row separately. The problem is then to show, by systematically using these properties, how the determinant can be computed. This will bring us back to the product of the pivots.
Section 4.2 explains these three defining properties of the determinant, and their most important consequences. Section 4.3 gives two more formulas for the determinant—the “big formula” with n! terms, and a formula “by induction”. In Section 4.4 the determinant is applied to find A-1. Then we compute x=A-1b by Cramerrsquo;s rule. And finally, in an optional remark on permutations, we show that whatever the order in which the properties are used, the result is always the same—the defining properties are self-consistent.
4.2 Properties of the Determinant
This will be a pretty long list. Fortunately each rule is easy to understand, and even easier to illustrate, for a 2 by 2 example. Therefore we shall verify that the familiar definition in the 2 by 2 case,
，
possesses every property in the list. (Notice the two accepted notations for the determinant, detA and ǀAǀ.) Properties 4–10 will be deduced from the previous ones.
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线性代数及其应用
（第四版 吉尔伯特·斯特朗）
- 行列式
4.1引言
与一百年前相比，行列式不是线性代数的中心。数学一直在改变方向！毕竟，关于一个矩阵，一个数字只能说明那么多。尽管如此，这个数字所说明的东西还是令人惊讶的。
一种观点是这样的：行列式可以提供一个明确的公式为每一个A-1和A-1b中的项。这个公式不会改变我们的计算方式，甚至我们可以将行列式看成ntimes;n矩阵最有效的替代公式。这个公式展示了如何依赖矩阵A的n2个元素来求A-1以及当矩阵A中某些元素变化时A-1是如何变化的。
我们可以列出行列式的四种主要用处：
- 行列式可以用来判断可逆性。如果矩阵A的行列式为0，那么矩阵A不可逆，如果detAne;0，那么矩阵A可逆（其中det(A-1)=1/detA）。
最重要的应用以及这章对这本书至关重要的原因在于像A-I这样的一类矩阵，矩阵A-I表示矩阵A沿主对角线全部减去参数后得到的矩阵。问题是找出特征值，此时矩阵A-I不可逆，这时候就需要检查det（A-I）=0。含的n次多项式正好含有n个根，即矩阵有n个特征值，这是一个由行列式公式得出的事实，而不是用计算机得出的事实。
- 矩阵A的行列式的值等于n维空间中盒子的体积。盒子的边对应矩阵A的每一行（如图4.1）。矩阵A的列则会给出一个体积相同却完全不同的盒子。
最简单的一个盒子是一个小正方体dV=dxdydz，就像。假设我们令x=rcostheta;,y=rsintheta;,z=z为柱面坐标，就像一个很小的小区间dx被拉伸成(dx/du)du，当u代替x在一个积分中时，体积元变成J dr dtheta; dz。雅克比行列式是类似的dx/du，只不过是扩展到三维空间了：
雅克比行列式 J =.
这个行列式的值为J=r，其中的r就是圆柱形体积元r dr dtheta; dz中的r,这个体积元就是我们的小盒子。（如果我们尝试画它时，它看起来好像是弯曲的，但当它的边缘变得无穷小时，它可能看上去会变得更直一点。）
图4.1：由矩阵A的行组成的盒子：体积=ǀ行列式ǀ
- 行列式对每个主元给出了一个公式。理论上，我们可以推断当主元为0时，需要进行行交换。根据公式行列式=plusmn;（主元的乘积），不管是否进行交换，主元乘积的绝对值是一样的。
多年前，这就导致人们相信通过交换行来逃避一个较小的主元是没有用的，因为最终还是会有更小的主元出现。但在实际中通常又会发生什么呢，如果不可避免的出现一个很小的异常的主元，那么很快将会出现一个大的异常的主元，这样就会导致乘积的结果恢复到正常情况。
- 行列式测量b中每一个元素对A-1b的依赖性。如果在一次实验中一个参数被改变，或者一个观测量是正确的，那么A-1的“影响系数”就是行列式的一个比值。
关于行列式还有一个问题，不仅仅是决定它的重要性方面以及在线性代数中的地位是很困难的，还在于给出一个最佳的定义也是很困难的。很明显，detA不是n2个变量的某个简单函数，另外，A-1将会比实际情况更加容易找到。
对于行列式而言，最简单的不是明确的公式，而是他的属性。这表明回归本然。行列式可以(也将)由其三个最基本的属性定义：detI=1,每进行一次行交换行列式值的符号改变一次，行列式与每行是线性关系。那么接下来的问题就是如何通过系统的运用这三个基本属性去计算行列式。这就要带我们回到主元的产生时。
第4.2章会阐释行列式的三条性质以及最重要的结论。第4.3章会给出至少两个关于行列式的公式——一个有n!项的大公式以及一个归纳公式。在第4.4章中，行列式被用于找A-1，接着我们运用克莱姆法则计算x=A-1b,最后，讨论一下置换，不管我们以怎么样的顺序使用这些性质，其结果都是一样的——也就是说这些性质都是自洽的。
4.2 行列式的性质
行列式的性质比较多，但幸运的是，每条规则都很容易理解，甚至用2times;2的例子更加容易说明。因此，我们将以2times;2的情况来验证这些熟悉的定义，
具有下列中的每个属性.(注意行列式的两个表达符号,detA和ǀAǀ。)性质4-10将可以从先前的性质中推导出来，每一个性质都是前面三个性质的推导结果。我们要强调这些规则适用于任意大小的方阵。
- 单位矩阵的行列式为1.
detI=1 and and...
- 当两行交换时，行列式的符号发生改变。
行交换 .
每个置换矩阵的行列式detP=plusmn;1。通过行交换，我们可以将P转化为单位矩阵。每次行交换改变一次行列式的符号，直到得到detI=1。现在推广到其他矩阵。
- 行列式以第一行线性相关。假设A，B，C从第二行向下是相同的，A的第1行是B和C的第一行的线性组合，那么根据规则是：detA是detB和detC的相同的线性组合。
线性组合涉及两种情况——向量加法和标量乘法，因此这个规则被分为两部分：
第一行中的向量加法
第一行乘以t
注意第一部分不能写成det(B C)=detB detC,你不可以将所有行进行相加：只有当第一行是可以变化。两边给出的答案都是ad arsquo;d -bc-brsquo;c.
第二部分不能写成det(tA)=tdetA，矩阵tA指的是每一行都有t（即行列式乘以tn）.这就像一个盒子的体积，当所有的边都增加4,在n维中，体积的行列式都增加4n，如果只有一边增加，那么体积和行列式就都只增加4。那是性质3，根据性质2，第一行没有什么特别之处。
行列式现在已经确定了，但这个事实一点也不明显。因此我们通常用这些性质来寻找任意矩阵的行列式。
- 如果A中有两行是相同的，那么detA=0。
相同的行 .
这个可以从性质2中得到，因为如果相同的两行交换位置，那么行列式应该要改变符号，因此它必须保持不变，因为矩阵保持不变。只有零满足要求，即detA=0。（在布尔代数中，如果1=-1，那么推理失败，因此性质4应该代替性质2作为定义性质之一。）
- 一行减去另一行的倍数后行列式不变。
行运算 .
据性质3，应该有一项，但根据性质4，这一项为0.这也就是说通常的消元步骤不影响行列式！
- 如果矩阵A有一行为0，那么detA=0。
零行
一种证明是将其他行行添加到零行，根据性质5，行列式不变。因为矩阵将有两行相同，根据性质4，detA=0。
- 如果矩阵A是三角矩阵，那么detA是对角元素a11，a22，···，ann的乘积。如果三角矩阵A对角线上的元素是1，那么detA=1。
三角矩阵 .
证明.假设对角线的元素都不是零，那么消元步骤将移去所有非对角线上的元素，这不会改变行列式（根据性质5）.如果矩阵A是下三角矩阵，那么步骤是向下进行的。如果矩阵A是上三角矩阵，那么最后一列通过ann先前面的列清除掉。每种方法都可以得出对角矩阵D：
得出 detD = a11a22 ···ann det I = a11a22···ann。
为了求出detD，我们可以重复利用性质3，提出a11，再提出a22，直到最后提出ann后留下单位矩阵，最后我们再利用性质1：detI=1。
如果对角线元素为零，那么消元将产生零行，利用性质5，消元步骤不改变行列式，根据性质6，有零行意味着行列式为零。这就意味着：当三角矩阵是奇异的（因为主对角上有一个零），它的行列式为零。
这是一个关键的性质，所有的奇异矩阵的行列式为零。
- 如果矩阵A是奇异的，那么detA=0。如果矩阵A可逆，那么detAne;0。
奇异矩阵 是不可逆的当且仅当ad-bc = 0.
如果矩阵A是奇异的，用消元法将在U中产生零行，那么detA=detU=0。如果矩阵A是非奇异的，那么消元法将主元d1，···，dn放到主对角线上。对于detA我们有一个主元乘积公式！符号取决于行交换次数是奇数还是偶数：
主元乘积 detA = plusmn;detU =plusmn;d1d2 ···dn. (1)
第九条法则是乘积法则，我想说这是最令人惊讶的。
- 矩阵AB的行列式是detA与detB的乘积。
乘法法则 ǀAǀǀBǀ= ǀABǀ .
这个规则的一个特殊情况给出了A-1的行列式，一定是1/detA：
detA-1= 因为 (detA)(detA-1) = detAA-1= det I = 1. (2)
在2times;2的情况中，乘法法则可以这样证明：
(ad-bc)(eh-fg) = (ae bg)(cf <em
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