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期权和公司负债的定价
Fischer Black（芝加哥大学）
Myron Scholes（麻省理工学院）
如果期权在市场上被正确定价，就不可能通过在期权和标的股票中创造多头和空头头寸来确保利润。利用这一原理，推导出了一种基于期权的期权定价公式。由于几乎所有的资产负债都可以被看作是期权的组合，因此导致它的公式和分析也适用于公司债务，如普通股、公司债券和认股权证。特别地，这个公式可以用来推导出应该应用于公司债券的折扣，因为有可能出现违约。
介绍
期权是指在特定期限内，在一定条件下，有权买卖资产的证券。一个“美国选项”是可以在选项过期的任何时候执行的选项。一个“欧洲选项”是一个只能在指定的未来日期执行的选项。在行使期权时，为资产支付的价格称为“行使价格”或“惊人的价格”。“期权可能行使的最后一天被称为“到期日”或“到期日”。
最简单的一种选择是给予购买一股普通股的权利。在本文的大部分时间里，我们将讨论这种选项，这通常被称为“调用选项”。
这项工作的灵感来自于Jack l.Treynor（1961a，19616）。我们很感激尤金f法玛、罗伯特c默顿和默顿h米勒对早期草案的广泛评论。这项工作在一定程度上得到了福特基金会的支持。
一般来说，很明显，股票价格越高，期权的价值就越高。当股票价格远高于行使价格时，期权几乎肯定会被执行。因此，期权的实际价值将近似于股票的价格减去与期权相同日期到期的纯贴现债券的价格，票面价值等于期权的惊人价格。
另一方面，如果股票的价格远低于行使价，期权几乎肯定会在不被执行的情况下到期，所以它的价值将接近于零。
如果期权的到期日在未来很遥远，那么在到期日支付运动价格的债券的价格将会非常低，期权的价值将近似于股票的价格。
另一方面，如果到期日非常接近，期权的价值将近似于股票价格减去运动价格，或者是零，如果股票价格低于运动价格。通常情况下，如果股票的价值不变，期权的价值就会随着到期日的临近而下降。
在图1这样的图表中，通常会显示期权价值与股票价格之间的关系。对期权的最大价值进行重新包装，因为它的价值不可能超过股票。直线B表示期权的最小值，因为它的值不能为负，也不能低于股票价格减去运动价格。直线T2，Ts代表了连续较短期限的期权的价值。
通常，表示一个选项的值的曲线将是向上的。因为它也在45行以下，A，我们可以看到
股票价格（运动价格=20美元）
图1所示。——期权价值与股价之间的关系
期权将比股票更不稳定。股票价格的一个给定百分比的变化，持有期限不变，将导致期权价值的更大百分比变化。然而，期权的相对波动性并不是恒定的。这取决于股票价格和成熟度。
之前关于期权估值的大部分工作都是在认股权证上进行的。例如，Sprenkle（1961），Ayres（1963），Boness（1964），萨缪尔森（1965），鲍莫尔，麦基尔，科万特（1966）和陈（1970）都产生了相同的一般形式的估值公式。然而，它们的公式并不完整，因为它们都涉及一个或多个任意参数。
例如，Sprenkle关于期权价值的公式可以写成如下：
x是股票价格在这个表达式,c是行使价格,户是到期日,t是当前日期,v2的方差率股票回报率,1是自然对数,N(b)是累积正态密度函数。但是k是未知的参数。Sprenkle（1961）将k定义为股票价格在权证到期时的预期价值与当前股价的比率，以及依赖于股票风险的折现率。他试图用经验来估计k的值，但发现他不能这样做。
更典型的是，萨缪尔森（1965年）有未知的参数a和（3，a是股票的预期回报率，（3是权证上的预期收益率，或者是对权证的贴现率。他认为，当权证到期时，股票的可能价值的分布是对数正态，并取该发行版的预期值，在行使价格时将其切断。然后，他将这个预期的值以现在的速度（3。不幸的是，在资本市场条件下，似乎没有证券定价模型均衡，这将使这成为确定搜查令价值的适当程序。
在随后的一篇论文中，萨缪尔森和默顿（1969）认识到，在行使认股权证时，对可能价值的分配的预期价值进行折现并不是一个合适的程序。他们通过将期权价格作为股票价格的函数来推进这一理论。他们还认识到，折扣率的部分原因是，投资者愿意持有股票和期权的所有未偿金额。但他们没有利用这样一个事实，即投资者也必须持有其他资产，这样一来，期权或股票的风险就会影响其贴现率，这只是风险的一部分，而这种风险是无法分散投资的。他们的最终公式取决于他们为典型投资者所假设的效用函数的形状。
在开发我们的模型时，我们使用的一个概念是由Thorp和Kassouf（1967）表达的。他们通过将曲线与实际认股权证价格相匹配，获得了认股权证的经验价值公式。然后，他们用这个公式计算股票的股票和期权的比率，通过在一个证券和另一个证券中进行长期的投资来创造一个被对冲的头寸。他们没有追求的是，在均衡状态下，这种对冲头寸的预期回报必须等于无风险资产的回报。我们下面展示的是，这个平衡条件可以用来推导一个理论的估值公式。
估值公式
在根据股票价格推导出期权价值的公式时，我们将假设股票市场的“理想条件”和期权：
a）短期利率是已知的，并且是恒定的。
b）股票价格是在连续时间随机游走的，其方差与股票价格的平方成比例。因此，在任何有限区间的结束时，可能的股票价格都是正常的。股票回报率的方差是恒定的。
c）股票不支付股息或其他发行。
d）选项是“欧洲”，也就是说，它只能在到期时执行。
e）在买卖股票或期权时没有交易成本。
/）可以以短期利率借到证券价格的任何部分来购买或持有证券。
g）对卖空没有惩罚。不拥有证券的卖方只会接受买方的担保价格，并同意在未来的某一天与买方达成和解，向他支付相当于该日期安全价格的金额。
在这些假设下，期权的价值只取决于股票和时间的价格，以及被认为是已知常数的变量。因此，有可能创造一个被对冲的头寸，包括股票的多头头寸和期权的空头头寸，其价值不取决于股票的价格，但只取决于时间和已知常数的价值。将期权的价值作为股票价格x和时间t的函数的w（x，t），必须卖空股票的期权的数量是：
（1）
在表达式（1）中，下标是指w（x，t）对第一个参数的偏导数。
要看到这种对冲头寸的价值不取决于股票的价格，请注意，当股价变化很小时，期权价值的变化与股价变化的比率，是wx（x，t）。对于第一个近似，如果股票价格变化量为Ax，期权价格将会以w i（x，t）Ax的数量变化，而表达式（1）所给出的选项的数量将由一个数量的Ax改变。因此，股票多头头寸价值的变化将会被短期内/w1期权的空头头寸的变化所抵消。
当变量x和t发生变化时，可以卖空的选项数量，以创建一个有股票变更的对冲头寸。如果对冲是连续的，那么上面提到的近似就会变得精确，而对冲头寸的回报完全独立于股票价值的变化。事实上，对冲头寸的回报是确定无疑的。
为了说明被对冲头寸的形成，让我们参考图1中的实线（TL），并假设股票的价格从15美元开始，因此期权的价值从5美元开始。假设这条线的斜率是1/2。这意味着，对冲头寸是通过购买一股股票和卖出两种期权来创造的。一股股票的价格是15美元，两种期权的卖出价格是10美元，所以这个头寸的权益是5美元。
如果对冲头寸没有随着股票价格的变化而改变，那么在有限区间的结束时，股票的价值就会有一些不确定性。假设这两种期权从10美元到15。75美元，当股票从15美元涨到20美元时，从10美元涨到5。75美元，股票从15美元涨到10美元。因此，股票从5美元涨到4。25美元，当股票在任何一个方向变化5美元时。这是一个美元。75美元的股票下跌，在任何一个方向上都有5美元的变化。
此外，随着选项的成熟度的变化，曲线也会发生变化（比如图1中的T2到T3）。由此导致的期权价值下降意味着对冲头寸的股本增加，并倾向于抵消由于股价大幅变动而可能出现的损失。
值得注意的是，股票价格的大幅变动导致的股票价值的下降是很小的。随着股票价格变化的变化越来越小，股票价格的下跌与股票价格变化的幅度的比率变得越来越小。
还要注意的是，股票价值变化的方向是股票价格变化方向的变化。这意味着，在我们假设股票价格遵循连续随机游走的假设下，回报有一个恒定的方差，股票的回报和股票的回报之间的协方差是零。如果股票价格和“市场投资组合”的价值遵循一个连续的随机随机游走，其协方差是不变的，那就意味着股票收益和市场回报之间的协方差是零。
因此，如果期权的空头头寸不断调整，则对冲头寸的风险为零。如果这个职位没有经过调整，风险很小，而且完全由可以多样化的风险组成。
通过形成大量此类对冲头寸的投资组合。
一般来说，由于被套期头寸包含一股股票多头和1/2个期权，该头寸的价值是：
（2）
在短期内，股本价值的变化是：
（3）
假设短位置不断变化，我们可以使用随机计算来扩展Aw，也就是下面的
（4）
在方程（4）中，w上的下标指的是偏导数，v2是股票回报的方差。用方程（4）代替表达式（3），我们发现在对冲头寸中，股权价值的变化是：
（5）
由于在对冲头寸上的股本回报率是确定的，因此必须等于r t。即使被对冲的头寸没有改变
它的风险是小的，而且是完全可以分散投资的风险，因此对冲头寸的预期回报必须是短期利率。如果这不是真的，投机者会试图通过借入大量资金来创造这样的对冲头寸来获利，并在这一过程中迫使收益率降至短期利率。
因此，股权的变化（5）必须等于股本（2）乘以rhd的值。
从两边都掉下来，重新排列，我们有一个微分方程关于这个选项的值。
（6）
为期权的到期日和c的行使价格，我们知道
（7）
（8）
只有一个公式w xyt）满足微分方程（7）的边界条件（8），这个公式必须是期权的估价公式
解决这个问题
（9）
微分方程，我们做了下面的替换
（5lsquo;）
7关于风险与预期回报之间的关系的全面讨论，见Fama和Miller（1972）或夏普（1970）。要看到对冲头寸的风险可以分散，请注意，如果我们不持续调整对冲，表达式（5）就会变成：
在t和t Ai之间的市场投资组合价值的变化中，被对冲头寸的“市场风险”与被对冲投资组合的价值变化之间的协方差成正比，如表达式（5#39;）和Am:hw1:L cov（Ax2，Am）。但是如果Ax和Aw遵循一个联合正态分布，那么协方差是零。由于在对冲头寸中没有市场风险，由于对冲没有持续调整的事实，所有的风险都必须是可以分散投资的风险。
通过这个替换，微分方程变成：
(10)
边界条件变成：
（11）
微分方程（10）是物理学的热传递方程，它的解是由丘吉尔（1963，第155页）给出的。在我们的符号中，解是
(12)
从方程（12）代入方程（9），并简化，我们发现
(13)
在方程（13）中，N（d）是累积的正态密度函数。
请注意，股票的预期收益并没有出现在等式中（13）。期权价值作为股票价格的函数，与股票的预期收益无关。然而，期权的预期回报率将取决于股票的预期回报率。股票价格上涨的速度越快，期权价格就会越快通过功能关系（13）。
请注意，公式中出现的成熟度（t-t）只会乘以利率r或方差速率v2。因此，在r和v2中，成熟度的增加对期权的价值产生了相同的影响。
默顿（1973）已经证明了由方程（13）给出的选项值随着r或v2的增加而不断增加。在每一种情况下，它都接近于股票价格的最大值。
估值公式的偏导数是有趣的，因为它决定了股票的股票和期权在对冲头寸中的比例（1），对等式的偏导数（13），简化，我们发现：
(14)
在方程（14）中，d在方程（13）中定义。
从方程（13）和（14）中，很明显xw/w总是大于1。这表明，期权总是比股票更不稳定。
另一个来源
也可以使用“资本资产定价模型”推导出微分方程（7）。“这个推导是给出的，因为它提供了更多的依据，在这种情况下，人们可以用一个既依赖于时间又取决于股票价格的折现率来贴现期权的价值。”
资本资产定价模型描述了在市场均衡条件下，资本资产的风险与预期收益之间的关系。资产的预期收益提供了一定的折扣，必须将其应用于资产的期末价值，以给出其现值。因此，资本资产定价模型给出了在不确定性下进行折现的一般方法。
资本资产定价模型表示，资产的预期收益是其（5的线性函
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