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数学专业的教与学
介绍
在本文中，我们将假定任何学科都要制定一个在特定学科领域最有利于学习的学习路径为最重要的关注点。许多因素必须把这样的路线考虑进去。学习者遇到的困难应该成为其中一个重要的因素，当课程框架需要被重新审议时，这就变得十分重要了，学习者所面临的困难成为对现有课程框架的最重要的批判之一。另一个重要因素是这个学科领域的性质，这两个方面及其相互作用被视为本文最主要的主题。
人们很难否认，在小学和中学的数学学习者中会遇到很多挫折。这在高等院校的数学系中并不明显。因为大部分去那儿的学生觉得他们能对付这些。但是在学校里数学是一门必修课而且大多数学生都不喜欢它，主要是因为他们发现它很难理解。数学是一门降低在考试中所占的百分比的学科(至少在第二委员会的情况下，教育，拉贾斯坦邦)，数学在私人教师中占有最大的份额，在这个问题上，学校的眼泪都流了出来。
在我们提出改进课程和教学方法之前，问：为什么会这样？为什么数学在课堂上所受的挫折超过了它的份额，这也许是一个好问题。
一个普通问题的具体展现
我认为当学生之间运行整个课程时，普遍缺乏理解。这其中可能有很多原因，包括对概念形成和对学习经历缺乏重视。当碰巧达到临界水平时，这种缺乏理解就变成了数学上难以克服的困难，并有效地阻止了任何表面的东西。而在其他学科领域，数学进一步的学习是可以的。
为了检查这句话的真实性，你可以要求一个普通的毕业生用物理学来解释“质量”和“重量”的区别;或者你可以问一个地理专业的毕业生如果地球的自转轴垂直于地球绕太阳公转的轨道时，德里应该有什么样的气候?如果一个人还没有准备好适应这一系列，尽管表现良好，印象令人深刻，但始终明确坚持着模糊概念和那些或多或少不存在关系。这就意味着即使是这些科目不能只靠死记硬背去学习和理解。
似乎我是通过指出这些问题来稀释这个问题的。而我的目的恰恰相反。我正试图指出冰山的一角，这被认为是“数学教学中的挫折”。
但问题仍然存在：为什么这种缺乏理解在数学学习中产生的困难日益突出呢？为了回答这个问题，我们必须注意到一些相关的特征去理解数学的本质。
理解及其形式
我现在所说的可能是一个题外话。但我想说这根本不是题外话，而是最直接的方法去解决这个问题。在我看来，具体的活动和教学方法只有在正确理解的理论中才能获得它们的意义和背景，除非这个背景明确地说明了这个技术仍然会有成为教条的危险。而另一方面，有些人是清楚地知道理论背景和它的目的是找到他自己的具体技术的目标。当一个人在思考课程时必须考虑这些。因此，我相信理查德·克雷普是对的，他说，“我们应该会处于一个较差的位置，同时我们自己要去理解数学，或者帮助别人这样做，直到更好地理解它自己。”
理解这个术语在这里指的是一种组织和分析的经验的方法。这是用概念、概念结构和组织原则的方法来完成的。这些概念只能通过符号处理。借用P.H.赫斯特的话说，这些概念以及表示它们的符号必须是 “公开支持”的。还有解释和分析必须依据他们的正直、真相或充分性来评判。这样的标准，同样，必须公开说明理由。所以我们可以说理解是公共概念、概念结构、组织解释、组织的原则和验证程序分析经验的系统。正如许多思想家所指出的那样，这个系统是一个整体而不是铁板一块的结构。
在考试中，理解的方式会变得各不相同，而且在广泛的领域里会有不同的分类。这些广泛的理解方式可以称为“形式”理解。知识的分类不止一种且这取决于选定的标准。下面的讨论借用了P.H. Hirst的分类。
这里所谓的“理解形式”，赫斯特称之为“知识形式”。关于“发展形式的知识”，赫斯特列举了四个“相关区别特征”，可以这样概括：
- 概念，是一种形式特有的形式
- 概念与产生的逻辑结构之间的关系且这些关系，是一种特殊的形式。
- 一种理解的形式产生的表达式。
- 真理标准和辩护程序也是一种独特的形式。
前三个是重叠的，逻辑结构和表达式可以被认为是暗含的概念的核心的形式。在与数学有关的符号系统是非常重要的。因此，为了目前的目的，我将组织讨论以下标题：
- 概念.
- 概念结构和符号
- 验证过程。
理解的形式是可区分的解释方式的和组织经验;他们不应该和学校课程里的“科目”混淆。赫斯特列出了八种不同的理解形式，这些可以进一步细分。一个特定的主题可以是一个形式理解的细分。(如物理学是科学的一个分支，是科学的一种基本理解形式)。或许它是由不同形式理解借鉴而来的学习研究领域。(例如，像地理也是由科学，数学，历史等领域借鉴而来)。同时，也是基本形式之间的相互理解，互相借鉴。像科学借了不少数学，还可以大致准确地指出基本属于数学的科学部分。
然而，数学恰好是理解的基本形式之一，而且这是一个特别明显的区别。因此,上述被提及的区分特征可以用更有益的方法来描述其数学性质。
数学的特点及其影响
在这一节中，我将尝试研究数学与其他不同形式理解之间的区别。重点应放在有关数学教学/学习的特征上。
1、概念
所有的概念都是抽象的实体。它们没有形状，尺寸，颜色，声音，测试等等。这使他们很难找到不可捉摸的物体。为了克服这个困难，我们将它们附加到声音和视觉符号上。这些附在概念上的声音符号可以称为它们的名字。在这里我们应该把概念、符号和对象区分开来。
这一概念的例子。“瓶子”这个词是这个概念的一个象征。当我们在脑海中听到这个词的时候，我们想到的是这个词不是概念，物体。我们面前的那个瓶子也不是一个概念。它只是一般概念的一个实例，它包含了所有的瓶子，我们在过去看到过，或者将来很可能会看到。那些大体上的概念。我们在纸上做的视觉符号包括标记我们在纸上做的标记，以唤起读者心中的概念。
我们的第一个概念是基于我们在外面的世界的第二经历在形成的。 “为了有一个概念”，正如Dearden告诉我们的，“是拥有许多事物都可能被认为是存在的统一的原则。” 首先，我们发现了这些统一的原则、具体的事情和他们的经历。从而形成了瓶子，玻璃，水壶，桶，甜，酸，苦等;这些可以称为“基本概念”。但我们确实当瓶子、玻璃、罐子等概念出现时，不要停在这里，只看到统一的原则。当把他们放在一起的时候，形成一个更一般的概念，即容器。或以甜、酸、苦等为基础，我们可以形成味觉的概念。根据瓶子、玻璃等的统一原则，当一个人已经有了这些概念，才能掌握它，我们可视为一种统一的原则。因此它是抽象的，这样的概念，这些概念可以称为“次级概念”。
次要概念是从感官经验中进一步除去的，因此更抽象。概念可能很抽象，很难理解。据说概念是理解的一种形式，现在我们可以试着理解数学概念的独特之处。
由NCERT出版的MLL委员会的报告提到了一些概念，在列出 “初级数学准备就绪”标题的概念和能力之前，这些概念是数学中最不抽象的概念。这些概念是大小、长度、厚度、重量、体积、形状、颜色、位置、数量等等，关系是:“小于”，“大于”，“相同”，“重”，“最重”，“附近”,“远”和“最近”。
所有这些都是日常的概念。这些都不是特别的数学。报告正确地将它们视为对学习其他数学概念的先决条件，我们注意到它们都是次级概念。正如我上面所说的，这不是对报告的批评;实际上他们是对的。在开始时列出这些概念时，我想说的是，我们甚至之前在开始学习数学概念的时候，仅仅凭直接经验还不足以形成必要条件的概念。因此，尽管没有证据，我们可以得出几乎所有数学中更高阶的概念。
其次，数学概念形成了严格定义的层次结构，层级中缺失的一个环节肯定会阻碍所有概念的形成，这意味着在学习数学概念方面没有捷径可走。
第三，数学概念在外部世界中没有真实的实例，它们不指任何物理实体、力或现象。它们有些像正方形，似乎是指纸上的某些东西或形状。但是,数学正方形是一个理想的确认标准和形状，在纸上标注的喜欢符号更多的是数学方块的符号，而不是真实的的事物。因此，它们的定义非常精确。数学不像栅栏保姆模糊不清。
这对课程和教学方法都有一定的启示。
C1因为数学实体在世界上是不可能遇到的。他们是如此抽象的,数学不能直接从每天环境中学习。只是间接地来自其他的数学家与一个人自己的思考能力，这意味着课程应该提供从数学一般化的地方精心组织的有老师的帮助开始的经验。
C2“高阶的概念比人们已经拥有的要高,通过定义传达给他们，只有通过安排他们遇到合适的例子集合。”这意味着当筛选被用在书本或定义上的例子时要小心谨慎。
C3在数学课程中，在制定和学习概念的顺序的时候，概念的逻辑优先级应该是明确的，无论在哪里被应用到，都应仔细分析。
C4由于数学概念是抽象的，所以它们存在符号化的危险，因此，仅仅是符号，在早期阶段课程本身就应该有很多相关的经验。同时，它们也应该形成这样的一种方式，这样，他们就可以摆脱对器械的依赖，只有在自然界中它们才能真正的数学化。
C5应该选择各种各样的例子，以便学习的概念能够成为现实，从例子的附带特征中解脱出来。
C6精确和清晰从一开始就应该为是数学课程的一个价值。
概念结构和符号
这些概念与其他概念有联系。像这样一个类的连接是隐含的，它是我们之前讨论过的层次结构的一部分。每个概念都可以是不同层次的几个层次结构的一部分。除了这些等级关系概念也有各种类型的其他关系。例如，等价关系，承接关系等。
这种关系的复杂网络连接形成概念的结构。因为概念是建立在理解的基石上，这些概念结构是学习的基本工具。当我们遇到新的情况时，我们根据我们试着用现有的概念结构来解释它，。如果它符合其中一个结构，我们解释并将其与我们现有的理解联系起来。因此，我们学到了一些新的东西。如果它不符合我们现有的任何结构，我们会感到困惑，需要重建我们的一些概念结构或形成一个新的概念结构
如果我们没有足够的概念结构，无法重建，或者有我们不能形成的新事物。通常不充分的概念结构形成了，这是不可一概而论的，因此在学习新事物时也会引起问题。例如，一个孩子在口语和口语中都能记住数字，他重视记忆模式，形成不完善的概念结构。但以书面形式，没有连接单位、十位和地点的概念。他肯定在学习加法的时候会有困难。当通过大量的钻探，他学会了用随身携带的附加设备是不太可能概括carryover的概念，包括“借款”的概念。当一个孩子学会了用数字写数字的时候，对地方价值等的理解应该很容易形成一种“carryover”的概念，而且更容易理解。这很可能能够重构相同的概念结构来同化“借贷”这个概念。
不了解规则的学习导致不充分概念结构的形成，它是不可扩展的，因此很可能产生学习上的问题。
一个充分的概念和适当的概念结构的一个特征是他们不应该被认为是神圣不可侵犯的。当结构是通过反射形成的，学习者将其视为自己拥有的工具去雕刻。因此，当需要重构或抛弃概念结构时，他可以满怀信心地支持一名击球手，而当他传给他时，学习者会发现很难将其丢弃。
对课程和教学方法的影响:
C7要不惜一切代价避免死记硬背规则。他们不应该出现在课程上
C8学习者应该被帮助去形成理解数学的长期需要的概念结构，并牢记于心。这提供了一个选择课程内容的标准。
C9主题应该逐渐地,毫不费力地以一种概念性结构展开的方式来安排。
C10一般来说，课程包括与实用价值相关的数学材料，就像每天都要在解决问题用的技能和能力。没有特别直接实用价值的材料，比如在数字系统中寻找模式等，也应该包括在课程里。这将给孩子一个发展新概念的机会去发现数学中隐藏的美。
数学概念之间的关系都是逻辑关系。它们隐含在概念中，不依赖于系统本身。因此，没有相关的因素。这样关系就可以和概念本身一样清晰明确。从概念结构上只依赖于概念和这些关系的质量，同时精确和清晰也传递给他们。但概念结构是非常复杂的。所有这些都是高度抽象的。第一眼看上去似乎情况是绝望的。
但是数学家们已经一起开发出了大量的符号信息系统。包括系统的清晰度和精度，并要求准确的操作概念。他们通过创造每件事的信号包括操作规则来实现这一点。并且成功地做到了在日常的操作中的自动化，如此以至于一个数学家可以放开符号的概念，这些符号仍然按照他所要的遵循所有的规则。
因此，形成了一种可以表达数学的形式语言，它的结构非常规律。但是数学的成也不利于数学的理解。整个结构是有规律的。符号化的规则易于记忆和应用，孩子们在记忆方面都很擅长。而另一方面，组织经验和事业的概念分析是个困难的任务，经常导致不愉快,要求纪律和概念的建立可能消耗时间。因此数学老师作为一种机械的毫无意义的符号，这种符号可以被操纵来取得“更好的”结果，同时，在获得的分数的同时仍然可以少花点时间和精力。
这就是如今大多数学校的数学教学方式。最初这方法立见成效。然后，需要死记硬背的东西增加了，变得太难应付了，孩子失去了有意义的轨迹。进一步的学习被制止了，孩子会感到沮丧。
另一方面，学习者通过适当的概念结构和实践操作来跟踪轨迹从而摆脱自动化使他的头脑摆脱常规，更加集中注意力于新事物在他现在正在学习的东西，因此学得更快。
课程与教学方法意涵：
C11课程也应该吸引学习者对符号的注意和应着眼于学生从一个好的符号系统里分辨出坏的能力。
C12老师应该让孩子自觉主动地做简单的日常操作而不应该让它沦为机械操作。在自动操作中，学习者可以停下来解释他在做什么和为什么在任何阶段，而在机械操作中，他无法解释这一点。
3. 验证程序
一个陈述的真实性的最终标准取决于它的形式，
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