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第14章 代数思维：泛化、模式和函数
代数是大多数（如果不是全部的话）K到12级的国家标准中已经建立的内容链，并且是NCTM原则和标准中的五个内容标准之一。虽然在小学和初中阶段的代数要求有很大的变化，但有一件事是明确的：这些年级和高中所要求的代数并不是在高中最可能接触到的。八年级或九年级的典型代数课程先前组成主要是符号操作的程序和人为的与现实世界联系很少的应用程序。现在的重点是培养学生在所有数学领域进行数学思考的思维和推理的类型。
代数思维或代数推理包括从数字和计算的经验中形成概括，用一个有意义的符号系统形式化这些思想，并探索模型和函数的概念。代数思维并不是一个几乎没有实际应用的主题，它渗透在所有的数学中，是使数学在日常生活中有用的基本要素。
伟大的想法
1.代数是一个有用的工具，在我们的世界里，它可以用来概括算术和表示模式。
2.符号，尤其是涉及到等式和变量的符号，必须在概念上被很好地理解，这样学生才能在数学，尤其是代数上取得成功。
3.我们使用的计算方法和结构在我们的数字系统可以和应该推广。例如，推广告诉我们83 27 = 27 83不需要计算等号两边的和。
4.可以识别、扩展、概括、重复和增长的模式。
5、K-8数学中的函数以具体的方式描述了每一个输入都有一个唯一的输出的概念。
6.由于每一种表达都提供了对同一关系的不同看法，因此通过跨表现形式探索功能可以加强理解。
数学内容链接
正如Kaput(1998)所指出的，很难找到一个数学领域不涉及以某种中心方式进行归纳和形式化。事实上，这种类型的推理是数学作为一门模式和秩序的科学的核心。
数字、位置值、基本事实和计算(第8、10、11、12章)：代数思维核心中最重要的概括是关于数字和计算算术的。代数思维不仅是从数字和计算中归纳出来的，而且这些归纳本身也有助于理解和运用计算。我们可以用对10的理解来加5 8(5 8 = 3 2 8 = 3 10)或5 38(5 38 = 3 2 38 = 3 40)。广义的概念是2可以从一个加数移到另一个加数:。尽管学生也许不能用符号表示出这个一般概念，明白这个过程就是代数思维。
- 操作概念(第9章)：当孩子们学习操作的时候，他们也会发现操作的规律例子包括交换性质(和)以及操作之间的相互关系。
- 比例推理(第十八章)：每一个比例情形都会产生一个线性(直线)函数，其图形经过原点。比例中的常数比就是图像的斜率。
- 度量(第19章)：度量是描述物理世界中关系的主要方法，这些关系通常是代数关系。测量公式，如圆周长，是函数。你可以说建筑物的高度是它有多少层的函数。
- 几何(第20章)：几何图案是孩子们最先体验到的。不断增长的模式产生了功能性的关系。坐标用于泛化距离概念和控制转换。当然，函数在坐标平面上画图是为了直观地表示代数关系。
- 数据分析(第21章)：当收集数据时，代数思考者能够检查它们的规律和模式。函数被用来近似趋势或者用数学上有用的方式描述关系。
代数思维
代数思维从幼儿园开始一直持续到高中。根据Curriculum Focal Points（NCTM，2006），在学前班，“孩子们识别和复制简单的顺序模式（如正方形、圆形、正方形、圆形、正方形、圆形、hellip;hellip;）”（11页）。代数思维仍然存在每一个年级中，主要的主题是（1）模式的使用导致一般化（特别是运算），变化的研究，和函数的概念。Seeley和Schielack（2008）在《课程重点中的代数思维》一书中指出：
所有这些特殊主题的基础思想是，对于准备在代数中取得成功的学生来说，他们所能拥有的最好的工具之一是对数学系统及其运算的深刻理解，以及与这些运算相关的属性。（266页）
事实上，本章跟随这些概念的章节，您可以看到数字概念，运算和代数思维是多么紧密相关。
Kaput（1999）是一位跨年级制定合适的代数课程的领导人，谈论代数“包括用越来越正式的语言来概括和表达这种概括性，概括始于算术，建模的情景中，几何，和几乎所有可以或者应该出现小学的数学中（134-135页）。虽然许多作者和研究人员都写过关于代数思维的文章，但Kaput的描述是最完整的，包含了许多其他贡献者的想法。它描述了五种不同形式的代数推理：
- 从所有数学的算式和模式中泛化
- 符号的有意义使用
- 数制结构研究
- 模式和功能的研究
- 数学建模过程中，整合了前四项列表项
因此，代数思维不是一个单一的概念，而是由不同的思维形式和对符号的理解构成的。它是课程的一个单独部分，但也应该嵌入数学的所有领域。人们普遍认为，我们必须从上学之初就开始发展这些思维方式，这样学生们才能学会用数学的强大思想进行富有成效的思考，这样他们才能进行数学思考。
在本章中，这五个主题被用来讨论代数思考。这些范畴本身并不是发展的，但在每一个范畴内都有重要的发展考虑。因此，在阅读这一章的时候，你会发现每个类别都提供了在学前教育8年课程中需要考虑的问题和有效的教学活动。
从算术和模式泛化
算术从幼儿园就开始了，并随着学生学习数字和计算的各个方面，包括运算的基本事实和意义而继续。因此，代数思维与第9章到第13章的思想有很大的联系。
年幼的孩子探索加法家庭，并在这个过程中学习如何分解和重组数字。猴子和树木的问题如图14.1所示不仅提供学生一个机会来考虑7分解的方法，但是也看到可概括的特点,如增加小树中的一个意味着减少大树的数量。
学生可能会被要求找到猴子可以在两棵树上所有的方式。重要的问题是如何决定什么时候已经找到了所有的解决办法，在某种程度上，学生们不会想到更多，许多人会忘记使用0，其他的孩子可能会尝试为一棵树使用从0-7的每一个数字。解释从0-7每个数字都是1的学生。
图14.1：七只猴子想在两棵树上玩耍，一棵大的和一棵小的。展示七只猴子在两棵树上玩耍的不同方式。
解决方案不再是把7分割成各个部分，而是把它们列出来(Yackel, 1997)。这种推理可以推广到376只猴子占据这两棵树的方式。二年级学生已经明确表示，总有一个解决方案比猴子的数量多（Carpenter etal，2003）。注意，这是一个泛化，不再依赖于所涉及的数字。
泛化不需要涉及符号，但对于年龄较大的学生来说，它是一个重要的包含(参见下一个主要部分)。例如，七年级的学生做了一个类似猴子的问题，但用8只老鼠在一个绿色或蓝色的笼子里，发现了三个方程来描述这种情况:，，和。（斯蒂芬斯，2005）
这只是一个例子，说明代数思维可以而且应该被注入到与数字有关的工作中。这样做需要在advance-thinking中计划什么问题你可以问以帮助学生思考他们工作中的广义特征问题(当在一棵树上的猴子数量下降,在其他树上的数量上升)和其他有着相同模式的问题(376只猴子)。
在百位图中泛化
百位图是一个对于探索数字关系来说丰富的领域，不应该被认为只是一个为数字教学的设备。在第十一章中，孩子们在百位图上涂上颜色，并且寻找模式（见活动11.14-11.19和活动11.28）。下面是一些您可能以类似方式探索的其他任务。
哪些数字构成对角线图案?哪些是列模式？你能编一个规则来解释什么时候一个数字会有一个对角线或一个列模式吗？（参见图14.2，注意模式取决于图表包含的列数）如果你在百位图上向下移动2和1，原始数字和新数字之间的关系是什么?
你能找到两种跳跃计数模式，一种“在另一种之上”吗？也就是说，一个图案的所有阴影值都是另一个图案阴影值的一部分。这两个跳跃计数数字有什么关系？对于任何具有这种关系的数字对都成立吗？在不同宽度的百位图中这是真的吗？为什么或为什么不？
在百位图中找到任何值，把左边的数和右边的数相加，然后除以3。你得到了什么?为什么?
这些例子只是将数字概念扩展到代数思维中的许多问题中的一部分。“你能找到一个规则吗？”“为什么会这样?”、“什么时候会变成现实?”这些问题都需要结论和推理，这反过来又加强了学生数字和代数的理解。（图14.2：不同宽度的数百个图表上的模式）
通过探索模式进行泛化
寻找泛化的一个最有趣、也许也是最有价值的方法是在不断增长的物理模式中找到它。一种方法是只检查一个物理模式的一个生长步骤，并要求学生找到一种计算元素的方法，而不是简单地逐个计算。以下问题是此类任务的一个经典示例，在许多参考资料中都有描述，包括Burns和McLaughlin(1990)以及Boaler和Humphreys(2005)。
活动14.1：边境问题
在厘米网格纸上，让学生画一个8times;8的正方形代表一个游泳池。接下来，让它们在周围的正方形和池周围的瓷砖上着色(参见图14.3)。任务是找到一种方法来计数边界块，而不需要逐个计数。学生应该用他们的图画、单词和数字句子来展示他们是如何计算正方形的。
至少有五种不同的计数方法，将一个正方形周围的边框上的小块数设为一次一个。
图14.3：在不一次一个计算边界块的情况下，您可以找到多少种不同的方法来计算8times;8池的边界块？
暂停和反映
在继续阅读之前，看看你能不能找到四、五个边界块问题的不同计数方案。将您的方法应用于其他维度的正方形边框。
一个很常见的解决方案是注意到上面和下面有10个正方形，两边各有8个正方形。这可以写成:10 10 8 8=36或2times;10 2times;8=36，下面的每一个表达式都可以追溯到不同分组重点方块：
4times;9
4times;8 4
4times;10-4
100-64
更多的表达式时有可能的，因为学生可能使用加法而不是乘法的表达式。在任何情况下，一旦泛化被创建，学生需要证明表达式中的元素如何映射到物理表示。
边境问题的另一种方法是让学生们分步骤建立一系列水池，每个池旁边还有一个池（3times;3、4times;4、5times;等等），然后找到一个方法来计算每一步的元素，使用的算法在每一步以同样的方式处理步骤号。例如，学生可以根据他们写的8times;8的数字句子，找到一个6times;6的池子和一个7times;7的池子。最终，这可以得到一个一般化的表述，例如，取2times;10 2times;8，并将其一般化到。
概括的一个重要思想时认识到一种新的情况，在这种的情况下它可以应用并适当地进行调整。学生应该推断出这是相同类型的模式，除了它有三个面，并且能够使用他们之前的概括来解决这个特定的问题（Steele,2005）。
有意义符号的使用
学生在代数上不成功的一个原因可能是他们对所使用的符号没有很好的理解。对许多成年人来说，代数这个词会勾起他们回忆，让他们想起为了求出x而简化的长方程。这些处理符号的经历往往毫无意义，导致人们对数学产生强烈的厌恶，以至于代数成了漫画家和好莱坞作家的最喜欢的目标。在现实中，符号代表真实事件和应被视为解决重要问题的有用的工具，帮助决策(例如，计算我们需要出售多少美元才能赚到x美元或给定数量的需要雇员以什么速度准时完成这个项目)。如果没有对两个非常重要(但理解也很差)的主题：等号和变量，进行有意义的指导，学生就无法理解这些问题。
等号的意义
等号是初等算术、代数以及所有使用数字和运算的数学中最重要的符号之一。与此同时，从1975年至今的研究清楚地表明， “=”是一个非常难以理解的符号（兰德数学研究小组，2003）。
暂停和反映
在下面的表达中，你认为是几号在箱子里？
8 4=□ 5
你认为初中生是如何回答这个问题的?
在一项研究中，从1到6任何年级中有不超过10%的学生把正确的数字(7)放在盒子。常见的回答是12和17。（怎么学生得到这些答案了吗？）在六年级，145个学生中没有一个把7放在盒子里（Falkner, Levi， amp; Carpenter， 1999）。早期的研究也发现了类似的结果(Behr,，Erlwanger，amp;Nichols，1975；Erlwanger amp; Berlanger，1983)。
这些误解从何而来？最多，如果不是全部，学生在课堂上遇到的方程应该是这样的：5 7 = _或8times;45 = _，9（3 8）=_。很自然，学生们开始意识到“=”表示“答案是”而不是表示等价的符号（Carpenter, Franke， amp; Levi, 2003;McNeil amp; Alibali, 2005;Molina amp; Ambrose, 2006）。
为什么学生正确理解这个等号如此重要？首先，让学生看到、理解和象征数字系统中的关系是很重要的。等号是一种表示这些关系的主要方法。例如，6times;7 = 5times;7 7，这不仅是一个事实策略，也是分配律的一个应用。根据分配律，我们可以将每一部分分别相乘：（1 5）times;7 =（1times;7） （5times;7）。当这些想法，最初通过算术非正式地发展，被概括并象征性地表达时，力量关系就可以用一个概括的方式与其他数字一起工作。
第二个原因是，当学生不能理解等号时，他们通常在代数表达式中遇到困难(Knuth et al.， 2006)。即使是解一个简单的方程，如5x - 24 = 8
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