Math problems about Baseball
Summary
Baseball is a popular bat-and-ball game involving both athletics and wisdom. There are strict restrictions on the material, size and manufacture of the bat. It is vital important to transfer the maximum energy to the ball in order to give it the fastest batted speed during the hitting process. Firstly, this paper locates the center-of-percussion (COP) and the viberational node based on the single pendulum theory and the analysis of bat vibration. With the help of the synthesizing optimization approach, a mathematical model is developed to execute the optimized positioning for the “sweet spot”, and the best hitting spot turns out not to be at the end of the bat. Secondly, based on the basic model hypothesis, taking the physical and material attributes of the bat as parameters, the moment of inertia and the highest batted ball speed (BBS) of the “sweet spot” are evaluated using different parameter values, which enables a quantified comparison to be made on the performance of different bats. Thus finally explained why Major League Baseball prohibits “corking” and metal bats.
In problem I, taking the COP and the viberational node as two decisive factors of the “sweet zone”, models are developed respectively to study the hitting effect from the angle of energy conversion. Because the different “sweet spots” decided by COP and the viberational node reflect different form of energy conversion, the “space-distance” concept is introduced and the “Technique for Order Preferenceby Similarity to Ideal Solution (TOPSIS) is used to locate the “sweet zone” step by step. And thus, it is proved that the “sweet spot” is not at the end of the bat from the two angles of specific quantitative relationship of the hitting effects and the inference of energy conversion.
In problem II, applying new physical parameters of a corked bat into the model developed in Problem I, the moment of inertia and the BBS of the corked bat and the original wood bat under the same conditions are calculated. The result shows that the corking bat reduces the BBS and the collision performance rather than enhancing the “sweet spot” effect. On the other hand, the corking bat reduces the moment of inertia of the bat, which makes the bat can be controlled easier. By comparing the two Team # 8038 Page 2 of 20 conflicting impacts comprehensively, the conclusion is drawn that the corked bat will be advantageous to the same player in the game, for which Major League Baseball prohibits “corking”.
In problem III, adopting the similar method used in Problem II, that is, applying different physical parameters into the model developed in Problem I, calculate the moment of inertia and the BBS of the bats constructed by different material to analyze the impact of the bat material on the hitting effect. The data simulation of metal bats performance and wood bats performance shows that the performance of the metal bat is improved for the moment of inertia is reduced and the BBS is increased. Our model and method successfully explain why Major League Baseball, for the sake of fair competition, prohibits metal bats.
In the end, an evaluation of the model developed in this paper is given, listing its advantages s and limitations, and providing suggestions on measuring the performance of a bat.
Restatement of the Problem
Explain the “sweet spot” on a baseball bat.
Every hitter knows that there is a spot on the fat part of a baseball bat where maximum power is transferred to the ball when hit. Why isnrsquo;t this spot at the end of the bat? A simple explanation based on torque might seem to identify the end of the bat as the sweet spot, but this is known to be empirically incorrect. Develop a model that helps explain this empirical finding.
Some players believe that “corking” a bat (hollowing out a cylinder in the head of the bat and filling it with cork or rubber, then replacing a wood cap) enhances the “sweet spot” effect. Augment your model to confirm or deny this effect. Does this explain why Major League Baseball prohibits “corking”?
Does the material out of which the bat is constructed matter? That is, does this model predict different behavior for wood (usually ash) or metal (usually aluminum) bats? Is this why Major League Baseball prohibits metal bats?
2.1 Analysis of Problem I
First explain the “sweet spot” on a baseball bat, and then develop a model that helps explain why this spot isnrsquo;t at the end of the bat.[1]
There are a multitude of definitions of the sweet spot:
1) the location which produces least vibrational sensation (sting) in the batters hands
2) the location which produces maximum batted ball speed
3) the location where maximum energy is transferred to the ball
4) the location where coefficient of restitution is maximum
5) the center of percussion
For most bats all of these 'sweet spots' are at different locations on the bat, so one is often forced to define the sweet spot as a region.
If explained based on torque, this “sweet spot” might be at the end of the bat, which is known to be empirically incorrect. This paper is going to explain this empirical paradox by exploring the location of the sweet spot from a reasonable angle.
Based on necessary analysis, it can be known that the sweet zone, which is decided by the center-of-percussion (COP) and the vibrational node, produces the hitting effect abiding by the law of energy conversion. The two different sweet spots respectively decided by the COP and the viberational node reflect different energy conversions, which forms a two-factor influence.
2.2 Analysis of Problem II
Problem II is to explain whether “corking” a bat enhances the
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
棒球中的数学问题
1 简介
棒球是一个受欢迎的bat-and-ball游戏,既包括体育和智慧，又有严格限制的材料、尺寸、制造的棒球。转移的球要使它的能量是最大使得在击打过程中球有最大的能量，这是非常重要的。首先,本论文定位于撞击中心和viberational节点基于单摆理论和棒球振动分析。 在合成的帮助下综合优化算法,开发了一个数学模型来执行优化的“击球甜区”的定位,并且最好的打击点被证明不是棒球的末尾。其次,基于模型的基本假设,以棒球的物理和材料属性作为参数,转动惯量和最高的拍球速度(BBS)的“击球甜区”是评估使用的不同的参数值,对性能不同的棒球进行量化比较。因此，最后解释了为什么美国职业棒球大联盟禁止塞软木和金属棒球。
在问题一中，我把碰撞中心和viberational节点作为“甜区”的两个决定性因素,分别建模进行了研究击球效果从能量的角度转换。因为不同的“击球甜区”由碰撞中心和viberational节点决定反映不同形式的能量转换,介绍的“空间距离”的概念,和技术preferenceby相似性理想的解决方案(TOPSIS)，用于一步步定位“甜区”。因此,这就从撞击效果和能量转换两个角度证明了“击球甜区”不在棒球的末尾。
在问题二中，对问题一提供的模型开发运用新的物理参数用软木填充棒球,转动惯量的BBS上,使得软木填充球棒和原始的木材球棒在相同条件下进行计算。结果表明,用软木填充的球棒降低了BBS和碰撞性能而不是增强的“击球甜区”效果。另一方面,克制球棒降低球棒的转动惯量,使球棒更容易控制。通过比较两个团队# 8038第2页20冲突全面的影响,得出了软木填塞球棍有有利于游戏中同一个玩家,美国职业棒球大联盟禁止填充软木。
在问题三中,采用问题二中类似的方法,那就是,在问题一的模型开发的问题中利用不同的物理参数,计算转动惯量和球棒的BBS由不同的材料来分析球棒材料对击球效果的影响。数据模拟金属球棒性能和木材球棒的性能表明,金属的性能提高使球棒的转动惯量降低,BBS是增加的。我们的模型和方法成功地解释了为什么美国职业棒球大联盟,为了公平竞争,禁止金属球棒。
最后,本文给出了评估发展的模型,给出其优势年代和局限性,并提供测量球棒性能的建议。
问题重述
解释棒球棒的“甜蜜点”。
每个棒球投手都知道棒球棒有一个最胖的部位，当击球的时候能够最大限度的转移能量。这为什么不是棒球棒的尾部呢?基于扭矩有一个简单的解释似乎能够确定“甜蜜点”应该位于球棒的尾部,但这被认为是不正确的。开发一个模型,来帮助解释这种经验之谈。
一些球员相信填充软木的球棒(挖空球棒的头部，注入软木或橡胶,然后替换一个木头帽)增强了“击球甜区”效应。讨论这个模型来证实或否认这种影响。这就解释了为什么美国职业棒球大联盟禁止填充软木的棒球？
做球棒的材料对它的构造重要吗?那么,这个模型是否能预测不同的木材(通常是灰)或金属(通常是铝)球棒的行为？这是为什么美国职业棒球大联盟禁止金属球棒吗?
2.1 分析问题一
首先解释棒球棒的“击球甜区”,然后开发一个模型来帮助解释为什么“击球甜区”不在球棒的尾部[1]。
有大量的击球甜区的定义:
1)击球手手上产生震动最小的位置；
2)产生最大拍球速度的位置；
3)能量能够最大程度转移到球的位置；
4)恢复系数的位置是最大的；
5)冲击的中心
对于大多数球棒，所有这些“击球甜区”是在球棒的不同位置的,所以常常是被迫的定义一个一个地区作为“击球甜区”。
如果基于扭矩进行解释,这种“击球甜区”可能位于球棒的尾部,这早就知道是错误的。本文将从一个合理的角度来探索“击球甜区”的位置来证实这个悖论。
根据必要的分析,由撞击中心和振动节点产生的冲击效应并遵守能量转换定理，就可以知道“击球甜区”。由撞击中心和振动节点决定的这两种不同的甜区,反映了不同的能量转换，形成一个双重影响。
2.2 分析问题二
问题二解释了撞击中心是否增强了“击球甜区”效应和为什么美国职业棒球大联盟禁止填充软木[4]。
为了找出填充了软木的球棒会发生什么变化，首先要对棒球参数的变化进行分析:
1)用软木塞的棒球的质量较之前的有轻微的降低；
2)少质量(低转动惯量)意味着更快的挥棒速度；
3)棒球的质量中心影响棒球的走向；
4)棒球的恢复系数变小；
5)更少的质量意味着更少的有效碰撞；
6)转动惯量的变得越来越小。[5][6]
通过对用软木塞的棒球分析上述参数的变化,不仅击球效果的甜区已经改变可以被鉴定出来,而且禁止填充软木的原因也清楚了。
2.3 分析问题三
首先,解释棒球材料是否对击球效果有影响，然后,开发一个模型来预测不同的行为为木材或金属棒球来找出为什么美国职业棒球大联盟禁止金属棒球。
由于构造棒球的材料不同，棒球的质量和质心有所不同，撞击中心和转动惯量的变化是可以推断的。[2][3]
以上物理属性不仅影响了球员的摆动速度(转动惯量越少——棒球的摇摆速度越快),而且击球甜区对球的影响可以反映在最大击出的球速度上。
BBS的不同的材料都可以通过分析影响转动惯量材料参数。然后,它可以证明,不同材料的棒球的打击效果是不同的。
3 模型假设和符号
1)本文中讨论的碰撞是指垂直碰撞的“击球甜区”；
2)讨论的过程是指整个持续短暂的过程，从开始的那一刻即棒接触到球的那一刻之前,到球离开球棒;
3)球和球棒都是在常见条件下讨论的。
3.2 指示符号
一个运动因子 k
物体轴心点的转动惯量 I0
物理摆的质量 M
相对于轴心点的重心的位置 d
待定撞击中心和枢轴之间的距离 L
引力场强度 g
处理摆动时期的球棒在其轴绕枢轴的转动惯量测量的轴心点 T
球棒的长度 s
球棒击球时距轴心的距离 z
振动频率 f
球的质量 m
4 建模和解决方案
4.1 建模和解决问题一
4.1.1 模型制备
1)手施加推力或压力的分析[1]团队# 8038页7 20图显示在图4 - 1。作为。4 - 1:
如果冲击力F打击棒球的质心，那么P(CM)然后会经历转化加速度(整个棒球将试图加快向与作用力方向相同的左侧方向,而没有旋转的轴心点。如果这时一个球员拿着那只球棒在他/她的手中,他的手就会感受到冲力感。
如果冲击力F击打在棒球质心的下面,但高于撞击中心,点P会同时感受到平动加速度的方向力和一个相反方向的旋转加速度来使其现在质量重心旋转。左平移的加速度将大于向右旋转的加速度，并且球员仍然会感到手中的冲击力。
如果冲击力击打在棒球撞击中心下面,然后点P将仍然经历相对定向平移和旋转加速度,但是现在的旋转加速度会更大。
如果冲击力正好击打在棒球的撞击中心，然后平移的加速度和旋转的加速度在相反的方向的力完全互相抵消。
方法:不是被分布在整个对象,而是让大物理摆的质量M集中到一个距离轴心点L的点。这一质点在线的末端摆动结束并将其称为一个“简单的”钟摆,如果距离L是
的话，那么他的周期就和原来的物理摆相同。
这个位置L被称为“振荡中心”。 一个固体在一个固定的轴心点振荡被称为物理摆。当它从平衡位置离开由于重力的作用会使它试图到大对面的平衡位置，但这时由于惯性它会摆过平衡位置。由于这种恢复力和惯性的相互作用，物体将来回摆动,重复循环运动持续的时间，称为周期。这个周期取决于物体的质量M，相对于轴心点的重心的位置d，物体的转动惯量对其轴心点0和重力场强度g：
4.1.2 这两个“击球甜区”的解决方案
1)定位撞击中心[1][4]
确定参数:
a.棒球的质量M；
b.棒球的长度S （在图4-3中1区和5区之间的长度)；
c.枢轴和重心之间的距离d（图4-3中区3和区2的距离)；
d.棒球在其轴绕枢轴的摇摆区间T(以一个成年男性为例:枢轴和棒球旋钮之间的距离16.8厘米(图4-3中区1和区2之间的距离)；
e.待定的撞击中心和枢轴之间的距离 L(图4-3中区2和区4之间的距离，也就是旋转半径)。
图4 - 3。表4 – 1
block1 旋钮
block2 主轴
Block3 重心(CM)
Block4 撞击中心(COP)
Block5 球棒的末尾
撞击中心的计算方法[1][4]:
距离待定cop和枢轴的距离；
转动惯量：
结论:
枢轴上的反作用力跟棒球棒的撞击力相比不到它的10%。当球落中“击球甜区”的任一地区,撞击作用的地方力减少不到10%（0.9升,1.1升)厘米,称为“甜区1”。
2)确定振动的节点
球棒和球之间的接触,我们认为这是一个波传输的过程。当棒球被击打后快速飞行,所有的这些模式,(以及一些额外的更高频率的模式)是兴奋的,并且棒球振动。我们依据频率模式,列出下列两种模式:
基本的弯曲模式有两个节点,或者零位移的位置)。一是关于六个半英寸从桶端接近的甜蜜点的棒球。另约24英寸从桶端处理(6英寸）的位置大约在右手击球员的右手。
基本弯曲模式1(215 赫兹)第二弯曲模式有三个节点,从桶端大约有4.5英尺,第二个靠近棒球的中间,第三个在右手打击者的左手位置。
第二个弯曲模式2(670 赫兹)数据还显示了两个弯曲模式下的自由支持棒球棍。最后的处理的棒球是在右边，而桶结束在左边。轴上的数字代表英寸(这个数据是一个30英寸的小联盟木制棒球棍)。这些数据取自一个实验模态分析。在这种观点中，我们更愿意使根据在杆交叉中使用的公约[2]，定义了甜区为团队# 8038 11页的20该地区位于第一次和第二次的震动模式节点之间(大约4 - 7英寸之间从桶的结束30英寸的小联盟棒球)。
求解时间按照搜索时间和回溯时间。它是客观的同时考虑这两个指数的。
4.1.3 优化模型
木制棒球（灰）
摇摆周期T 0.12s
球棒质量M 850.5g
球棒长度S 86.4cm
CM的位置d 41.62cm
恢复系数BBCOR 0.4892
初速度 7.7m/s
球棒摆动速度 15.3m/s
球的质量 850.5g
采用上面表中的参数并基于甜区1和2的量化区域，可以得到以下结论：
[2]甜区1(0.9升,1.1升)=(50厘米，57.8358厘米)
甜区2(L *,L *)=(48.41厘米，55.23厘米)
定义位置2，也就是枢轴数轴的起源和x作为数轴上的随机点。
优化建模[2]
TOPSIS方法的技术对秩序的偏好到适合的解决方案的基本思想是将综合最优区域之间的差异问题转化为寻求评价对象——“距离”。即,确定最理想的位置和可接受的最不满意的位置根据特定主体,然后计算每个评估对象之间的距离和团队# 8038年第12页的最理想的位置和20每个评估对象之间的距离和可接受的最不满意的位置。最后,“甜区”可以通过一个集成的比较来进行绘制。
步骤1：标准化的程度值通过范围转换来标准化执行，
，为一个常量
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[499318]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
